Hàm lượng giác và hàm cực

Mục tiêu học tập 3.1.A: Vẽ đồ thị của các mối quan hệ chu kỳ dựa trên biểu diễn bằng lời.

• 3.1.A.1 Một mối quan hệ chu kỳ có thể được xác định giữa hai khía cạnh của bối cảnh nếu, khi các giá trị đầu vào tăng lên, các giá trị đầu ra thể hiện một mẫu hình lặp lại qua các khoảng có độ dài bằng nhau liên tiếp.
• 3.1.A.2 Đồ thị của một mối quan hệ chu kỳ có thể được dựng từ đồ thị của một chu kỳ đơn lẻ của mối quan hệ đó.

Mục tiêu học tập 3.1.B: Mô tả các đặc điểm chính của hàm chu kỳ dựa trên biểu diễn bằng lời.

• 3.1.B.1 Chu kỳ của hàm là giá trị dương nhỏ nhất $k$ sao cho $f(x + k) = f(x)$ với mọi $x$ thuộc miền xác định. Do đó, hành vi của hàm chu kỳ hoàn toàn được xác định bởi bất kỳ khoảng nào có độ rộng $k$.
• 3.1.B.2 Chu kỳ có thể được ước lượng bằng cách nghiên cứu các giá trị đầu ra có độ dài bằng nhau liên tiếp và tìm nơi mẫu hình bắt đầu lặp lại.
• 3.1.B.3 Các hàm chu kỳ mang những đặc tính của các hàm khác, chẳng hạn như các khoảng đồng biến và nghịch biến, độ lõm khác nhau và các tốc độ thay đổi khác nhau. Tuy nhiên, đối với các hàm chu kỳ, tất cả các đặc tính tìm thấy trong một chu kỳ của hàm sẽ xuất hiện trong mọi chu kỳ của hàm đó.

Mục tiêu học tập 3.2.A: Xác định sin, cos và tan của một góc bằng cách sử dụng đường tròn đơn vị.

• 3.2.A.1 Trong mặt phẳng tọa độ, một góc ở vị trí chuẩn khi đỉnh góc trùng với gốc tọa độ và một tia trùng với trục $x$ dương. Tia kia được gọi là tia kết thúc. Các số đo góc dương và âm chỉ ra các phép quay từ trục $x$ dương theo chiều ngược chiều kim đồng hồ và chiều kim đồng hồ, tương ứng. Các góc ở vị trí chuẩn chia sẻ cùng một tia kết thúc sẽ chênh lệch nhau một số nguyên lần quay trọn vẹn.
• 3.2.A.2 Số đo radian của một góc ở vị trí chuẩn là tỷ số giữa độ dài cung của một đường tròn tâm tại gốc tọa độ chắn bởi góc đó với bán kính của đường tròn đó. Đối với đường tròn đơn vị, có bán kính $1$, số đo radian bằng chính độ dài cung chắn bởi góc đó.
• 3.2.A.3 Cho một góc ở vị trí chuẩn và một đường tròn tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Sin của góc là tỷ số giữa độ dịch chuyển dọc của $P$ từ trục $x$ đến khoảng cách giữa gốc tọa độ và điểm $P$. Do đó, đối với đường tròn đơn vị, sin của góc là tọa độ $y$ của điểm $P$.
• 3.2.A.4 Cho một góc ở vị trí chuẩn và một đường tròn tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Cos của góc là tỷ số giữa độ dịch chuyển ngang của $P$ từ trục $y$ đến khoảng cách giữa gốc tọa độ và điểm $P$. Do đó, đối với đường tròn đơn vị, cos của góc là tọa độ $x$ của điểm $P$.
• 3.2.A.5 Cho một góc ở vị trí chuẩn, tan của góc là hệ số góc (nếu tồn tại) của tia cuối. Vì hệ số góc của tia cuối là tỷ số giữa độ dịch chuyển dọc và độ dịch chuyển ngang trên bất kỳ khoảng nào, nên tan của góc là tỷ số giữa tọa độ $y$ và tọa độ $x$ của điểm mà tia cuối cắt đường tròn đơn vị; nói cách khác, đó là tỷ số giữa sin của góc và cos của góc.

Mục tiêu học tập 3.3.A: Xác định tọa độ các điểm trên một đường tròn tâm tại gốc tọa độ.

• 3.3.A.1 Cho một góc có số đo $\theta$ ở vị trí chuẩn và một đường tròn có bán kính $r$ tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Tọa độ của điểm $P$ là $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.
• 3.3.A.2 Hình học của tam giác cân vuông và tam giác đều, kết hợp với việc xem xét dấu của các giá trị dựa trên tứ giác chứa góc, có thể được sử dụng để tìm các giá trị chính xác của cos và sin cho các góc là bội số của $\dfrac{\pi}{4}$ và $\dfrac{\pi}{6}$ radian và có tia cuối không nằm trên trục tọa độ.

Mục tiêu học tập 3.4.A: Xây dựng biểu diễn của các hàm sin và cos bằng cách sử dụng đường tròn đơn vị.

• 3.4.A.1 Cho một góc có số đo $\theta$ ở vị trí chuẩn và một đường tròn đơn vị tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Hàm sin, $f(\theta) = \sin\theta$, cho biết tọa độ $y$, hay độ dịch chuyển dọc từ trục $x$, của điểm $P$. Tập xác định của hàm sin là tập tất cả các số thực.
• 3.4.A.2 Khi các giá trị đầu vào, hoặc số đo góc của hàm sin tăng lên, các giá trị đầu ra dao động giữa $-1$ và $1$, nhận mọi giá trị nằm trong khoảng đó và phản ánh khoảng cách dọc từ các điểm trên đường tròn đơn vị đến trục $x$.
• 3.4.A.3 Cho một góc có số đo $\theta$ ở vị trí chuẩn và đường tròn đơn vị tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Hàm cosin, $f(\theta) = \cos\theta$, cho biết tọa độ $x$, hay độ dịch chuyển ngang từ trục $y$, của điểm $P$. Tập xác định của hàm cosin là tập hợp tất cả các số thực.
• 3.4.A.4 Khi các giá trị đầu vào, hoặc số đo góc của hàm cosin tăng lên, các giá trị đầu ra dao động giữa $-1$ và $1$, nhận mọi giá trị nằm trong khoảng đó và phản ánh khoảng cách ngang từ các điểm trên đường tròn đơn vị đến trục $y$.

Mục tiêu học tập 3.5.A: Xác định các đặc điểm chính của hàm sin và hàm cosin.

• 3.5.A.1 Một hàm sinusoidal là bất kỳ hàm nào liên quan đến các phép biến đổi cộng và nhân của $f(\theta) = \sin\theta$. Cả hàm sin và hàm cosin đều là các hàm sinusoidal, với $\cos\theta = \sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right)$.
• 3.5.A.2 Chu kỳ và tần số của một hàm sinusoidal là nghịch đảo của nhau. Chu kỳ của $f(\theta) = \sin\theta$ và $g(\theta) = \cos\theta$ là $2\pi$, và tần số là $\dfrac{1}{2\pi}$.
• 3.5.A.3 Biên độ của một hàm sinusoidal bằng một nửa hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của nó. Biên độ của $f(\theta) = \sin\theta$ và $g(\theta) = \cos\theta$ là $1$.
• 3.5.A.4 Đường trung bình (midline) của đồ thị hàm sinusoïd được xác định bởi giá trị trung bình, hay trung bình cộng, của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Đường trung bình của đồ thị $y = \sin\theta$ và $y = \cos\theta$ là $y = 0$.
• 3.5.A.5 Khi các giá trị đầu vào tăng lên, đồ thị của các hàm sinusoidal dao động giữa dạng lồi xuống và dạng lõm lên.
• 3.5.A.6 Đồ thị của $y = \sin\theta$ có tính đối xứng quay quanh gốc tọa độ nên là hàm lẻ. Đồ thị của $y = \cos\theta$ có tính đối xứng qua trục $y$ nên là hàm chẵn.

Mục tiêu học tập 3.6.A: Xác định biên độ, dịch chuyển dọc, chu kỳ và dịch chuyển pha của một hàm sinusoidal.

• 3.6.A.1 Các hàm có thể viết dưới dạng $f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ hoặc $g(\theta) = a\cos(b(\theta + c)) + d$, trong đó $a, b, c,$ và $d$ là các số thực và $a \neq 0$, là các hàm sinusoidal và là các phép biến đổi của hàm sin và hàm cosin. Các phép biến đổi cộng và nhân giống nhau cho cả hai hàm sin và cosin vì hàm cosin là một dịch chuyển pha của hàm sin đi $-\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị.
• 3.6.A.2 Đồ thị của phép biến đổi cộng $g(\theta) = \sin\theta + d$ của hàm sin $f(\theta) = \sin\theta$ là sự dịch chuyển dọc của đồ thị $f$, bao gồm cả đường trung bình của nó, đi $d$ đơn vị. Phép biến đổi tương tự của hàm cosin sẽ tạo ra kết quả giống hệt.
• 3.6.A.3 Đồ thị của phép biến đổi cộng $g(\theta) = \sin(\theta + c)$ của hàm sin $f(\theta) = \sin\theta$ là sự dịch chuyển ngang, hay dịch chuyển pha, của đồ thị $f$ đi $-c$ đơn vị. Phép biến đổi tương tự của hàm cosin sẽ tạo ra kết quả giống hệt.
• 3.6.A.4 Đồ thị của phép biến đổi nhân $g(\theta) = a\sin\theta$ của hàm sin $f(\theta) = \sin\theta$ là sự giãn dọc của đồ thị $f$ và khác biệt về biên độ theo hệ số $|a|$. Phép biến đổi tương tự của hàm cosin sẽ tạo ra kết quả giống hệt.
• 3.6.A.5 Đồ thị của phép biến đổi nhân $g(\theta) = \sin(b\theta)$ của hàm sin $f(\theta) = \sin\theta$ là sự giãn ngang của đồ thị $f$ và khác biệt về chu kỳ theo hệ số $\left|\dfrac{1}{b}\right|$. Phép biến đổi tương tự của hàm cosin sẽ tạo ra kết quả giống hệt.
• 3.6.A.6 Đồ thị của $y = f(\theta) = a\sin(b(\theta + c)) + d$ có biên độ $|a|$ đơn vị, chu kỳ $\left|\dfrac{1}{b}\right|2\pi$ đơn vị, dịch chuyển dọc đường trung bình $d$ đơn vị so với $y = 0$, và dịch chuyển pha $-c$ đơn vị. Các phép biến đổi tương tự của hàm cosin sẽ tạo ra kết quả giống hệt.

Mục tiêu học tập 3.7.A: Xây dựng các mô hình hàm sinusoidal cho các hiện tượng chu kỳ.

• 3.7.A.1 Khoảng giá trị đầu vào nhỏ nhất mà tại đó các giá trị đầu ra lớn nhất hoặc nhỏ nhất bắt đầu lặp lại, tức là khoảng giá trị đầu vào giữa các cực đại liên tiếp hoặc các cực tiểu liên tiếp, có thể được sử dụng để xác định hoặc ước lượng chu kỳ và tần số cho một mô hình hàm sinusoidal.
• 3.7.A.2 Các giá trị đầu ra lớn nhất và nhỏ nhất có thể được sử dụng để xác định hoặc ước lượng biên độ và dịch chuyển dọc cho một mô hình hàm sinusoidal.
• 3.7.A.3 Một cặp giá trị đầu vào-đầu ra thực tế có thể được so sánh với các cặp giá trị đầu vào-đầu ra do mô hình hàm sinusoidal tạo ra để xác định hoặc ước lượng dịch chuyển pha cho mô hình.
• 3.7.A.4 Các mô hình hàm sinusoidal có thể được xây dựng cho một tập dữ liệu bằng công nghệ thông tin thông qua việc ước lượng các giá trị chính hoặc sử dụng hồi quy sinusoidal.
• 3.7.A.5 Các hàm sinusoidal mô tả một tập dữ liệu thường chỉ hữu ích trong miền ngữ cảnh của chúng và có thể được sử dụng để dự đoán các giá trị của biến phụ thuộc từ các giá trị của biến độc lập.

Mục tiêu học tập 3.8.A: Xây dựng các biểu diễn của hàm tangent bằng cách sử dụng đường tròn đơn vị.

• 3.8.A.1 Cho một góc có số đo $\theta$ ở vị trí chuẩn và đường tròn đơn vị tâm tại gốc tọa độ, có một điểm, $P$, nơi tia cuối cắt đường tròn. Hàm tangent, $f(\theta) = \tan\theta$, cho biết độ dốc của tia cuối.
• 3.8.A.2 Vì hệ số góc của tia cuối là tỷ số giữa độ thay đổi của các giá trị $y$ so với độ thay đổi của các giá trị $x$ giữa bất kỳ hai điểm nào trên tia, nên hàm tangent cũng là tỷ số giữa hàm sine và hàm cosine. Do đó, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$, nơi $\cos\theta \neq 0$.

Mục tiêu học tập 3.8.B: Mô tả các đặc điểm chính của hàm tangent.

• 3.8.B.1 Vì các giá trị độ dốc của tia kết thúc lặp lại sau mỗi nửa vòng quay của đường tròn, hàm tangent có chu kỳ là $\pi$.
• 3.8.B.2 Hàm tangent thể hiện hành vi tiệm cận định kỳ tại các giá trị đầu vào $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$, với các giá trị nguyên của $k$, vì $\cos\theta = 0$ tại những giá trị đó.
• 3.8.B.3 Hàm tangent tăng lên và đồ thị của nó chuyển từ lồi xuống sang lồi lên giữa các đường tiệm cận liên tiếp.

Mục tiêu học tập 3.9.A: Xây dựng biểu diễn phân tích và đồ thị cho nghịch đảo của các hàm sine, cosine và tangent trên miền xác định bị giới hạn.

• 3.9.A.1 Đối với các hàm lượng giác nghịch đảo, các giá trị đầu vào và đầu ra được hoán vị so với các hàm lượng giác tương ứng, do đó giá trị đầu ra của một hàm lượng giác nghịch đảo thường được diễn giải là số đo góc và giá trị đầu vào là một giá trị thuộc tập giá trị của hàm lượng giác tương ứng.
• 3.9.A.2 Các hàm lượng giác nghịch đảo được gọi là arcsine (arcsin), arccosine (arccos) và arctangent (arctan) (cũng được ký hiệu là $\sin^{-1}x, \cos^{-1}x,$ và $\tan^{-1}x$). Vì các hàm lượng giác tương ứng là định kỳ, chúng chỉ khả nghịch khi có miền xác định bị giới hạn.
• 3.9.A.3 Để xác định các hàm nghịch đảo tương ứng của chúng, miền xác định của hàm sine bị giới hạn trong $\left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right]$, hàm cosine trong $[0, \pi]$, và hàm tangent trong $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$.

Mục tiêu học tập 3.10.A: Giải các phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm lượng giác.

• 3.10.A.1 Các hàm lượng giác ngược hữu ích trong việc giải các phương trình và bất phương trình liên quan đến hàm lượng giác, nhưng nghiệm có thể cần được điều chỉnh do các giới hạn về miền xác định.
• 3.10.A.2 Vì các hàm lượng giác có tính chu kỳ, nên thường có vô số nghiệm cho các phương trình lượng giác.
• 3.10.A.3 Trong các phương trình và bất phương trình lượng giác phát sinh từ một tình huống thực tế, thường có một giới hạn về miền xác định có thể được ngụ ý từ ngữ cảnh, điều này làm giảm số lượng nghiệm.

Mục tiêu học tập 3.11.A: Xác định các đặc điểm chính của các hàm liên quan đến thương của các hàm sin và cos.

• 3.11.A.1 Hàm secant, $f(\theta) = \sec\theta$, là nghịch đảo của hàm cosine, trong đó $\cos\theta \neq 0$.
• 3.11.A.2 Hàm cosecant, $f(\theta) = \csc\theta$, là nghịch đảo của hàm sine, trong đó $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.3 Đồ thị của các hàm secant và cosecant có các đường tiệm cận đứng tại nơi cos và sin bằng 0, tương ứng, và có tập giá trị là $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
• 3.11.A.4 Hàm cotangent, $f(\theta) = \cot\theta$, là nghịch đảo của hàm tangent, trong đó $\tan\theta \neq 0$. Tương đương, $\cot\theta = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$, trong đó $\sin\theta \neq 0$.
• 3.11.A.5 Đồ thị của hàm cotangent có các đường tiệm cận đứng cho các giá trị miền xác định mà $\tan\theta = 0$ và nó nghịch biến giữa các đường tiệm cận liên tiếp.

Mục tiêu học tập 3.12.A: Viết lại các biểu thức lượng giác dưới dạng tương đương với hằng đẳng thức Pythagore.

• 3.12.A.1 Định lý Pythagore có thể được áp dụng cho các tam giác vuông có các điểm nằm trên đường tròn đơn vị tại tọa độ $(\cos\theta, \sin\theta)$, dẫn đến hằng đẳng thức Pythagore: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$.
• 3.12.A.2 Đồng nhất thức Pythagoras có thể biến đổi đại số thành các dạng khác liên quan đến các hàm lượng giác, chẳng hạn như $\tan^2\theta = \sec^2\theta - 1$, và có thể được sử dụng để thiết lập các mối quan hệ lượng giác khác, chẳng hạn như $\arcsin x = \arccos\left(\sqrt{1 - x^2}\right)$, với các giới hạn miền xác định phù hợp.

Mục tiêu học tập 3.12.B: Viết lại các biểu thức lượng giác dưới dạng tương đương với các hằng đẳng thức tổng của sin và cos.

• 3.12.B.1 Hằng đẳng thức tổng của sin là $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.2 Hằng đẳng thức tổng của cos là $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$.
• 3.12.B.3 Các hằng đẳng thức tổng của sin và cos cũng có thể được sử dụng như các hằng đẳng thức hiệu và góc kép.
• 3.12.B.4 Các tính chất của hàm lượng giác, các hằng đẳng thức lượng giác đã biết và các tính chất đại số khác có thể được sử dụng để chứng minh thêm các hằng đẳng thức lượng giác.

Mục tiêu học tập 3.12.C: Giải các phương trình bằng cách sử dụng các biểu diễn phân tích tương đương của hàm lượng giác.

• 3.12.C.1 Một dạng tương đương cụ thể liên quan đến các biểu thức lượng giác có thể giúp thông tin dễ tiếp cận hơn.
• 3.12.C.2 Các dạng lượng giác tương đương có thể hữu ích trong việc giải các phương trình và bất phương trình lượng giác.

Mục tiêu học tập 3.13.A: Xác định vị trí của một điểm trong mặt phẳng sử dụng cả tọa độ chữ nhật và tọa độ cực.

• 3.13.A.1 Hệ tọa độ cực dựa trên lưới các đường tròn tâm tại gốc tọa độ và các đường thẳng đi qua gốc tọa độ. Tọa độ cực được định nghĩa là một cặp có thứ tự, $(r, \theta)$, sao cho $|r|$ biểu thị bán kính của đường tròn mà điểm đó nằm trên đó, và $\theta$ biểu thị số đo của một góc ở vị trí chính chuẩn có tia cuối chứa điểm đó. Trong hệ tọa độ cực, cùng một điểm có thể được biểu diễn theo nhiều cách.
• 3.13.A.2 Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ cực, $(r, \theta)$, có thể được chuyển đổi sang tọa độ trong hệ tọa độ chữ nhật, $(x, y)$, bằng cách sử dụng $x = r\cos\theta$ và $y = r\sin\theta$.
• 3.13.A.3 Tọa độ của một điểm trong hệ tọa độ chữ nhật, $(x, y)$, có thể được chuyển đổi sang tọa độ trong hệ tọa độ cực, $(r, \theta)$, bằng cách sử dụng $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ và $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)$ cho $x > 0$ hoặc $\theta = \arctan\left(\dfrac{y}{x}\right) + \pi$ cho $x < 0$.
• 3.13.A.4 Một số phức có thể được hiểu là một điểm trong mặt phẳng phức và được xác định bởi các tọa độ hình chữ nhật hoặc cực tương ứng của nó. Khi số phức có tọa độ hình chữ nhật $(a, b)$, nó có thể được biểu diễn dưới dạng $a + bi$. Khi số phức có tọa độ cực $(r, \theta)$, nó có thể được biểu diễn dưới dạng $(r\cos\theta) + i(r\sin\theta)$.

Mục tiêu học tập 3.14.A: Vẽ đồ thị của các hàm cực.

• 3.14.A.1 Đồ thị của hàm $r = f(\theta)$ trong tọa độ cực bao gồm các cặp giá trị đầu vào - đầu ra, trong đó các giá trị đầu vào là số đo góc và các giá trị đầu ra là bán kính.
• 3.14.A.2 Tập xác định của hàm cực $r = f(\theta)$, khi được biểu diễn bằng đồ thị, có thể bị giới hạn ở một phần mong muốn của hàm bằng cách chọn các điểm cuối tương ứng với góc và bán kính mong muốn.
• 3.14.A.3 Khi vẽ đồ thị các hàm cực có dạng $r = f(\theta)$, sự thay đổi của các giá trị đầu vào tương ứng với sự thay đổi của số đo góc từ trục $x$ dương, và sự thay đổi của các giá trị đầu ra tương ứng với sự thay đổi khoảng cách từ gốc tọa độ.

Mục tiêu học tập 3.15.A: Mô tả các đặc điểm của đồ thị một hàm cực.

• 3.15.A.1 Nếu một hàm cực, $r = f(\theta)$, có giá trị dương và tăng hoặc âm và giảm, thì khoảng cách giữa $f(\theta)$ và gốc tọa độ đang tăng.
• 3.15.A.2 Nếu một hàm cực, $r = f(\theta)$, dương và giảm hoặc âm và tăng, thì khoảng cách giữa $f(\theta)$ và gốc tọa độ đang giảm.
• 3.15.A.3 Đối với một hàm cực, $r = f(\theta)$, nếu hàm chuyển từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng trên một khoảng, thì hàm có một cực đại hoặc cực tiểu tương đối trên khoảng đó, tương ứng với một điểm gần gốc tọa độ nhất hoặc xa gốc tọa độ nhất.
• 3.15.A.4 Tốc độ biến thiên trung bình của $r$ theo $\theta$ trên một khoảng $\theta$ là tỷ số giữa sự thay đổi của các giá trị bán kính và sự thay đổi của $\theta$ trên một khoảng $\theta$. Về mặt đồ thị, tốc độ biến thiên trung bình chỉ ra tốc độ thay đổi của bán kính tính theo radian.
• 3.15.A.5 Tốc độ biến thiên trung bình của $r$ theo $\theta$ trên một khoảng $\theta$ có thể được sử dụng để ước lượng các giá trị của hàm trong khoảng đó.