进阶纯数学1

本讲义涵盖主题1：进阶纯数学 进阶纯数学 1。内容包括新增代数知识、矩阵、极坐标 极坐标、更多向量 向量以及归纳法证明。

Roots of polynomial equations

在信赖程序计算出的根 根之前，请将其和与积与该程序存储的多项式 多项式 系数 系数进行核对。这些关系在难以求解单个根时也能为求和提供有用信息。根 指使多项式值为零的值。计数重根时需包含其重数，并纳入复数根；实函数图像仅显示实根。此处所述关系适用于次数2、3和4，且首项系数始终不为零。

由因式推导关系

展开$a(x-\alpha)(x-\beta)$并与$ax^2+bx+c$比较系数。由此可得

对于$ax^3+bx^2+cx+d=0$及其根$\alpha,\beta,\gamma$，类似展开亦可得出

符号交替是因为每个因式都含有负号。这并不代表根本身为负值。对于$(x-1)^2(x-3)=0$，使用列表$1,1,3$，可得$e_1=5,e_2=7,e_3=3$。若仅统计两个不同数值，则会破坏系数关系。

纳入四次方程与复数根

对于四次方程 四次方程$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$，定义$e_1$为其四个根之和，$e_2$为所有六个不同两两组合之和，$e_3$为所有四个不同三三组合之和，$e_4$为它们的乘积。则有

这六对组合是$\alpha\beta,\alpha\gamma,\alpha\delta,\beta\gamma,\beta\delta,\gamma\delta$：每对仅计一次。这些属于对称函数 对称函数，当根的名称互换时保持不变。

不求解方程而求幂次和

写出$S_k=\alpha^k+\beta^k+\cdots$，包含每个根及其重数。展开根之和的平方与立方可得

第一个公式适用于次数2、3和4；第二个公式在此用于次数3和4。对于更高次幂的和，可利用每个根所满足的方程。若$x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$，则将其四个根的方程相加：

例题。 对于$x^4-2x^3+3x^2-4x+5=0$，对称和为$2,3,4,5$。因此$S_2=4-6=-2$和$S_3=8-18+12=2$。原方程进而给出$S_4=2(2)-3(-2)+4(2)-4(5)=-2$。当根为复数时，平方和可能为负值。

根据已知和反推未知系数

对于首项系数为 1 的三次 $x^3+bx^2+cx+d=0$，首先使用 $b=-S_1$ 和 $c=(S_1^2-S_2)/2$。为将剩余系数与高次幂之和联系起来，将三个原始根方程相加：

将每个根方程乘以其对应的根，再次相加：

常数项在第一个方程中贡献 $3d$，但在第二个方程中贡献 $dS_1$。代入已知和，解所得联立方程组，并在两个关系中验证。

平移或缩放所有根

若要求以 $y=mx+k$ 为根的方程，其中 $m\ne0$，请使用逆 代换 $x=(y-k)/m$。将其代入原多项式，去分母并合并 $y$ 的各次幂。一个方程的非零常数倍具有相同的根。

例题。 设原多项式为 $P(x)=x^3-3x+1$。对于根 $2\alpha+1,2\beta+1,2\gamma+1$，令 $x=(y-1)/2$ 并乘以 8：

其根之和为 3，也等于 $2S_1+3(1)=3$。对于二次 $n$ 多项式，相应的和验证应为 $mS_1+nk$。当原变量应取 $(y-1)/2$ 时，不要代入 $2y+1$。

倒数与禁止值

对于新根 $y=1/x$，令 $x=1/y$ 并乘以 $y^n$。检查原常数项是否非零：零根没有倒数。三次 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ 变为 $dy^3+cy^2+by+a=0$。

例如，$2x^3-3x^2+4x-5=0$ 给出倒数根方程 $5y^3-4y^2+3y-2=0$。其根之和为 $4/5$，也等于 $e_2/e_3$。新的常数项排除了 $y=0$。

对于 $y=1/(x-k)$，使用 $x=k+1/y$，并在声称每个原根都有像之前，检查 $P(k)\ne0$。去分母并不能定义零的倒数。

平方根并保持重数

将多项式分离为偶次幂和奇次幂部分：$P(x)=E(x^2)+xO(x^2)$。若 $y=x^2$，通过书写消除 $x$：

这结合了平方根的两个可能符号：其中一个解满足原方程。若不同的原根具有相同的平方，则在新方程中保留其重复因子。

例题。 对于 $x^3-2x^2-x+2=0$、$E(y)=2-2y$ 和 $O(y)=y-1$。因此 $(2-2y)^2-y(y-1)^2=0$ 可化简，在不计非零常数因子的情况下等价于 $(y-1)^2(y-4)=0$。原根 $1,-1,2$ 变为 $1,1,4$。去除重复因子会导致丢失一个变换后的根。

先简化高次变换

若 $x^3+3x-2=0$，每个根都满足 $x^3=2-3x$。因此新根 $y=x^3+1$ 即为 $3-3x$。在原始方程中使用 $x=(3-y)/3$；乘以 27 并合并项得到 $y^3-9y^2+54y-54=0$。现在利用该新方程的系数关系求变换后幂次的和。

Rational functions and graphs

信任拟合曲线前先进行验证

程序可能会用两个 多项式 的比值来拟合数据。其图像在屏幕上看似平滑，却可能掩盖了被排除的输入或独立的分支。 对于 有理函数 $f(x)=P(x)/Q(x)$，从原始 分母 开始：要求 $Q(x)\ne0$。然后找出草图必须显示的特征。

被排除的输入点可能是一个空心点

分母为零仅当剩余表达式在该处无界时才会产生垂直渐近线。先进行因式分解；若发生约分，则可能留下一个空心点。 对于$f(x)=(x^2-1)/(x-1)=x+1$，原始限制条件$x\ne1$仍然适用。绘制直线时，在$(1,2)$处标为空心点，而非垂直渐近线。分子的零点仅在原始分母在该点不为零时才构成截距。

基于次数与除法的渐近线

约分后比较次数：分子次数较低时给出水平极限0；次数相等时给出最高次项系数之比。斜渐近线是一条倾斜直线，因此分子次数必须恰好比一次高。 通过除法得到商加上余数除以分母的形式。对于$(x^2-1)/(x-2)$，结果为$x+2+3/(x-2)$。因此$y=x+2$是$x\to\pm\infty$时的斜渐近线；$x=2$是垂直渐近线。

水平或斜渐近线描述的是远处的行为，曲线可能在有限输入处穿过渐近线。对于 $f(x)=(x^2+x)/(x^2+1)$，水平渐近线为 $y=1$，且满足 $f(1)=1$。

极值点与完整图像

对于$f(x)=x+1/x$、$x\ne0$和$f'(x)=1-1/x^2$，极值点分别为$(-1,-2)$（局部最大值）和$(1,2)$（局部最小值），因为导数发生了变号。 不存在坐标轴交点。绘制两条分支，分别以垂直渐近线$x=0$和斜渐近线$y=x$为边界。左侧分支位于斜渐近线下方，右侧分支位于其上方。靠近原点时，左侧分支下降至$-\infty$，右侧分支上升至$+\infty$。

检查是否存在驻点

对于$h(x)=(x+1)/(x^2+2x-2)$，根据商法则可得

负号内的分子恒为正，且分母在所有允许的定义域内均为正。因此导数永不等于零。不存在驻点，每个独立的定义域区间内均为递减分支；切勿跨越极点连接各分支。

利用判别式证明值域

将$y=x+1/x$整理为$x^2-yx+1=0$。存在实数解当且仅当其判别式满足$y^2-4\ge0$。值域为$y\le-2$或$y\ge2$，包含两个极值。 检查被排除的值及方程退化为非二次方程的情况。对于$y=x/(x^2+1)$，整理后得$yx^2-x+y=0$。在$y=0$处，这是有效的线性方程$x=0$；不可舍去该值域值。

对于第二个函数，$1-4y^2\ge0$给出$-1/2\le y\le1/2$。其分母对实数$x$永不为零，因此所有这些值都会出现，包括$0$和两个端点。

改变输出：绝对值与倒数变换

取$f(x)=(x-1)/(x+1)$。对于$y=|f(x)|$，保留非负部分并将负部分关于$x$轴向上翻折。被排除点$x=-1$保持不变。其唯一零点为$x=1$。 对于$y=1/f(x)=(x+1)/(x-1)$，同时排除$x=-1$和$x=1$：前者原本就不在原定义域内，后者使倒数无意义。在$(-1,0)$处有一个空心点，在$x=1$处有一条垂直渐近线；空心点不是零点。

改变输入或对输出平方

对于$f(|x|)$，保留原右半部分并关于$y$轴作镜像反射。此处分母$|x|+1$永不为零；值域为$[-1,1)$，零点位于$x=\pm1$，且在$(0,-1)$处有一个尖点。此类尖点并非必然出现：若原函数在零点的右导数为零，则连接处可以是光滑的。 对于$y^2=f(x)$，仅保留原始输入满足$f(x)\ge0$的部分，然后绘制两条分支$y=\sqrt{f(x)}$和$y=-\sqrt{f(x)}$。此处$x<-1$或$x\ge1$；两个分支在$(1,0)$处汇合，且不存在关于$-1<x<1$的图像。

若要获得对比鲜明的平滑连接，取$h(x)=(x^2+4x+8)/(x+2)$。由于$h(0)=4$和$h'(0)=0$，反射右半部分可使两侧斜率匹配为0：$h(|x|)$在$(0,4)$处是平滑的。

从边界和分支求解不等式

为求解$|(x-1)/(x+1)|<2$，找出使$f=2$和$f=-2$成立的点：边界输入为$-3$和$-1/3$。将极点$-1$纳入符号表或分支图中。 测试由这些值分隔的区间。答案为$x<-3$或$x>-1/3$，端点严格不包含。在未确定符号之前，不可将不等式乘以$x+1$；仅在排除$x=-1$之后，乘以$(x+1)^2$才是安全的。

利用对称性求解含输入模的不等式

对于$f(|x|)<1/2$，令$t=|x|\ge0$。则$(t-1)/(t+1)<1/2$具有正分母并给出$t<3$。 转换回$-3<x<3$。零值被包含在内。若二次计算对$t$产生负边界，则它不可能是$|x|$的值；在反射结果之前，需检查允许的半直线范围。

根据证据构建草图

记录定义域、截距、渐近线、驻点坐标及单侧行为。使用值域计算确认哪些垂直间隙是真实的；水平渐近线不一定是被排除的输出值。 对于相关图像，绘图前声明新的定义域。对于不等式，标记所有边界和极点，测试分支，并保留严格或包含的端点。

Summation of series

在不累加每个步骤的情况下计算工作量

某算法在第$r$阶段执行$r^2$次运算。为估算数千阶段后的总工作量，我们需要一个涵盖整个求和的表达式。 求和 可以将标准公式组合或抵消位移项。无穷总和需要单独检查：有限公式本身并不能证明收敛性。

标准求和及其界限

对于正整数$n$，标准结果为：

边界很重要：$\sum_{r=1}^n1=n$成立，但$\sum_{r=0}^n1=n+1$不成立。应用公式前需检查项数。立方恒等式适用于从1开始的连续整数序列，不适用于任意数字列表。

先展开，再对每一部分求和

对于$\sum_{r=1}^n(2r+1)(r+2)$，展开为$2r^2+5r+2$。结果为$2\sum r^2+5\sum r+2n$。 代入标准结果并简化：

在$n=2$处，原项分别为$3\times3$和$5\times4$，总和为29。该公式也给出$2(16+42+29)/6=29$。小数值$n$检验可发现遗漏的常数及索引错误。

更改起始或结束索引

若 $F(m)=\sum_{r=1}^m u_r$，则 $\sum_{r=p}^q u_r=F(q)-F(p-1)$。最后移除的项是 $p-1$，而非 $p$。 对于 $\sum_{r=0}^n(r+1)^2$，代入 $k=r+1$。新的上下界为 $1$ 和 $n+1$，因此总和为 $(n+1)(n+2)(2n+3)/6$。请同时更改求和限与表达式。

裂项相消法

将一项写作 $F(r)-F(r+1)$，然后列出前几项及最后一项。中间项相互抵消，仅留下边界值 $F(1)-F(n+1)$。 更宽的偏移会保留更多边界项。对于 $F(r)-F(r+2)$，两个起始项和两个结束项得以保留：

部分分式分解使抵消过程清晰可见

对于 $1/[r(r+2)]$，求解 $1=A(r+2)+Br$：得到 $A=1/2,B=-1/2$。因此每一项都是 $\tfrac12(1/r-1/(r+2))$。 使用两步抵消法，并保留其因子：

分解后尚未形成求和式。需展示足够多的首尾项以确立抵消关系，特别是涉及三个部分分式或索引偏移时。在$n=1$处检验公式：它给出$1/3$，即原序列的第一项。

取有限和的极限

当一个级数的部分和趋近于一个有限的实数极限时，该级数是收敛的。在最后这个例子中，两个结束分数趋于零，因此其无穷和为 $3/4$。 $n$ 项之后的剩余尾部为 $S_\infty-S_n$。此处它是 $\dfrac1{2(n+1)}+\dfrac1{2(n+2)}$，可用于确定达到所需精度所需的项数。

Terms tending to zero is not enough. For $u_r=\sqrt{r+1}-\sqrt r$, the terms tend to zero, but $S_n=\sqrt{n+1}-1$ grows without bound. A finite partial-sum limit is the deciding evidence.

差值不一定需要部分分式分解

设 $P_r=r(r+1)(r+2)$。提取公因式得 $P_{r+1}-P_r=3(r+1)(r+2)$。因此 $(r+1)(r+2)$ 的和为 $(P_{n+1}-P_1)/3$。 另一种方法是将两个分数合并为一个分母。例如，$1/r^2-1/(r+1)^2=(2r+1)/[r^2(r+1)^2]$。识别出差值可以避免尝试使用 $\sum1/r^2$ 的公式。

单独检验参数端点

设 $u_r=t^{r(r+1)}-t^{(r+1)(r+2)}$。有限和为 $S_n=t^2-t^{(n+1)(n+2)}$。对于 $|t|<1$，其极限为 $t^2$。 在 $t=1$ 或 $t=-1$ 处，每个指数均为偶数且每项为零：无穷和为 0，而非 1。对于 $|t|>1$，结束幂次无界增长。收敛域为 $[-1,1]$，但求和需单独处理端点值。

在取无穷之前先证明求和公式

展开后选用标准级数，或重排项后选用差值法。注明索引范围，展示保留的边界值，并验证一个小的 $n$ 值。 对于无穷级数，检查精确部分和的极限。在原通项中检验特殊参数值；使用剩余的尾部而非仅下一项来估计误差界。

Matrices

撤销图像编辑

图形程序可将旋转 旋转 或拉伸 拉伸 存储为 矩阵 矩阵。其列显示两个单位方向移动后的位置；相乘即可映射图像中的每个点。 要撤销编辑，必须存在 逆矩阵。要组合编辑，顺序至关重要。正确答案应同时解释计算过程及其对形状的影响。

计算前核对尺寸

具有$m$行和$n$列的矩阵大小为$m\times n$。仅可对同尺寸矩阵逐元素相加或相减；零矩阵 零矩阵的所有元素均为零。 若$A$等于$m\times n$且$B$等于$n\times p$，则$AB$等于$m\times p$。匹配内部维度后，将每一行与每一列相乘。反向乘积可能尺寸不同或根本不存在。

对于非方阵

例如，$(1,2)$处的元素是$1(0)+2(-1)+(-1)(2)=-4$。乘积$BA$存在但为$3\times3$，因此不能等于$AB$。

单位矩阵、交换律与奇异矩阵

The identity matrix 单位矩阵 $I_n$ is $n\times n$, with ones on its main diagonal and zeros elsewhere. For $A$ of size $m\times n$, $I_mA=A=AI_n$. Usually $AB\ne BA$; matrix multiplication is not commutative. 当方阵的行列式 为零时，该方阵是奇异的；它没有逆矩阵。非奇异方阵具有唯一逆矩阵，其行列式为 $AA^{-1}=A^{-1}A=I$。奇异平面变换可能将平面压缩为一条直线或一个单点。

对于 $A=\begin{pmatrix}3&1\\2&4\end{pmatrix}$，

对于任意$2\times2$矩阵，交换两个对角线元素，取反另外两个元素，然后除以$ad-bc$（前提是该行列式不为零）。

展开三阶行列式

求 $3\times3$ 行列式时，选取某一行并删除所选元素所在的行与列。每个剩余的 $2\times2$ 行列式称为余子式。沿第一行的符号遵循 $+,-,+$ 规律。 针对参数，应对行列式进行因式分解并列出所有使其为零的值。在确认参数表达式是否可能为零之前，切勿除以含参数的表达式。

沿第一行展开：

中间的负号属于位置符号，即使余子式本身为负也是如此。

求取并验证三阶逆矩阵

代数余子式等于余子式乘以其位置符号。使用符号模式 $\begin{pmatrix}+&-&+\\-&+&-\\+&-&+\end{pmatrix}$，然后转置代数余子式矩阵：行变为列。将该转置矩阵除以非零行列式。 通过乘法验证结果。若某个代数余子式计算错误或遗漏转置步骤，可能得到一个看似合理但实际并非逆矩阵的结果。

对于上述矩阵$M$，其代数余子式矩阵和逆矩阵分别为

例如，$M$的第二行乘以$M^{-1}$的第一列得到$(0+2-2)/5=0$，这正是$I_3$中$(2,1)$处应有的值。请检查全部九个元素。

按逆序撤销多次运算

对于同阶非奇异方阵，$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$。由于乘法满足结合律，$ABB^{-1}A^{-1}=I$。反向顺序会首先移除最后的运算。 将其推广至三个因子：$(ABC)^{-1}=C^{-1}B^{-1}A^{-1}$。在矩阵方程中，需在正确的一侧相乘：从 $AXB=C$ 出发，当两个逆矩阵均存在时，可得 $X=A^{-1}CB^{-1}$。

不存在通用的矩阵消去规则，即不能像数一样将矩阵从另一个矩阵中约去。此外，$AB$ 即使在 $A$ 和 $B$ 为非方阵时也可能为方阵且奇异：计算乘积后再尝试求其行列式。

根据列构建平面变换

对于列坐标，$\binom XY=T\binom xy$。第一列是$(1,0)$的像，第二列是$(0,1)$的像。它们确定了一个线性变换；原点保持不变。 识别旋转、反射（反射）、放大、拉伸和切变（切变）。根据需要说明中心或轴、方向和因子。具有非零位移的平移无法用作用于这些列坐标的$2\times2$矩阵表示。

变换	矩阵
绕原点逆时针旋转$\theta$	$\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$
关于$x$轴的反射	$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$
关于$y=x$的反射	$\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
以原点为中心，比例因子为$k$的放大	$\begin{pmatrix}k&0\\0&k\end{pmatrix}$
沿$x$轴拉伸，因子为$k$	$\begin{pmatrix}k&0\\0&1\end{pmatrix}$
固定$x$轴的剪切，参数为$(0,1)\mapsto(h,1)$	$\begin{pmatrix}1&h\\0&1\end{pmatrix}$

组合编辑并解释面积

乘积$AB$先应用$B$，然后应用$A$。先进行$S=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$拉伸再进行$90^\circ$逆时针旋转$R$得到$RS=\begin{pmatrix}0&-1\\2&0\end{pmatrix}$。反转顺序则得到$SR=\begin{pmatrix}0&-2\\1&0\end{pmatrix}$。 面积缩放因子为$|\det T|$。$\det T$的符号表示方向是否被反转，而不是面积是否为负。负的放大因子反转两个坐标方向，因此其行列式$k^2$为正。

两幅图像的面积均为2。它们的行列式符号相反：面积大小与方向是不同的属性。

找出保持不动的点

不动点保持其自身坐标：$T\binom xy=\binom xy$。求解$(T-I)\binom xy=\binom00$。原点总是解之一；若存在一条不动点直线，则除原点外还需更多解。 对于$T=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$，方程简化为$x+y=0$。$y=-x$上的每一点都保持不动。若$\det(T-I)\ne0$，则原点是不动点；若为零，则需解方程以找出具体的集合。

对于$T_\theta=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}R_\theta$，非零不动点需要

在$0<\theta<2\pi$上代入$t=\tan(\theta/2)$，并单独检验$\theta=\pi$。然后得到$4t^2-2t=0$，即$\theta=2\arctan(1/2)$。代换得$T_\theta-I=\frac15\begin{pmatrix}2&-1\\4&-2\end{pmatrix}$，因此不变线为$y=2x$。仅凭行列式条件无法得出其方程。

直线可以保持不变但其上的点发生移动

不变直线作为集合映射到自身。其上的单个点可能沿该线移动。对于非奇异映射$\binom XY=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\binom xy$，代入$y=mx$并要求$Y=mX$对该线上的每一点成立。 这给出$bm^2+(a-d)m-c=0$。陈述直线的方程而不仅仅是斜率，并单独测试垂直线$x=0$：假设有限斜率可能会遗漏它。

对于$T=\begin{pmatrix}2&0\\1&3\end{pmatrix}$，有限斜率方程为$-m-1=0$，故$y=-x$是不变线。竖直线$x=0$也是不变线，因为$(0,y)\mapsto(0,3y)$。

$x=0$上没有非零点保持不动。对于此矩阵，求解$(T-I)(x,y)^{\mathsf T}=0$仅得原点：不变直线（不变直线）与不动点直线（不动点）回答的是不同的问题。

检查远离原点的直线

对于直线$y=mx+c$，将其一般点代入$(X,Y)$并要求$Y=mX+c$对所有$x$成立。比较$x$的系数和常数项。单独测试垂直线$x=c$。 对于剪切变换 $H=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}$，每条水平线 $y=c$ 均为不变线：$(x,c)\mapsto(x+2c,c)$。仅 $y=0$ 是不变点所在的直线。在 $y=1$ 上，每一点向右移动两个单位。

两个标记点沿 y=1 移动，因此该直线保持不变。y=0 上的每个点都停留在原位。

在代数运算前选择条件

首先明确任务是求乘积、逆矩阵、变换、不动点还是不变直线。计算前声明尺寸和限制条件，并完整描述几何变换（几何变换）。 通过乘积验证逆矩阵，通过$T\mathbf v=\mathbf v$验证不动点，并通过变换后的方程验证不变直线。单点的数值检验不能证明整条直线都不变。

单位矩阵也称为单位矩阵。逆矩阵（逆矩阵）可抵消非奇异映射；奇异矩阵（奇异矩阵）无逆矩阵。在描述几何变换时，需区分不动点与不变直线。

Polar coordinates

极坐标曲线（极坐标曲线）由半径和角度描述，以及允许的区间。

选择符合测量要求的坐标

雷达用于测量距离和方向。极坐标将这两个量存储为 $(r,\theta)$，而非直角坐标所使用的水平与垂直距离。 以雷达为中心的圆具有简单方程 $r=a$。其他圆需要不同的方程：原点的选择依然重要。即使存在旋转对称，允许的区间可能仅显示曲线的一部分；还需读取该区间。

定位一个点并选择其角度

极点是原点；极轴沿正 $x$ 轴方向延伸。本课程中使用 $r\ge0$。角度从极轴开始逆时针测量；微积分中请使用弧度制。 使用 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$ 和 $r^2=x^2+y^2$ 进行转换。在反向转换时，使用 $r=\sqrt{x^2+y^2}$ 并根据象限选择一个位于指定区间内的角度，而不仅仅依赖 $\arctan(y/x)$。

对于 $(-\sqrt3,1)$、$r=2$。$0\le\theta<2\pi$ 中的角度对应 $5\pi/6$，而非 $-\pi/6$：该点位于第二象限。在极点处 $r=0$，所有角度描述均指向同一点，因此角度不唯一。

半径表示距离。尽管 r 非负，但其水平和垂直分量可能为负。

转换方程并保持定义域

将坐标关系代入方程，化简后，检查任何涉及乘以或除以 $r$ 的步骤。除以 $r$ 可能会丢失极点；乘以 $r$ 可能会引入极点。 对于 $r=4\cos\theta$，两边同乘 $r$ 得到 $x^2+y^2=4x$，因此 $(x-2)^2+y^2=4$。该圆的圆心为 $(2,0)$，半径为 $2$，在 $-\pi/2\le\theta\le\pi/2$ 上描绘一次。$4\cos\theta$ 的负值在 $r\ge0$ 下是不允许的。

直线 $x=2$ 变为 $r\cos\theta=2$，或带 $-\pi/2<\theta<\pi/2$ 的 $r=2\sec\theta$。两边乘以 $r$ 会得到 $r^2\cos\theta=2r$，这也包含了 $r=0$：这个额外的点不在 $x=2$ 上。

根据特征绘制草图

标出极点、极轴、指定的角度区间、极轴上的点、零及最大/最小半径，以及极点附近的形状。利用几个特殊角度来定位曲线；无需逐点详细绘图。 使用方程和区间测试对称性。用 $-\theta$ 替换 $\theta$ 可测试关于极轴的反射；关于角度为 $\alpha$ 的直线反射，则用 $2\alpha-\theta$ 替换 $\theta$。公式具有对称性但区间不对称时，整体图形未必对称。

对于 $r=2(1+\cos\theta)$ 在 $-\pi\le\theta\le\pi$ 上，曲线为 心脏线。它关于极轴对称，在 $\theta=0$ 处达到最大半径 $4$，与 $y$-轴交于 $(0,\pm2)$，且在 $\theta=\pm\pi$ 时在极点处有一个尖点。它是单条闭合曲线，不是圆。

受限区间可选择单个环

若给定$r^2$，取非负平方根并检查其实数定义域。对于$r^2=\sin2\theta$在$0\le\theta\le\pi/2$上的曲线，它起于极点终于极点，停留在第一象限，并在$\theta=\pi/4$处达到$r=1$。 由于 $\sin(2(\pi/2-\theta))=\sin2\theta$，该环关于 $\theta=\pi/4$ 对称。靠近 $\theta=0$ 时，$r^2\approx2\theta$，因此它沿极轴离开极点；靠近另一端点时，它沿正 $y$ 方向返回。

两个端点均为同一极点。最大半径位于对称轴上，而非任一坐标轴上。

通过径向扇形求面积

薄扇形的面积约为 $\tfrac12r^2\,\Delta\theta$。累加这些扇形即得下方精确面积，前提是所选区域被扫过一遍。对 $r$ 平方，保留系数 $1/2$ 并使用弧度制界限。 对于上述环，$r^2$ 已经是 $\sin2\theta$：不要再对其平方。端点提供界限，而非死记硬背的一整圈。

对于完整的心脏线$r=a(1+\cos\theta)$，使用$(1+\cos\theta)^2$和$\cos^2\theta=(1+\cos2\theta)/2$。其总面积为$3\pi a^2/2$。

界定两条曲线之间的区域

通过令两曲线的半径相等求解公共射线，并单独检查极点。确定每个区间内哪条半径在外侧。径向条带的面积为 $\tfrac12(r_{\rm outer}^2-r_{\rm inner}^2)\,d\theta$；它不是半径之差的平方。 在第一象限中，位于$r=4\cos\theta$内部但在$r=2$外部的区域处于$0\le\theta\le\pi/3$上。整个区域还包括其关于x轴的对称下半部分；仅在题目要求时才将其包含在内。

极点不是公共点：$r=2$从未到达它。一条曲线上的点除非同时位于另一条曲线上，否则不算作交点。

离极点最远并不等于最高

距极点的距离为$r$。求其极值时，比较$r$的允许端点和驻点值，或在$r\ge0$条件下比较$r^2$的值。具有最大$r$的点未必具有最大$x$或$y$。 第一象限内一点到初始线的距离为$y=r\sin\theta$。在求导之前先写出所需的距离表达式，然后检查其端点。对于其他区域，需考虑符号以及题目是指整条直线还是半直线。

对于 $r=2\sin2\theta$，$0\le\theta\le\pi/2$，最大极径为 $2$，出现在 $\theta=\pi/4$ 处。然而，

将 $u=\cos\theta$ 写作 $y=4u(1-u^2)$ 对应于 $0\le u\le1$。其最大值出现在 $u=1/\sqrt3$ 处，给出不同角度下的 $y_{\max}=8/(3\sqrt3)$。两个端点均给出 $y=0$。

积分不熟悉的极坐标曲线

极坐标方程不一定是已命名的圆或心形线。对于$r=\theta e^{\theta/2}$在$0\le\theta\le\pi$上的情况，半径从$0$增加到$\pi e^{\pi/2}$。曲线从极点开始，逆时针旋转半圈后终止于负$x$轴上。 从极点扫过的区域由曲线和端点射线围成。其面积为$\tfrac12\int_0^\pi\theta^2e^\theta\,d\theta$。通过两次分部积分可得精确值；不要将其替换为以最大半径画出的圆的面积。

确定区域后再选择积分限

陈述非负半径约定及允许的角度范围，绘制关键特征，并在转换方程时将可能丢失或引入的极点保留审查。 计算面积时，识别区域并使其仅扫过一次。求最大距离时，确定待优化的表达式是$r$、$x$、$y$还是到指定直线的距离。同时检查端点和驻点值。

Vectors

向量 描述大小和方向。

在空间中找出最短安全路径

无人机必须以最短路径接近平坦屋顶。电缆必须连接两条不相交的轨道。这是两个不同的几何问题：首先确定涉及的点、线和平面。 仅有方向不足以确定一条完整直线。仅有距离无法定位其端点。向量积 和数量积 可帮助你构建几何模型并进行验证。

选择能回答问题的乘积类型

数量积为$\mathbf u\cdot\mathbf v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$。对于非零向量，它等于$|\mathbf u||\mathbf v|\cos\theta$，因此数量积为零表示垂直 方向。零向量没有方向或未定义角度。 向量积是反交换 的：交换顺序会改变其符号。其模长为$|\mathbf u||\mathbf v|\sin\theta$，即由向量张成的平行四边形 的面积。三角形面积为此值的一半。对于非平行输入，$\hat{\mathbf n}$是按有序乘积方向的单位法向量。

对于 $\mathbf u=(1,1,0)$ 和 $\mathbf v=(0,1,1)$，

叉积与每个输入的标量积为零且大小为 $\sqrt3$。平行向量的叉积为零，因此它们无法为唯一平面提供法向量方向。相比之下，$(1,1,0)$ 和 $(1,-1,0)$ 的标量积为零且相互垂直。

阅读平面的三种形式

法向量 是与平面内所有方向都垂直的非零向量。笛卡尔形式$ax+by+cz=d$即数量积形式$\mathbf r\cdot\mathbf n=d$，其中$\mathbf n=(a,b,c)$。单位法向量为$\mathbf n/|\mathbf n|$。除非法向量是单位向量，否则数$d$通常不是到原点的距离。 在$\mathbf r=\mathbf a+\lambda\mathbf b+\mu\mathbf c$中，$\mathbf a$定位一个点，非平行向量$\mathbf b,\mathbf c$给出平面内的方向。参数独立变化。平行的方向向量仅描述一条直线，而非平面。

具有法向量 $(2,-1,3)$ 且经过点 $(1,0,2)$ 的平面有

将所有系数（包括右侧）乘以同一个非零常数，得到的是同一个平面。

将参数式平面转换为笛卡尔形式

取两个方向向量的叉积以求得法向量。然后利用已知点求常数：$\mathbf n\cdot\mathbf r=\mathbf n\cdot\mathbf a$。对于三个给定点，首先从其中一个点出发构造两个位移向量。 要还原为参数方程，选取两个坐标作为自由参数，解出第三个变量，并将一个固定点与两个方向项分离。验证两个方向向量均与法向量的标量积为零。

支持

法向量是 $(1,-1,1)$，得出 $x-y+z=3$。反之，设定 $x=1+\lambda$ 和 $z=2+\mu$。笛卡尔方程给出 $y=\lambda+\mu$，从而恢复原始参数形式。

求解前对直线和平面进行分类

将$\mathbf r=\mathbf a+t\mathbf u$代入$\mathbf n\cdot\mathbf r=d$。若$\mathbf n\cdot\mathbf u\ne0$，则存在唯一交点，由下方参数求得。代回原式得到实际点的坐标。 若$\mathbf n\cdot\mathbf u=0$，测试基准点。当$\mathbf n\cdot\mathbf a=d$时，整条直线位于平面内；否则二者平行且分离。除以零会掩盖这一区别。

对于平面 $x-y+z=3$，直线 $\mathbf r=t(1,0,1)$ 在 $2t=3$ 时与其相交，交点为 $(3/2,0,3/2)$。直线 $(1,0,2)+t(1,1,0)$ 位于平面内。直线 $t(1,1,0)$ 平行且不重合，因为其点满足 $x-y+z=0$。

求垂足

点$P$到平面的垂足$H$位于过$P$的法线上。写出$\mathbf h=\mathbf p-t\mathbf n$，代入平面方程，然后解出$t$。符号决定沿法线移动的方向。 验证两个条件：$H$在平面内且$\overrightarrow{PH}$与其法向量平行。仅找到平面上的某一点并不能说明该点是最近点。

从$P=(3,0,3)$到$x-y+z=3$，使用$\mathbf n=(1,-1,1)$：

因此$t=1$和$H=(2,1,2)$。它满足$2-1+2=3$，且$\overrightarrow{PH}=(-1,1,-1)$与法线平行。

计算点到平面的距离

最短距离即为位移向量在法线方向上的分量。对于非零法向量，使用分子的绝对值以获得非负距离；不要混淆平面常数与距离符号。 将平面方程乘以非零常数会使分子和分母同比例变化，距离保持不变。分子为零意味着该点已位于平面内。

对于$P=(3,0,3)$和$x-y+z=3$，结果为$D=|6-3|/\sqrt3=\sqrt3$。这与上述$\overrightarrow{PH}$的长度一致。该平面到原点的距离也是$|3|/\sqrt3=\sqrt3$，尽管这是不同的点到平面问题。

用法向量求平面夹角

两平面间的较小夹角等于其法向量方向的较小夹角，公式为$0\le\alpha\le\pi/2$。绝对值标量积消除了法向量方向的选择：$\mathbf n$和$-\mathbf n$描述的是同一个平面。 直线与平面的夹角$\phi$等于其方向向量与平面法向量夹角的余角。求直线与平面夹角时使用正弦函数，公式为$0\le\phi\le\pi/2$，并验证两个方向向量均为非零。

平面$x-y+z=3$和$x+y+z=5$的法向量标量积为$1$，模长分别为$\sqrt3$，因此夹角为$\alpha=\arccos(1/3)\approx70.5^\circ$。方向为$(1,0,1)$的直线与第一个平面的夹角为$\phi=\arcsin(2/\sqrt6)\approx54.7^\circ$。若使用余弦则得到的是其与法线的夹角。

求两平面的交线

对于非平行法向量，交线方向为$\mathbf n_1\times\mathbf n_2$。通过联立两个平面方程求出公共点，再写出完整的直线方程：点加参数乘方向向量。 若法向量平行，使用相同比例因子比较常数：两平面要么重合，要么平行且分离。零叉积无法提供交线方向。

用 $x+y+z=5$ 减去 $x-y+z=3$ 得到 $y=1$，进而求出 $x+z=4$。公共点为 $(4,1,0)$。两法向量的叉积为 $(-2,0,2)$，因此等价交线为

该直线上的每一点都同时满足两个平面方程；无需使用未简化的方向向量。

判断两条直线是否异面

异面直线是既不平行也不相交的直线。对于$\mathbf r=\mathbf a+s\mathbf u$和$\mathbf r=\mathbf b+t\mathbf v$，比较其方向向量；若非平行，则联立三个坐标方程求解交点。必须使用两个不同的直线参数。 当$\mathbf u\times\mathbf v\ne0$时，两直线共面的充要条件是$(\mathbf b-\mathbf a)\cdot(\mathbf u\times\mathbf v)=0$。非零值证明它们是异面直线。切勿将异面距离公式的分母应用于平行线。

该示意图以 x 轴和高度为 2 的 y 平行线为例。它们的最近点具有相同的 x 和 y 坐标，因此连接线的长度为 2。

计算最短异面距离

对于不平行直线，$\mathbf u\times\mathbf v$同时垂直于两条直线。将其基点间的位移向量投影到该方向上。叉积的任意非零倍数均给出相同的距离。 下方公式仅给出距离数值，而非最短线段的位置。对于平行线请使用$|(\mathbf b-\mathbf a)\times\mathbf u|/|\mathbf u|$替代；对于相交的不平行直线，分子为零。

令

它们的叉积为 $(1,-1,1)$，基点位移向量为 $(1,2,2)$。其与叉积的点积为 $1$，因此它们异面且 $D=1/\sqrt3$。

定位公垂线

设$P=\mathbf a+s\mathbf u$和$Q=\mathbf b+t\mathbf v$。最短连接线段满足$(\mathbf q-\mathbf p)\cdot\mathbf u=0$和$(\mathbf q-\mathbf p)\cdot\mathbf v=0$。联立解这两个方程求出参数。 以过$P$且方向为$\mathbf u\times\mathbf v$的直线表示公垂线，或以过$Q$且同方向的直线表示。验证其与两条原直线相交，且线段长度与距离公式一致。仅通过任意点作垂线方向是不够的。

对于上述两条直线，

正交性得出 $2s-t=3$ 和 $s-2t=4$，进而得到 $s=2/3$ 和 $t=-5/3$。因此

是公垂线。在 $k=1/3$ 处它到达 $Q$，且 $|PQ|=\sqrt3/3$ 与 $1/\sqrt3$ 一致。

检验几何条件

法向量必须非零，平面需两个独立方向，异面距离分母要求直线不平行。在平方距离方程前须声明参数限制；绝对值可能产生多个有效解。 将假设点代入其所在平面，检查交线是否属于两个平面，并验证公垂线的两个正交方程。这些检验解释了为何结果符合几何要求。

Proof by induction

使用此方法的证明称为归纳证明。

可重复的规则必须有起点

仅检查前几个正整数无法确立无穷多情形。数学归纳法将一个初始真命题与通向每一个后续命题的规则相连接。 基础情形启动推导链。归纳步骤对任意允许整数证明条件关联，而不仅仅是短表中的下一个数。

明确陈述待证命题

写出命题$P(n)$及其整数范围（从$n_0$开始）。直接验证$P(n_0)$，必要时引用给定起始条件。随后假设$P(k)$对任意整数$k\ge n_0$成立，并由此推导出$P(k+1)$。 归纳假设是临时且条件性的：它并不假设结论对所有整数成立。由于已验证的基础情形与一般递推关系相结合，可得出 $P(n)$ 对所有整数 $n\ge n_0$ 成立。

不要试图在证明 $k+1$ 时预设其为真。仅展示 $P(k+1)\Rightarrow P(k)$ 会导致错误的蕴含关系。反向代数运算有助于规划思路，但证明需要有效的正向论证，或经过合理说明的等价语句链。

求和式中添加新项

对于有限和式，分离出$k+1$和式的末项。仅用假设替换其前$k$项，再化简为含$n=k+1$的公式形式。 展示起始情形、确切假设及最终结论。若某行仅引用$k+1$的求和公式而未建立逻辑关联，则未能完成证明。

证明正整数 $n$ 满足 $\sum_{r=1}^{n}r(r+1)=n(n+1)(n+2)/3$。

在 $n=1$ 处，等式两边均等于 $2$。假设公式对 $n=k$ 成立。那么

这就是所需的 $k+1$ 公式，因此由归纳法可知结果对所有正整数成立。

证明整除性时构造整数倍

要证明一个表达式能被非零整数 $m$ 整除，需将其写成 $m$ 乘以一个整数的形式。在归纳步骤中，分离出假设可被整除的表达式，并证明所有剩余项也都是 $m$ 的倍数。 $k$ 表达式的方便倍数以及连续两项之间的差值均可提供帮助。请明确命名整数乘数；仅凭“通过观察可知其可被整除”的说法可能会掩盖未使用归纳假设的问题。

设 $F_n=10^n-4^n$。在 $n=1$ 处，$F_1=6$。假设 $F_k=6q$ 对整数 $q$ 成立。那么

括号内的部分是一个整数。因此 $6$ 整除 $F_{k+1}$，且归纳法证明了该结果对所有正整数 $n$ 成立。

利用递推关系向前推导

递推关系提供了从 $u_k$ 到 $u_{k+1}$ 的合法途径。验证所提议的通项公式是否具有正确的首项，将其 $k$ 版本代入递推关系并进行化简。 除非你确立了与已知 $k$ 公式的可逆等价关系，否则切勿直接将所提议的 $k+1$ 公式代入递推关系便声称完成了证明。最清晰的思路应从给定的递推关系出发。

假设 $u_1=2$ 和 $u_{n+1}=3u_n+2$。命题为 $u_n=3^n-1$。它在 $n=1$ 时成立。假设 $u_k=3^k-1$ 成立，

这证明了所声称的通项公式对所有正整数均成立，而不仅仅是最初计算出的几项 $2,8,26$。

保持界限并检查分母符号

对于涉及递推关系的不等式，将假设代入一个符号可控的表达式中。在使用该表达式以保持不等式之前，必须先说明其分母为何为正。 有时所需的归纳假设包含两个界限。需证明这两个界限在每一步中均成立。一旦为每一项确立了界限，即可在不预设答案的情况下，为后续的单调性论证提供依据。

设 $u_1=1$ 和 $u_{n+1}=(4u_n+3)/(u_n+2)$。证明 $0<u_n<3$。

第一项同时满足两个不等式。若 $0<u_k<3$ 成立，则 $u_{k+1}$ 的分子和分母均为正。此外，

因此 $0<u_{k+1}<3$ 成立。由数学归纳法可知，$0<u_n<3$ 对所有正整数 $n$ 均成立。已确立的界限进而给出

故该数列是递增的。最后这一推论依赖于已证的界限；它不能替代该界限本身的证明。

通过矩阵乘法证明幂次公式

对于单个矩阵的幂次 $M^{k+1}=M^kM$，将所提议的 $M^k$ 表达式代入，按行乘列进行计算，并证明每个元素都具有 $k+1$ 的形式。 矩阵的幂次并非通过对每个元素分别求幂得到。此外，仅在 $M$ 和 $M^2$ 处验证过的公式只是证据，直到任意 $k$ 步骤被证明为止。

当 n $M=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}$ 时，命题为

n=$n=1$ 的情形即为 $M$ 本身。利用 k=n $k$ 的归纳假设，

因此该公式对所有正整数均成立（由归纳法）。单独的 n=$n=0$ 情形对应 $M^0=I$，同样符合此公式。

猜想并证明导数规律

猜想是由证据提出的命题，而非已确立的定理。计算前几个导数，寻找规律，并用起始值为 $n$ 的方式精确表述。 对于 $n$ 阶导数公式，对假设的 $k$ 阶导数再求一次导。正确的规律必须在归纳步骤中包含实际的求导与化简过程。

当 n=$f(x)=xe^{2x}$ 时，前几个导数分别为 $e^{2x}(2x+1)$、$e^{2x}(4x+4)$ 和 $e^{2x}(8x+12)$。据此作出猜想

一阶导数给出了基础情形。对$k$公式求导可得

这正是所需的$k+1$阶导数。因此该猜想对所有正整数$n$均成立。

使陈述中的导数阶数匹配

若所宣称的公式针对导数阶数 $2n$，则将 $n$ 增加一会使导数阶数增加二。归纳步骤必须求两次导。在开始代数运算前先统计导数阶数。 单独追踪交替符号及依赖于 $n$ 的系数。关于特定偶数阶导数的陈述并不自动等同于关于所有导数阶数的陈述。

当 n $f(x)=x\sin x$ 时，命题为

在$n=1$处，$f''(x)=2\cos x-x\sin x$，如所需。对假设的$2k$公式求一次导得$(-1)^k\{x\cos x+(2k+1)\sin x\}$。第二次求导得

从而完成至$2(k+1)$阶导数的步骤。因此该公式通过归纳法对所有正整数$n$成立。

将简短试验转化为阶乘猜想

阶乘 阶乘定义为正整数$n$的$n!=1\cdot2\cdots n$，含$0!=1$。若干部分和可能暗示移位阶乘，但该模式必须在一般归纳步骤中依然成立。 仔细计算前几项，观察加减某个常数后是否呈现简单表达式。若题目要求用归纳法证明，即使存在直接的裂项相消法，也应写出归纳证明过程。

对于$S_n=\sum_{r=1}^{n}r\,r!$，前几个和为$1,5,23,119$。加上$1$后提示结果为$S_n=(n+1)!-1$。

在$n=1$处，两边均等于$1$。假设$k$处的公式成立，

因此该猜想通过归纳法对所有正整数成立。恒等式$r\,r!=(r+1)!-r!$也解释了为何和式会裂项相消，但仅列出早期数值并非证明。

从命题实际覆盖的首项开始

命题可能从 $n=4$ 或另一个指定的整数开始。需验证该起始情况，并假设 $k$ 处于允许范围内；不可擅自将定义域替换为所有正整数。 对于 $2^n\ge n^2$ 与 $n\ge4$，基础情形为 $16=16$。由 $2^k\ge k^2$ 可推出 $k\ge4$，进而得到 $2^{k+1}\ge2k^2\ge(k+1)^2$，因为 $2k^2-(k+1)^2=(k-1)^2-2>0$ 也在该范围内。因此，归纳法可证明该命题对所有整数 $n\ge4$ 成立。

该链证明了从4开始的所述范围。实际上n=3不成立，因为8小于9；起始点是声明的一部分。

检验蕴含关系与结论

检查是否在正向推导中正确使用了假设来证明下一项，且所有表达式均有定义。仅有已验证的基础情形和反向蕴含关系，不足以确立后续整数的命题成立。 使结论与递推链匹配：$P(k)\Rightarrow P(k+1)$ 能到达每一个后续整数，而从 $k$ 到 $k+2$ 的递推链仅能从单一起点到达同奇偶性的一半整数。若要覆盖两种奇偶性，则需两个起始点。

陈述 $P(n): n\le5$ 给出了警示。尽管 $P(1)$ 为真且 $P(k+1)\Rightarrow P(k)$ 对正整数成立，但 $P(6)$ 却是假的。反向蕴含不能替代所需的正向步骤。

Exam tips

• 用根和系数之间的关系(和、成对的和、积)而不是解多项式。
• 对于归纳证明,布置基本情形、假设结果对 $n = k$、对 $n = k+1$ 证明它,并写一个清晰的结束陈述。
• 作有理函数图形的草图,带它们的渐近线和驻点;对一个求和用差分法。
• 对于矩阵,知道行列式、逆和不变直线,并从几何上解释每个变换。