เวกเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| vector/ˈvektə/ | เวกเตอร์ |
| magnitude/ˈmæɡnɪtjuːd/ | ขนาด |
| scalar/ˈskeɪlə/ | สเกลาร์ |
| component form/kəmˈpəʊnənt fɔːm/ | รูปแบบองค์ประกอบ |
ขนาดและทิศทางรวมกัน
- "ขับรถ $5$ กิโลเมตร" ไม่ครบถ้วน — คุณต้องรู้ ทิศทาง
- ปริมาณมากมายเป็นแบบนี้: ความเร็ว แรง การกระจัด ล้วนมีทิศทาง
- ตัวเลขเดียวไม่สามารถจับทั้งสองอย่างได้
- เราต้องการวัตถุใหม่ — เวกเตอร์ — วาดเป็นลูกศร
เวกเตอร์คืออะไร
- เวกเตอร์ มีข้อมูลสองส่วน: ขนาด (ความยาว) และทิศทาง
- วาดเป็นลูกศร: ความยาวคือขนาด ทิศทางที่ชี้คือทิศทาง
- เปรียบเทียบกับ สเกลาร์ — ตัวเลขธรรมดาที่มีเพียงขนาด เช่น อุณหภูมิหรือมวล
- ความเร็วเป็นเวกเตอร์; ความเร็ว (ตัวเลขล้วน) เป็นสเกลาร์
เวกเตอร์ คือปริมาณที่มี…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เวกเตอร์ มีทั้งขนาดและทิศทาง ต่างจาก สเกลาร์ (ตัวเลขธรรมดาที่มีเพียงขนาด)
รูปแบบองค์ประกอบ
- แยกเวกเตอร์ออกเป็นส่วนที่ลากข้ามและขึ้น: รูปแบบองค์ประกอบ ของมัน
- $\langle 3, 2\rangle$ หมายถึง $3$ ไปทางขวาและ $2$ ขึ้นบน
- องค์ประกอบแนวนอนและแนวตั้งเหมือนขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก
- การบวกเวกเตอร์ง่ายเท่ากับการบวกองค์ประกอบของแต่ละตัวแยกกัน
บวกเวกเตอร์สองตัวปลายติดหัว
ลากเวกเตอร์ทั้งสองและดูผลรวมของพวกมัน เวกเตอร์มีทั้งทิศทางและขนาด ไม่ใช่แค่ตัวเลขธรรมดา
รูปแบบองค์ประกอบ component form $\langle 3, 2\rangle$ หมายความว่าเวกเตอร์นั้น...
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รูปแบบองค์ประกอบ เรียงการเปลี่ยนแปลงแนวนอนก่อนแล้วตามด้วยการเปลี่ยนแปลงแนวตั้ง: $\langle 3, 2\rangle$ คือ 3 ข้างขวา, 2 ขึ้นบน
ขนาด magnitude ของเวกเตอร์ $\langle 3, 4\rangle$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ขนาด $= \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ — ความยาวของลูกศร ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับเวกเตอร์
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ตัวเลขเดียวคือ สเกลาร์ ไม่ใช่เวกเตอร์ ส่วนอีกสามข้อถูกต้อง
การหาขนาด
- ขนาด คือความยาวของลูกศร หาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส
- สำหรับ $\langle a, b\rangle$ ขนาดคือ $\sqrt{a^2 + b^2}$
- ดังนั้น $\langle 3, 4\rangle$ มีขนาด $\sqrt{9 + 16} = 5$
- องค์ประกอบคือขา; ขนาดคือด้านตรงข้ามมุมฉาก
การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ $2$ จะทำให้ความยาวเป็นสองเท่าแต่รักษาทิศทางไว้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สเกลาร์ บวกจะปรับขนาดและรักษาทิศทางไว้; แต่สเกลارลบจะกลับทิศทางด้วย
การคูณด้วยสเกลาร์และการบวก
- คูณเวกเตอร์ด้วย สเกลาร์ เพื่อยืดหรือหด: $2\langle 3, 2\rangle = \langle 6, 4\rangle$
- สเกลارลบยังทำให้เปลี่ยนทิศทาง
- บวกเวกเตอร์สองตัวด้วยการบวกองค์ประกอบ หรือทางเรขาคณิตปลายสุดชนหัว
- การดำเนินการเหล่านี้ช่วยให้เวกเตอร์จำลองแรงและการเคลื่อนที่ที่รวมกัน
อย่าสับสนระหว่าง ขนาด กับ องค์ประกอบ ของเวกเตอร์ เวกเตอร์ $\langle 3, 4\rangle$ มีองค์ประกอบ $3$ และ $4$ แต่มีขนาด $5$ — ไม่ใช่ $7$ ความยาวคือด้านตรงข้ามมุมฉาก ไม่ใช่ผลรวมของส่วนย่อย
เรือแล่น $\langle 6, 8\rangle$ (กม. ทางตะวันออก กม. ทางเหนือ) เรือเดินทางไกลแค่ไหน?
- ระยะทางคือขนาด: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ กม.
- ทิศทางของมันคือขึ้นและไปทางขวา คดกว่า $45°$ (เหนือมากกว่าตะวันออก)
- การคูณเวกเตอร์ด้วยสองเพื่อให้เป็น $\langle 12, 16\rangle$ จะทำให้ระยะทางถึง $20$ กม. เป็นสองเท่า
เวกเตอร์ มีทั้ง ขนาด และทิศทาง แสดงด้วยลูกศร — ต่างจาก สเกลาร์ (ตัวเลขธรรมดา) รูปแบบองค์ประกอบ $\langle a, b\rangle$ แสดงส่วนแนวนอนและแนวตั้ง และมีขนาดเท่ากับ $\sqrt{a^2 + b^2}$ สามารถปรับขนาดด้วยการคูณ และบวกด้วยการรวมองค์ประกอบเข้าด้วยกัน