ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ |
| vector/ˈvektə/ | เวกเตอร์ |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | พารามิเตอร์ |
ฟังก์ชันที่ผลลัพธ์เป็นลูกศร
- ฟังก์ชันทั่วไปให้ผลลัพธ์เป็นตัวเลข; ส่วนพารามิเตอร์ให้ผลลัพธ์เป็นคู่ของพิกัด
- ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์รวมคู่นี้เข้ากับเวกเตอร์เดียว
- คิดว่าเป็นลูกศรที่จุดเริ่มต้นอยู่ที่จุดกำเนิด แล้วปลายลูกศรเคลื่อนที่ไปตามเวลา
- เป็นภาษาธรรมชาติสำหรับการอธิบายตำแหน่ง ความเร็ว และการเคลื่อนที่บนระนาบ
ผลลัพธ์ที่ได้
- ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $\vec{r}(t)$ ให้ เวกเตอร์ สำหรับแต่ละอินพุต $t$
- โดยปกติแล้วเวกเตอร์นั้นคือตำแหน่ง: $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$
- พารามิเตอร์ $t$ (มักเป็นเวลา) ทำให้ลูกศร移动到จุดใหม่
- ดังนั้นอินพุตหนึ่งค่าจะได้ออกมาหนึ่งลูกศร ชี้จากจุดกำเนิดไปยังตำแหน่งปัจจุบัน
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ $\vec{r}(t)$ ออกผลลัพธ์ สำหรับแต่ละ $t$ เป็น…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ คืนค่า เวกเตอร์ สำหรับอินพุตแต่ละค่า — มักจะเป็นตำแหน่ง $\langle x(t), y(t)\rangle$
ปลายลูกศรลากเส้นทางการเคลื่อนที่
- ยึดหางลูกศรไว้ที่จุดกำเนิด แล้วให้ $t$ เพิ่มขึ้น
- ปลายลูกศรเคลื่อนที่ และร่องรอยที่ทิ้งไว้คือเส้นโค้ง
- เส้นโค้งนี้คือเส้นทางพารามิเตอร์ที่เราเรียนกันในบทก่อนหน้าพอดี
- ดังนั้นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์และฟังก์ชันพารามิเตอร์จึงเป็นการมองเห็นแนวคิดเดียวกันในสองมุม
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ มีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกับฟังก์ชันแบบพารามิเตอร์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
它们是同一概念的两个视角: องค์ประกอบ $x(t), y(t)$ คือสมการพารามิเตอร์พอดี
เมื่อพารามิเตอร์ $t$ เปลี่ยนแปลง ______ ของเวกเตอร์ตำแหน่งจะวาดเส้นโค้ง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เวกเตอร์เริ่มที่จุดกำเนิด; ปลายลูกศรระบุจุดปัจจุบันบนเส้นทาง
สำหรับ $\vec{r}(t) = \langle 2t,\ t^2\rangle$ องค์ประกอบ $y$ ที่ $t = 3$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y$-component คือ $t^2 = 3^2 = 9$; $x$-component คือ $2t = 6$ ดังนั้น $\vec{r}(3) = \langle 6, 9\rangle$
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พวกมันออกผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ไม่ใช่ตัวเลขเดียว ส่วนอีกสามข้อถูกต้อง
การคำนวณและการรวม
- คำนวณ $\vec{r}(t)$ โดยการแทนค่า $t$ ลงในแต่ละองค์ประกอบ
- $\vec{r}(3) = \langle 2\cdot 3,\ 3^2\rangle = \langle 6, 9\rangle$ สำหรับ $\vec{r}(t) = \langle 2t, t^2\rangle$
- อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $\vec{r}(t)$ คือเวกเตอร์ความเร็ว — ซึ่งมีองค์ประกอบ $\langle x'(t), y'(t)\rangle$
- บวกฟังก์ชันค่าเวกเตอร์สองตัวโดยการบวกองค์ประกอบเข้าด้วยกัน
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์
ฟังก์ชันที่มีค่าเป็นเวกเตอร์ออกผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์; บวกเวกเตอร์องค์ประกอบเพื่อหาเวกเตอร์ผลรวม
เหตุผลที่มุมมองแบบเวกเตอร์มีประโยชน์
- การเขียนการเคลื่อนที่ในรูปเวกเตอร์เดียวช่วยให้ตำแหน่ง ความเร็ว และทิศทางอยู่รวมกัน
- สามารถขยายไปยังสามมิติได้อย่างเรียบง่าย โดยเพิ่มองค์ประกอบ $z(t)$ เข้าไป
- ฟิสิกส์และกราฟคอมพิวเตอร์ใช้วิธีนี้อธิบายวัตถุที่เคลื่อนที่
- ภาพลูกศรเดี่ยวทำให้การคิดเรื่องการเคลื่อนที่ร่วมได้ง่ายขึ้น
ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ให้ผลลัพธ์เป็น เวกเตอร์ ไม่ใช่ตัวเลข อย่า treating $\vec{r}(t) = \langle x(t), y(t)\rangle$ เป็นค่าเดียว — มันมี สอง องค์ประกอบเสมอ (ทิศทางและขนาด) และทั้งสองอย่างเปลี่ยนตาม $t$
อนุภาคเคลื่อนที่ในลักษณะ $\vec{r}(t) = \langle t,\ t^2\rangle$
- ที่ $t = 0$: $\vec{r} = \langle 0, 0\rangle$ — เริ่มต้นที่จุดกำเนิด
- ที่ $t = 2$: $\vec{r} = \langle 2, 4\rangle$ — ขึ้นและไปทางขวา
- ปลายของมันลากเส้นพาราโบลา $y = x^2$ เมื่อ $t$ เพิ่มขึ้น
ฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ $\vec{r}(t)$ ให้ เวกเตอร์ สำหรับแต่ละค่าของ พารามิเตอร์ — มักจะเป็นตำแหน่ง $\langle x(t), y(t)\rangle$ ปลายของมันลากเส้นทางเมื่อ $t$ เปลี่ยนแปลง จึงเป็นมุมมองแบบเวกเตอร์ของฟังก์ชันพารามิเตอร์ คำนวณโดยแยกตามองค์ประกอบ