A-Level 进阶数学

对一个多项式方程,根(roots)与系数(coefficients)联系。对于有根 $\alpha, \beta$ 的 $ax^2 + bx + c = 0$:

对于有根 $\alpha, \beta, \gamma$ 的一个三次式 $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$: 像 $\sum\alpha$ 和 $\sum\alpha\beta$ 的和是根的对称函数(symmetric functions,若根被交换则不变)。要找到一个根以一种简单方式被改变的方程,用一个代换(substitution,例如令 $w = \alpha + 1$)。

例题。 方程 $x^2 - 5x + 6 = 0$ 有根 $\alpha, \beta$。求以 $\alpha + 1, \beta + 1$ 为根的方程。

这里 $\alpha + \beta = 5$ 且 $\alpha\beta = 6$。新的和是 $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$,而新的积是 $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$。所以新方程是

一个有理函数(rational function)是两个多项式的一个分数。当上面的次数恰好比下面的高一次时,图形有一条斜渐近线(oblique asymptote,曲线逼近的一条斜线);通过除出来找到它。你也应当能够把 $y = f(x)$ 的图形与 $y^2 = f(x)$、$y = \dfrac{1}{f(x)}$、$y = |f(x)|$ 和 $y = f(|x|)$ 的联系起来。用判别式(discriminant)求函数能取的值的集合,并定位它的驻点(turning points)。

例题。 求 $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ 的斜渐近线。

除出这个分数:$\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$。当 $x \to \pm\infty$ 时余数 $\dfrac{1}{x+1} \to 0$,所以曲线逼近直线 $y = x$——斜渐近线。

学习这些标准结果:

差分法(method of differences)通过抵消中间项来求一个级数的和:若部分分式(partial fractions)把每一项写成 $f(r) - f(r+1)$,几乎所有的都抵消。从到 $n$ 项的和你能看出一个级数是否收敛(convergent),若是,求它的无穷和(sum to infinity)。

例题。 求 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$。

一个矩阵(matrix)是一个矩形的数块。矩阵加法把匹配位置的元素相加;你也能减和乘矩阵(乘法是行 $\times$ 列)。零矩阵(zero matrix)每个元素都是 $0$,而单位矩阵(identity matrix,或 unit matrix)$I$ 在乘法下使任何矩阵不变。

对一个 $2\times 2$ 矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$,行列式(determinant)是 $\det A = ad - bc$。若 $\det A \neq 0$ 矩阵是非奇异的(否则它是一个奇异矩阵(singular matrix)),而逆矩阵(inverse matrix)是

对一个乘积,$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$。一个 $2\times 2$ 矩阵能表示平面的一个几何变换(geometric transformation)——一个旋转(rotation)、反射(reflection)、放大(enlargement)、拉伸(stretch)或切变(shear):行列式给出面积比例因子,而一个乘积 $AB$ 意味着"做 $B$,然后 $A$"。不移动的点或直线叫不变点(invariant points)和不变直线(invariant lines)。

例题。 求 $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$ 的逆。

$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$,所以

极坐标(polar coordinates)用一个点从原点的距离 $r$ 和它的角 $\theta$ 给出它。它们通过以下与直角坐标(Cartesian coordinates)联系

你应当作简单的极坐标曲线(polar curves)的草图,并用以下求一个扇形的面积

例题。 把极坐标方程 $r = 4\cos\theta$ 转换成直角坐标形式。

两边乘以 $r$:$r^2 = 4r\cos\theta$,所以 $x^2 + y^2 = 4x$。配方给出 $(x - 2)^2 + y^2 = 4$,一个以 $(2, 0)$ 为圆心、半径 $2$ 的圆。

在三维中一个平面(plane)能被写成 $ax + by + cz = d$,或 $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$,或 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$。除了数量积,还有两个向量(vectors)的向量积(vector product):

它给出一个与两者都成直角的向量。用数量积和向量积你能求距离、角,以及直线和平面相遇的地方——包括异面直线(skew lines)之间的最短距离。

例题。 对 $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ 和 $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$ 求 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$。

数学归纳法(mathematical induction)分两步对每个正整数 $n$ 证明一个结果:

1. 基本情形:证明结果对 $n = 1$ 为真。
2. 归纳步骤:假设它对 $n = k$ 为真,然后对 $n = k + 1$ 证明它。

若两步都有效,结果对所有 $n$ 为真。往往你先从几个情形做一个猜想(conjecture,一个合理的猜),然后用归纳证明(inductive proof)确认它。

例题。 证明 $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$。

基本情形 $n = 1$:左边是 $1$,右边是 $\tfrac12(1)(2) = 1$。为真。 归纳步骤:假设 $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$。那么

这是 $n = k + 1$ 的公式,所以由归纳法它对所有 $n$ 成立。

• 用根和系数之间的关系(和、成对的和、积)而不是解多项式。
• 对于归纳证明,布置基本情形、假设结果对 $n = k$、对 $n = k+1$ 证明它,并写一个清晰的结束陈述。
• 作有理函数图形的草图,带它们的渐近线和驻点;对一个求和用差分法。
• 对于矩阵,知道行列式、逆和不变直线,并从几何上解释每个变换。

双曲函数(hyperbolic functions)从指数函数构建:

它们遵守很像三角函数的恒等式,主要的一个是 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$。三个倒数补全这一组:$\operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x}$、$\operatorname{cosech} x = \dfrac{1}{\sinh x}$,和 $\coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x}$——也都由 $e^x$ 构成,值得在积分和评分方案里认出来。反双曲函数(inverse hyperbolic functions)有一个对数形式(logarithmic form),例如 $\sinh^{-1} x = \ln\!\left(x + \sqrt{x^2 + 1}\right)$。

例题。 证明 $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$。

你能把三个未知数的三个线性方程写成一个单一的矩阵方程(matrix equation)$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$。若 $A$ 非奇异有一个解;若 $A$ 奇异,这些方程要么不相容(无解)要么有无穷多个。

对一个方阵 $A$,特征方程(characteristic equation)是 $\det(A - \lambda I) = 0$。它的解是特征值(eigenvalues)$\lambda$,而对每个,满足 $A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}$ 的向量 $\mathbf{v}$ 是一个特征向量(eigenvector)。你随即能写 $A = QDQ^{-1}$,其中 $D$ 是一个特征值的对角矩阵(diagonal matrix)而 $Q$ 的列是特征向量。

例题。 求 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ 的特征值。

特征方程是

所以 $\lambda = 1$ 或 $\lambda = 3$。($\lambda = 3$ 的特征向量是 $\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$,而 $\lambda = 1$ 的是 $\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。)

你现在能微分双曲函数和反函数 $\sin^{-1}x$、$\tan^{-1}x$、$\sinh^{-1}x$ 等等。你也能对隐式或参数给出的曲线求 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

一个麦克劳林级数(Maclaurin's series)把一个函数写成一个幂级数:

例如 $e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots$

例题。 求 $f(x) = \ln(1+x)$ 到 $x^3$ 项的麦克劳林级数。

$f(0) = 0$;$f'(x) = \dfrac{1}{1+x}$ 所以 $f'(0) = 1$;$f''(x) = \dfrac{-1}{(1+x)^2}$ 所以 $f''(0) = -1$;$f'''(x) = \dfrac{2}{(1+x)^3}$ 所以 $f'''(0) = 2$。代入级数:

学习这些标准积分:

一个三角替换、一个双曲替换,或分母中的配方法(completing the square)处理相关的形式。一个递推公式(reduction formula)把一个积分 $I_n$ 与 $I_{n-1}$ 联系起来,所以你能一步步往下算。积分也给出一条曲线的弧长(arc length),以及当一条曲线绕一个轴旋转时的旋转曲面面积(surface area of revolution)。

例题。 求 $\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$。

这里 $a^2 = 4$,所以 $a = 2$ 且

用积分界定一个和。 在一条递减曲线(如 $y=\frac1x$)下方或上方画单位宽的矩形。每个高 $\frac1r$ 的矩形被夹在两个积分条之间,所以求和给出

把矩形宽度缩到 $\frac1n\to 0$,这样一个和就变成一个在极限里等于积分的黎曼和(Riemann sum),例如 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{r=1}^{n}f\!\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$。

极坐标形式的一个复数(complex number)是 $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。棣莫弗定理(De Moivre's theorem)说对任何整数 $n$,

它被用来把 $\cos n\theta$ 和 $\sin n\theta$ 展开成幂、求级数的和,并求 $n$ 个单位根(roots of unity,$z^n = 1$ 的解,在单位圆周围等间距)。

例题。 用棣莫弗定理把 $\cos 3\theta$ 用 $\cos\theta$ 表示。

取 $(\cos\theta + i\sin\theta)^3 = \cos 3\theta + i\sin 3\theta$ 的实部:

对一个一阶线性方程 $\dfrac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)$,乘以积分因子(integrating factor)$\mu = e^{\int P\,dx}$。左边随即变成 $\dfrac{d}{dx}(\mu y)$,所以你能直接积分。

对一个常系数线性方程,通解(general solution)是两部分的和:余函数(complementary function,右边设为 $0$ 的方程的解,从辅助方程求得)和一个特积分(particular integral,完整方程的任何一个解)。初始条件随即确定这些常数以给出特解(particular solution);更简单的带可分离变量(separable variables)的方程直接积分。

例题。 解 $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^x$。

积分因子是 $\mu = e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$。乘过给出 $\dfrac{d}{dx}\!\left(y\,e^{2x}\right) = e^{3x}$,所以

二阶常系数。 对 $\dfrac{d^2y}{dx^2}+b\dfrac{dy}{dx}+cy=f(x)$,解辅助方程(auxiliary equation)$m^2+bm+c=0$。余函数取决于它的根:

• 两个不同的实根 $m_1,m_2$:$y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$;
• 一个重根 $m$:$y=(A+Bx)e^{mx}$;
• 复根 $p\pm qi$:$y=e^{px}(A\cos qx+B\sin qx)$。

然后加一个特积分,试一个匹配 $f(x)$ 的形式(一个多项式、$ae^{bx}$,或 $a\cos px+b\sin px$);若那个试探已经出现在余函数里,就把它乘以 $x$。

例题。 解 $\dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx}+4y=0$。辅助方程 $m^2-4m+4=(m-2)^2=0$ 有一个重根 $m=2$,所以 $y=(A+Bx)e^{2x}$。

• 学习双曲恒等式和导数,并在积分中用反双曲函数。
• 把一个线性微分方程解成余函数 $+$ 特积分,然后应用边界条件。
• 用棣莫弗定理求复数的幂和根,并推导三角恒等式。
• 通过一个陈述的替换把一个积分化到一个标准形式。

一个抛射体(projectile)在重力下自由运动,所以它有向下的匀加速(constant acceleration)$g$ 且没有水平加速度。把水平和竖直运动分开处理。若它以速率 $u$、角 $\alpha$ 被发射:

消去 $t$ 给出轨迹(trajectory,路径)的直角坐标方程(Cartesian equation),它是一条抛物线。对于一个固定的发射速率,所有的轨迹位于一条包络抛物线(bounding parabola,可达点的包络)之下。在水平地面上的射程是 $\dfrac{u^2\sin 2\alpha}{g}$,而最大高度是 $\dfrac{u^2\sin^2\alpha}{2g}$。

例题。 一个球以 $u = 20\ \text{m s}^{-1}$、与水平成 $30^\circ$ 被抛出。求射程和最大高度。

一个力关于一个点的力矩(moment)是力 $\times$ 垂直距离;它测量转动效果。一个物体的重力作用在它的质心(centre of mass),对一个均匀的平面形状(一个薄片(lamina))你能用对称(symmetry)找到它,或通过把一个复合物体当作一组质点找到它。

一个刚体在共面力(coplanar forces)下,当两个条件都成立时处于平衡(equilibrium):力的向量和为零,而关于任何点的力矩之和为零。一个物体也可能在翻倒(toppling)或滑动(sliding)的边缘。

例题。 一根长 $4\ \text{m}$、重 $100\ \text{N}$ 的均匀梁 $AB$ 放在 $A$ 处的一个支点上。$B$ 处一个竖直力 $F$ 使它保持水平。求 $F$。

关于 $A$ 取力矩(重力作用在中心,距 $A$ $2\ \text{m}$):

对一个在半径 $r$ 的圆中运动的质点,角速度(angular speed)$\omega$ 通过 $v = r\omega$ 与速率联系。加速度指向中心——向心加速度(centripetal acceleration)——大小为

在一个水平圆(horizontal circle)中速率是恒定的——如在一个圆锥摆(conical pendulum,一个质量在一根绳上摆动)中。在一个竖直圆(vertical circle)中用能量守恒,因为速率随高度改变;法向接触力(normal contact force)或绳张力提供向心力。

例题。 一个质点在一个半径 $2\ \text{m}$ 的水平圆中以角速度 $3\ \text{rad s}^{-1}$ 运动。求它的速率和加速度。

胡克定律(Hooke's law)说一根弹性绳或弹簧中的张力与它的伸长 $x$ 成正比:

其中 $L$ 是自然长度而 $\lambda$ 是弹性模量(modulus of elasticity)。拉伸储存弹性势能(elastic potential energy):

例题。 一根自然长度 $2\ \text{m}$、模量 $50\ \text{N}$ 的弹性绳被拉伸 $0.5\ \text{m}$。求张力和储存的能量。

当力取决于位置 $x$ 时,用形式 $a = v\dfrac{dv}{dx}$ 的加速度,它把牛顿定律变成一个联系 $v$ 和 $x$ 的微分方程(differential equation)。

例题。 一个质量 $8\ \text{kg}$ 的质点在一个大小为 $(x^3 + 4x)\ \text{N}$、沿运动方向作用的变力(variable force)下沿一条线运动。当 $x = 0$ 时,$v = 1$。求 $v$ 用 $x$ 表示。

牛顿定律给出 $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$。分离并积分:

在 $x = 0$ 处,$v = 1$ 给出 $C = 4$,所以 $4v^2 = \tfrac14 x^4 + 2x^2 + 4 = 4\left(\tfrac{x^2}{4} + 1\right)^2$。因此 $v = \tfrac14 x^2 + 1$。

在一次碰撞中,总动量守恒——动量守恒(conservation of linear momentum)。弹性由牛顿实验定律(Newton's experimental law)测量,它定义恢复系数(coefficient of restitution)$e$:

这里 $e = 1$ 是完全弹性的(没有能量损失)而 $e = 0$ 是非弹性的(物体粘在一起)。在一次斜碰撞(oblique impact)中,把速度沿和垂直于碰撞线分解,沿它应用恢复。

例题。 一个质量 $2\ \text{kg}$、以 $5\ \text{m s}^{-1}$ 运动的球 $A$ 撞上一个静止的质量 $3\ \text{kg}$ 的球 $B$,$e = 0.5$。求之后的速率。

动量:$2(5) = 2v_A + 3v_B$,所以 $2v_A + 3v_B = 10$。恢复:$v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$。一起求解给出 $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ 和 $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$。

• 对于抛射体,分解成水平(恒速)和竖直($a = g$)运动,由同一个时间联系。
• 对于一个平衡的刚体,关于一个移除一个未知力的点取力矩。
• 对于圆周运动,用 $F = mv^2/r = m\omega^2 r$ 朝中心;在一个竖直圆中检查顶部的最小速率。
• 用一个变力,用 $a = v\,\frac{dv}{dx}$ 并积分;弹性 PE $= \frac{\lambda x^2}{2L}$。

一个连续变量 $X$ 由一个概率密度函数(probability density function)$f(x)$ 描述,它可能被分段定义。一个范围上的概率是 $f$ 下的面积,而 $X$ 的任何函数的平均值是

累积分布函数(cumulative distribution function)$F(x) = P(X \leqslant x)$ 是累加的总数:$F(x) = \displaystyle\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$,而 $f(x) = F'(x)$。用 $F$ 求概率和百分位数(percentiles,例如中位数(median)解 $F(x) = 0.5$)。

例题。 一个变量对 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 有 $f(x) = \tfrac12 x$。求中位数。

累积分布函数是 $F(x) = \displaystyle\int_0^x \tfrac12 t\,dt = \tfrac14 x^2$。令 $F(m) = 0.5$:

一个相关变量的分布。 若 $Y=g(X)$,通过它的累积函数求 $Y$ 的分布。对 $Y=X^2$:$F_Y(y)=P(X^2\leqslant y)=P(-\sqrt y\leqslant X\leqslant\sqrt y)=F_X(\sqrt y)-F_X(-\sqrt y)$,然后微分得 $f_Y=F_Y'$。当 $g$ 单调递增时有一个捷径,$F_Y(y)=F_X\big(g^{-1}(y)\big)$。

例题。 用 $f_X(x)=\tfrac12 x$ 在 $[0,2]$ 上(所以 $F_X(x)=\tfrac14 x^2$),令 $Y=X^2$。对 $0\leqslant y\leqslant 4$,$F_Y(y)=F_X(\sqrt y)=\tfrac14 y$,所以 $f_Y(y)=F_Y'(y)=\tfrac14$——就是说 $Y$ 在 $[0,4]$ 上均匀分布。

当一个样本小而总体方差未知时,把你的假设检验(hypothesis test)建立在 $t$ 分布而不是正态上。同样的思想给出平均值的一个置信区间(confidence interval):

其中 $t$ 来自带 $n - 1$ 自由度的 $t$ 表。要比较两个总体,用一个双样本(2-sample)或配对样本 $t$ 检验,在适当时找到共享方差的一个合并估计(pooled estimate)之后。

例题。 一个 $n = 10$ 的样本有平均值 $\bar{x} = 50$ 和标准差 $s = 4$。求平均值的一个 $95\%$ 置信区间(对 $9$ 个自由度用 $t = 2.262$)。

一个 $\chi^2$ 检验(卡方检验(chi-squared test))把观察计数 $O$ 与一个理论分布(theoretical distribution)的预期计数 $E$ 比较:

把这个与正确数目的自由度(degrees of freedom)的一个表值比较。两个用途:一个拟合优度(goodness of fit)检验(数据是否跟随提议的模型?),以及一个列联表(contingency table)中两个变量的独立性(independence)检验。

例题。 四个等可能的类别给出观察计数 $20, 30, 25, 25$(所以每个预期计数是 $25$)。在 $5\%$ 水平检验拟合。

用 $4 - 1 = 3$ 个自由度,表值是 $7.815$。因为 $2 < 7.815$,不拒绝模型。

一个非参数检验(non-parametric test)不假设数据是正态的,所以当那个假设失败时它有用。基本的是:

• 符号检验(sign test):数有多少值落在一个提议的中位数之上和之下,并用一个二项模型检验那些计数;
• 威尔科克森符号秩检验(Wilcoxon signed-rank test,配对数据的匹配对检验),它也用差的大小,而不只是它们的符号;
• 威尔科克森秩和检验(Wilcoxon rank-sum test),用于比较两个分开的样本。

例题。 检验一个中位数是否是 $5$。在一个 $10$ 个值的样本中(没有等于 $5$ 的),$9$ 个在 $5$ 之上而 $1$ 个在它之下。在 $5\%$ 水平检验(双尾)。

在 $H_0$(中位数 $= 5$)下,之上的数目跟随 $B(10, 0.5)$。观察结果($9$ 个在上)是极端的,所以求 $P(X \geq 9) = \binom{10}{9}(0.5)^{10} + (0.5)^{10} = \dfrac{11}{1024} = 0.0107$。对一个双尾检验与 $\tfrac{1}{2}(5\%) = 0.025$ 比较。因为 $0.0107 < 0.025$,拒绝 $H_0$:有证据表明中位数不是 $5$。

一个离散变量 $X$ 的概率母函数(probability generating function)是

它把整个分布装进一个函数。平均值和方差来自它在 $t = 1$ 处的导数:$E(X) = G'(1)$ 且 $\mathrm{Var}(X) = G''(1) + G'(1) - \big(G'(1)\big)^2$。而且,独立变量之和的 PGF 是它们 PGF 的乘积。

例题。 $X$ 有 $P(X=0) = 0.5$、$P(X=1) = 0.3$、$P(X=2) = 0.2$。用 PGF 求 $E(X)$。

这里 $G(t) = 0.5 + 0.3t + 0.2t^2$,所以 $G'(t) = 0.3 + 0.4t$ 且

• 对于一个连续型随机变量,pdf 在它的范围上积分为 $1$,而 $E(X) = \int x f(x)\,dx$。
• 当样本小而总体方差未知时用 $t$ 分布;陈述自由度。
• 对一个卡方检验计算 $\sum (O-E)^2/E$、与正确自由度的临界值比较,并合并 $E < 5$ 的类别。
• 为每个检验陈述 $H_0$ 和 $H_1$ 并结合上下文给出结论。