เมทริกซ์ในฐานะฟังก์ชัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| input/ˈɪnpʊt/ | ค่าอินพุต |
| output/ˈaʊtpʊt/ | ค่าเอาต์พุต |
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | การประกอบ |
| inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันผกผัน |
เมทริกซ์คือฟังก์ชัน
- คุณเคยใช้ฟังก์ชันที่รับตัวเลขแล้วส่งกลับตัวเลข
- เมทริกซ์รับ เวกเตอร์ และส่งกลับ เวกเตอร์ — มันก็เป็นฟังก์ชันเช่นกัน
- "กฎ" ของมันคือ: คูณเวกเตอร์เข้าด้วยเมทริกซ์
- การเห็นเมทริกซ์ในมุมมองนี้เชื่อมต่อกับสิ่งที่คุณรู้จักเกี่ยวกับฟังก์ชัน
เข้าไป, ออกมา
- อินพุต คือเวกเตอร์; เมทริกซ์ประมวลผล; เอาต์พุต คือเวกเตอร์ใหม่
- $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ นำ $\langle 4, 5\rangle$ ไปยัง $\langle 8, 15\rangle$ — มันยืดแต่ละทิศทาง
- คิดถึงเมทริกซ์ในฐานะเครื่องจักร: เวกเตอร์เข้าด้านบน, เวกเตอร์ที่ถูกแปลงออกมาด้านล่าง
- พื้นที่อินพุตทั้งหมดจับคู่กับพื้นที่เอาต์พุตทั้งหมด
เมื่อมองเมทริกซ์ขนาด 2 × 2 ในฐานะฟังก์ชัน, input (อินพุต) และ ผลผลิต ของมันคือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมทริกซ์ในฐานะฟังก์ชันรับ input (อินพุต) เวกเตอร์และส่ง ผลผลิต เวกเตอร์ — เป็นฟังก์ชันจากระนาบไปยังระนาบ
เมทริกซ์ $\begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}$ (input $\to$ output) ส่ง $\langle 4, 5\rangle$ ไปยัง $\langle 8, ?\rangle$. ค่า output $y$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แถวที่ 2 คือ $\langle0, 3\rangle$, ดังนั้น output $y = 3\cdot5 = 15$; output ทั้งหมดคือ $\langle8, 15\rangle$.
ฟังก์ชันจากระนาบไปยังระนาบ
- อินพุตทั้งหมดเป็นเวกเตอร์ในระนาบ;เอาต์พุตก็เป็นเวกเตอร์ในระนาบเช่นกัน
- ดังนั้นเมทริกซ์ $2\times2$ คือฟังก์ชันที่เปลี่ยนรูปร่างของระนาบทั้งระนาบพร้อมกัน
- การเชื่อมโยงสองอย่างเข้าด้วยกัน — เอาต์พุตของตัวหนึ่งเป็นอินพุตของอีกตัวหนึ่ง — เรียกว่า การประกอบ (composition)
- เมทริกซ์ของการประกอบคือ ผลคูณ ของเมทริกซ์ทั้งสองอย่างง่าย ๆ
การต่อฟังก์ชันเมทริกซ์สองตัว (ตัวหนึ่งตามอีกตัวหนึ่ง) เป็น composition, และเมทริกซ์ของมันคือผลคูณ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เช่นเดียวกับ composition ฟังก์ชันธรรมดา การต่อฟังก์ชันเมทริกซ์จะคูณเมทริกซ์将它们 together
การย้อนกลับฟังก์ชัน
- ถ้าฟังก์ชันสามารถย้อนกลับได้ ฟังก์ชันที่ย้อนกลับนั้นเรียกว่า ฟังก์ชันผกผัน (inverse function)
- สำหรับฟังก์ชันเมทริกซ์ ฟังก์ชันผกผันก็คือ เมทริกซ์ผกผัน (inverse matrix) พอดี
- มันมีอยู่ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์ — ซึ่งเป็นเงื่อนไขเดียวกับเดิม
- การนำเมทริกซ์มาใช้งานแล้วตามด้วยเมทริกซ์ผกผัน จะทำให้เวกเตอร์ทุกตัวกลับไปยังจุดเริ่มต้น
เมทริกซ์ในฐานะฟังก์ชัน
เมทริกซ์รับเวกเตอร์เข้าและส่งเวกเตอร์ออก — เป็นฟังก์ชันบนเวกเตอร์
Inverse function ของฟังก์ชันเมทริกซ์ถูกกำหนดโดย…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมทริกซ์อินเวอร์สจะ undo ฟังก์ชัน — มันมีอยู่ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้น
เลือก ทั้งหมด ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับเมทริกซ์ในฐานะฟังก์ชัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Output คือ vector, ไม่ใช่ตัวเลข สามข้อที่เหลือถูกต้อง
เหตุที่มุมมองฟังก์ชันช่วยได้
- มันให้คุณนำแนวคิดเกี่ยวกับฟังก์ชันมาใช้ซ้ำได้:域 (domain), ช่วงค่า (range), การประกอบ, และฟังก์ชันผกผัน
- การประกอบที่เทียบเท่ากับการคูณ อธิบายได้ว่าทำไมลำดับของการแปลงจึงสำคัญ
- การทดสอบด้วยดีเทอร์มิแนนต์กลายเป็นคำถามว่า "ฟังก์ชันนี้มีฟังก์ชันผกผันหรือไม่?"
- นี่คือสะพานเชื่อมจากฟังก์ชันก่อนแคลคูลัสสู่พีชคณิตเชิงเส้น
ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันเมทริกซ์จะย้อนกลับได้ หากดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ เมทริกซ์จะบีบระนาบลงบนเส้นตรง — อินพุตหลายค่าให้เอาต์พุตเดียว จึงไม่มี ฟังก์ชันผกผัน ความสามารถในการย้อนกลับจำเป็นต้องมีดีเทอร์มิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์
ให้ $f(\vec{x}) = \begin{bmatrix}2&0\\0&3\end{bmatrix}\vec{x}$.
- อินพุต $\langle1,1\rangle$ → เอาต์พุต $\langle2,3\rangle$
- อินพุต $\langle4,5\rangle$ → เอาต์พุต $\langle8,15\rangle$
- ดีเทอร์มิแนนต์ $= 2\cdot3 - 0 = 6 \ne 0$, ดังนั้น $f$ จึงมีฟังก์ชันผกผันที่หดตัวลงโดย $\tfrac12$ และ $\tfrac13$
เมทริกซ์คือ ฟังก์ชัน ที่ อินพุต และ เอาต์พุต เป็นเวกเตอร์ทั้งคู่ — ซึ่งเป็นการ映射จากระนาบไปยังระนาบ การเชื่อมโยงฟังก์ชันเมทริกซ์คือ การประกอบ และมีเมทริกซ์เป็นผลคูณ ฟังก์ชันผกผัน คือเมทริกซ์ผกผัน ซึ่งมีอยู่ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์