การแปลงเชิงเส้นและเมทริกซ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| linear transformation/ˈlɪnɪə trænsfɔːˈmeɪʃn/ | การแปลงเชิงเส้น |
| unit square/ˈjuːnɪt skweə/ | สี่เหลี่ยมจตุรัสหน่วย |
| shear/ʃɪə/ | การบิดเบือน |
เมทริกซ์เคลื่อนย้ายจุด
- เมทริกซ์ทำมากกว่าแค่เก็บตัวเลข — มันสามารถ เคลื่อนย้ายทุกจุด ของระนาบได้
- ป้อนเวกเตอร์เข้าไป, มันจะส่งกลับมาเป็นเวกเตอร์ใหม่ที่ถูกแปลงแล้ว
- สี่เหลี่ยมอาจกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู; กริดอาจยืดออกหรือหมุน
- สิ่งนี้เปลี่ยนเมทริกซ์ให้เป็นเครื่องจักรสำหรับ重塑 space (重塑 = reshape/ปรับรูปร่างพื้นที่)
การแปลงเชิงเส้นคืออะไร
- การแปลงเชิงเส้น คือฟังก์ชันที่จับคู่เวกเตอร์ทุกตัวไปยังเวกเตอร์ใหม่
- มันคงจุดกำเนิดไว้และรักษาเส้นกริดให้ตรงและเว้นระยะเท่าเดิม
- ไม่มีการโค้งงอ ไม่มีการฉีกขาด — เส้นขนานยังคงขนาน
- การแปลงเชิงเส้นของระนาบทั้งหมดสามารถเขียนเป็นการคูณด้วยเมทริกซ์ได้
การแปลงเชิงเส้น ของระนาบจะ...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแปลงเชิงเส้น จะรักษาจุดกำเนิดไว้ที่เดิม และส่งเส้นกริดตรงที่เว้นระยะเท่ากันไปยังเส้นตรงที่เว้นระยะเท่ากัน
คอลัมน์บอกว่าแกนไปไหน
- คอลัมน์ 1 แสดงว่าเวกเตอร์ $\langle 1, 0\rangle$ ลงที่ใด; คอลัมน์ 2, ที่เวกเตอร์ $\langle 0, 1\rangle$ ลงที่ใด
- การรู้ภาพทั้งสองนี้บอกคุณได้ว่า ทุกจุด ไปไหน
- เพื่อแปลงเวกเตอร์, คูณเมทริกซ์กับมัน (แถวโดยคอลัมน์)
- สี่เหลี่ยมหน่วย กลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน — รูปร่างของมันเผยให้เห็นการแปลง
คอลัมน์ของเมทริกซ์บอกตำแหน่งที่เวกเตอร์ฐานสองตัวนั้น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คอลัมน์ที่ 1 คือตำแหน่งที่ $\langle1,0\rangle$ ไปอยู่ และคอลัมน์ที่ 2 คือตำแหน่งที่ $\langle0,1\rangle$ ไปอยู่ — สิ่งนี้จะอธิบายการแปลงได้อย่างครบถ้วน
เมทริกซ์ $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ ส่ง $\langle1,1\rangle$ ไปยัง $\langle 2\cdot1+1\cdot1,\ 1\rangle$. ค่า $x$ ใหม่คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แถวที่ 1 ทำ dot product กับ $\langle1,1\rangle$: ได้ $2\cdot1 + 1\cdot1 = 3$, ดังนั้นภาพที่ได้คือ $\langle3, 1\rangle$.
การแปลงที่คุ้นเคย
- การขยายขนาด: เมทริกซ์แนวทแยงยืดหรือหดตามแกน
- การหมุน: เมทริกซ์พิเศษหมุนระนาบรอบจุดกำเนิด
- การเบี่ยงเบน: เลื่อนทิศทางหนึ่งขณะยึดอีกทิศทาง — เหมือนตัวเอียง
- การสะท้อน: พลิกระนาบข้ามเส้น
การแปลงเชิงเส้นในรูปของเมทริกซ์
การหมุนเป็นการแปลงเชิงเส้น; เมทริกซ์นี้จะหมุนระนาบไปหนึ่งสี่รอบ
การทำ การแปลงเชิงเส้น ต่อเนื่องกัน corresponds with การคูณเมทริกซ์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การประกอบของการแปลง คือ การคูณเมทริกซ์ — นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมลำดับในการคูณถึงสำคัญ
เลือก ทั้งหมด ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับการแปลงเชิงเส้น
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การแปลงเชิงเส้นรักษาเส้นตรง — มันไม่เคยทำให้กริดโค้ง
การรวมการแปลง
- ทำการแปลงหนึ่ง แล้วอีกอย่าง: ผลลัพธ์คือการแปลงใหม่เพียงอย่าง
- เมทริกซ์ของมันคือ ผลคูณ ของเมทริกซ์ทั้งสอง
- เนื่องจากผลคูณเมทริกซ์ขึ้นอยู่กับลำดับ, "หมุนแล้วเบี่ยงเบน" แตกต่างจาก "เบี่ยงเบนแล้วหมุน"
- นี่คือเหตุผลที่กราฟิกคอมพิวเตอร์ซ้อนการแปลงด้วยการคูณเมทริกซ์
ลำดับ ของการแปลงที่รวมกันมีความสำคัญ การประยุกต์ใช้ $A$ ตามด้วย $B$ คือผลคูณเมทริกซ์ $BA$ — เมทริกซ์ของการแปลงที่สองอยู่ที่ ซ้าย การสลับลำดับมักจะได้ผลลัพธ์ต่างกัน, เหมือนกับ $BA \ne AB$ สำหรับเมทริกซ์
ประยุกต์ใช้ $\begin{bmatrix}2&1\\0&1\end{bmatrix}$ กับมุมของสี่เหลี่ยมหน่วย
- $\langle1,0\rangle \to \langle2,0\rangle$ — ข้างล่างยาวขึ้นสองเท่า
- $\langle0,1\rangle \to \langle1,1\rangle$ — ข้างบนเลื่อนไปทางขวา (การเบี่ยงเบน)
- สี่เหลี่ยมกลายเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคด, พอดีกับในภาพ
การแปลงเชิงเส้น จับคู่เวกเตอร์ทุกตัวไปยังเวกเตอร์ใหม่, คงจุดกำเนิดไว้และเส้นกริดให้ตรง — และทุกอย่างคือการคูณด้วยเมทริกซ์ คอลัมน์ของเมทริกซ์คือตำแหน่งที่แกนตกลง, ดังนั้นมันจึงเปลี่ยน สี่เหลี่ยมหน่วย เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน การรวมการแปลงหมายถึงการคูณเมทริกซ์, และลำดับมีความสำคัญ