อินเวอร์สและดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์ผกผัน |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | ดีเทอร์มิแนนต์ |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | เมทริกซ์เอกลักษณ์ |
| not invertible/nɒt ɪnˈvɜːtɪbl/ | ไม่สามารถกลับได้ |
การยกเลิกผลคูณเมทริกซ์
- การคูณด้วยเมทริกซ์เปลี่ยนรูปทรงพื้นที่ — แต่คุณสามารถ ย้อนกลับ ได้หรือไม่?
- สำหรับตัวเลขธรรมดา การหารด้วย $5$ จะยกเลิกการคูณด้วย $5$
- เมทริกซ์มี "ทางกลับ" ของตัวเอง — เมทริกซ์ผกผัน
- ก่อนอื่นเราต้องการตัวเลขหนึ่งตัวที่จะตัดสินว่าการย้อนกลับมีอยู่หรือไม่: ดترمินานต์
ดترمินานต์
- ดีเทอร์มิแนนต์ ของ $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ คือตัวเลขเดียว $ad - bc$
- ในเชิงเรขาคณิต ขนาดของมันคือ พื้นที่ ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่หลักทั้งสองสร้าง
- ดترمินานต์ขนาดใหญ่หมายถึงเมทริกซ์ยืดพื้นที่มาก; ขนาดเล็ก значитยืดน้อยมาก
- ตัวกำหนดค่าเป็น ศูนย์ หมายความว่าคอลัมน์เรียงซ้อนกัน — รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานแบนราบ
สำหรับ $\begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$, ดีเทอร์มิแนนต์คือ $3\cdot2 - 1\cdot1$. มันคืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ดีเทอร์มิแนนต์ determinant ของ $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ คือ $ad - bc = 3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$
ทางเรขาคณิต ขนาดของดีเทอร์มิแนนต์ 2 × 2 บอกคุณ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์คือ พื้นที่ ที่ถูกขยายโดยเมทริกซ์ — พื้นที่ศูนย์หมายความว่าหลักขนานกัน
อินเวอร์ส
- เมทริกซ์อินเวอร์ส $A^{-1}$ คือเมทริกซ์ที่ทำ การย้อนกลับ $A$
- การคูณกันจะได้ เมทริกซ์เอกลักษณ์ $I$ — versi เมทริกซ์ของ $1$: $A A^{-1} = I$
- สำหรับเมทริกซ์ $2\times2$, $A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$
- ระวังตัวกำหนดค่า $ad - bc$ ที่อยู่ในตัวส่วน
การคูณเมทริกซ์ด้วย อินเวอร์ส ของมันจะได้เมทริกซ์เอกลักษณ์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตามนิยาม $A A^{-1} = I$, เมทริกซ์เอกลักษณ์ — เมทริกซ์ของตัวเลข $1$
เมื่อมีอินเวอร์ส
- คุณไม่สามารถหารด้วย $ad - bc$ ได้ถ้ามันคือ ศูนย์ — ดังนั้นตัวกำหนดค่าเป็นศูนย์หมายถึง ไม่มีอินเวอร์ส
- เมทริกซ์ประเภทนี้ ไม่ใช่เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สได้: มันบีบระนาบให้แบนลงบนเส้นตรงและสูญเสียข้อมูล
- ตัวกำหนดค่าที่ไม่ใช่ศูนย์รับประกันอินเวอร์สที่เป็นเอกลักษณ์
- ดังนั้นตัวกำหนดค่าจึงเป็นการทดสอบอย่างรวดเร็ว: ไม่ใช่ศูนย์ $\Rightarrow$ หาอินเวอร์สได้
ดีเทอร์มิแนนต์คือปัจจัยพื้นที่
ดีเทอร์มิแนนต์บอกคุณว่าเมทริกซ์ขยายพื้นที่เท่าไหร่; ที่นี่ขยายพื้นที่สี่เท่า
เมทริกซ์ 2 × 2 จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ของมัน…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ถ้า $\det = 0$ หลักขนานกันและไม่มียินเวอร์ส — เมทริกซ์นี้ ไม่ใช่เมทริกซ์ที่ยินเวอร์สได้
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์ไม่เท่ากับศูนย์เท่านั้นที่จะมีอินเวอร์สได้ ดังนั้นจึงไม่ใช่ทุกเมทริกซ์ที่จะมีอินเวอร์ส
เหตุผลที่สำคัญ
- อินเวอร์สแก้สมการเมทริกซ์ $A\vec{x} = \vec{b}$ ในขั้นตอนเดียว: $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$
- นั่นคือวิธีที่ระบบสมการเชิงเส้นถูกแก้ด้วยเมทริกซ์
- ตัวกำหนดค่ายังบอกคุณว่าเมื่อใดที่ระบบจะมี คำตอบที่เป็นเอกลักษณ์ไม่ได้ (det $= 0$)
- แนวคิดเหล่านี้ขับเคลื่อนกราฟิกคอมพิวเตอร์ การเข้ารหัส และวิทยาศาสตร์ข้อมูล
เมทริกซ์จะมีอินเวอร์สก็ต่อเมื่อตัวกำหนดค่าไม่เป็นศูนย์เท่านั้น ถ้า $ad - bc = 0$, สูตรจะหารด้วยศูนย์ — ไม่มีอินเวอร์ส, และระบบ $A\vec{x} = \vec{b}$ จะมีทั้งไม่มีคำตอบหรือมีจำนวนไม่จำกัดเสมอ ตรวจสอบตัวกำหนดค่าก่อนเสมอ
หาอินเวอร์ส $A = \begin{bmatrix}3 & 1\\ 1 & 2\end{bmatrix}$
- ตัวกำหนดค่า: $3\cdot2 - 1\cdot1 = 5$ (ไม่ใช่ศูนย์, ดังนั้นมีอินเวอร์สอยู่)
- สลับตำแหน่งบนเส้นทแยงมุม, เปลี่ยนเครื่องหมายนอกเส้นทแยงมุม, หารด้วย $5$:
$$A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix}2 & -1\\ -1 & 3\end{bmatrix}.$$
- ตรวจสอบ: $A A^{-1} = I$. ✓
ตัวกำหนดค่า $ad - bc$ เป็นตัวเลขหนึ่งตัวที่วัดพื้นที่ที่เมทริกซ์ขยาย อินเวอร์ส $A^{-1}$ ทำการย้อนกลับเมทริกซ์, โดยมี $A A^{-1} = I$ (เมทริกซ์เอกลักษณ์) อินเวอร์สมีอยู่ก็ต่อเมื่อตัวกำหนดค่าไม่เป็นศูนย์; ตัวกำหนดค่าเป็นศูนย์หมายความว่าเมทริกซ์ ไม่ใช่เมทริกซ์ที่หาอินเวอร์สได้