การกำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งแบบนิยามโดยอ้อม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | พารามิเตอร์ |
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | นิยามโดยนัย |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | สมการพารามิเตอร์ |
การทำให้เส้นโค้งนิ่งๆ เคลื่อนที่
- สมการล่องหนอย่าง $x^2 + y^2 = 4$ กำหนดรูปร่างแต่บอกอะไรไม่ได้เกี่ยวกับ การเคลื่อนที่
- เพื่อแอนิเมตหรือพล็อตจุดต่อจุด เราต้องการกฎที่เดินไปตามเส้นโค้ง
- กฎนี้คือการกำหนดพารามิเตอร์: แสดง $x$ และ $y$ ในพจน์ของตัวแปรเดียว
- มันแปลงเงื่อนไขที่หยุดนิ่งให้เป็นจุดที่เคลื่อนที่เพื่อวาดเส้นโค้ง
จากล่องหนไปสู่พารามิเตอร์
- เริ่มต้นด้วยเส้นโค้งที่ นิยามโดยล่องหน — สมการที่ผสม $x$ และ $y$
- หา สมการพารามิเตอร์ $x(t)$, $y(t)$ ที่จุดทั้งหมดเป็นจริงตามสมการนั้น
- เมื่อ ตัวแปร เปลี่ยนไป จุดจะกวาดสร้างเส้นโค้งนั้นออกมาอย่างสมบูรณ์
- เส้นโค้งเดียวกัน คำอธิบายใหม่ — ตอนนี้มีความเร็วและทิศทางแฝงอยู่
การกำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งแบบนิยามโดยอ้อมมีประโยชน์เพราะมัน…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การกำหนดพารามิเตอร์ให้กฎในการ เดินไปตาม เส้นโค้งทีละค่า $t$ — ดีมากสำหรับการพล็อตและการเคลื่อนที่
วงกลม ทั้งสองวิธี
- แบบล่องหน: $x^2 + y^2 = 4$ บอกว่า "ระยะทาง $2$ จากจุดกำเนิด"
- แบบพารามิเตอร์: $x = 2\cos t$, $y = 2\sin t$ เดินรอบวงเมื่อ $t$ กวาดจาก $0$ ไปยัง $2\pi$
- ตรวจสอบให้ตรงกัน: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓
- อัตลักษณ์พีทาโกรัสคือสิ่งที่ทำให้การกำหนดพารามิเตอร์เป็นจริงตามสมการ
เปลี่ยนสมการวงกลมเป็นการเคลื่อนที่
วงกลมเชิงล่อง隐 x² + y² = 4 จะกลายเป็นพารามิเตอร์ x = 2 cos t, y = 2 sin t เมื่อมุมกวาดผ่าน
การกำหนดพารามิเตอร์ของวงกลมแบบนิยามโดยอ้อม $x^2 + y^2 = 4$ คือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ตรวจสอบ: $(2\cos t)^2 + (2\sin t)^2 = 4(\cos^2 t + \sin^2 t) = 4$. ✓ สอดคล้องกับสมการนัยยะสำหรับทุก $t$
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับการพารามิเตอร์เส้นโค้งแบบนัยยะ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การพารามิเตอร์ไม่เปลี่ยนรูปทรง — อธิบายถึง เส้นโค้งเดียวกัน ส่วนอีกสามข้อถูกต้อง
การตรวจสอบการกำหนดพารามิเตอร์
- เพื่อยืนยันว่า $x(t), y(t)$ กำหนดพารามิเตอร์เส้นโค้งล่องหน ให้แทนค่าลงในสมการ
- หากสมการเป็นจริงสำหรับ ทุก $t$ การกำหนดพารามิเตอร์นั้นถูกต้อง
- นี่คือวิธีจับความคาดหมายผิด: แทนค่าแล้วดูว่าลดรูปเป็นข้อเท็จจริงหรือไม่
- อัตตรีโกณมิติ $\cos^2 + \sin^2 = 1$ ทำหน้าที่หนักสำหรับวงกลมและเอลลิปส์
เพื่อยืนยันการพารามิเตอร์ ให้แทนค่า $x(t)$ และ $y(t)$ ลงในสมการ ____ แล้วตรวจสอบว่าสอดคล้อง
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การพารามิเตอร์ที่ถูกต้องต้องสอดคล้องกับ สมการนัยยะ สำหรับ ทุก ค่าของพารามิเตอร์
เส้นโค้งแบบนัยยะหนึ่งสามารถพารามิเตอร์ได้หลายรูปแบบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทิศทาง ความเร็ว หรือจุดเริ่มต้นที่แตกต่างกัน ให้การพารามิเตอร์ที่ถูกต้องแต่แตกต่างกันของเส้นโค้งเดียวกัน
การกำหนดพารามิเตอร์ที่ถูกต้องหลายแบบ
- เส้นโค้งไม่มี "การกำหนดพารามิเตอร์ที่ถูกต้อง" เพียงแบบเดียว
- การกลับทิศทาง เปลี่ยนความเร็ว หรือเลื่อนจุดเริ่มต้น ล้วนเป็นการกำหนดพารามิเตอร์ที่ถูกต้อง
- $x = 2\cos t, y = -2\sin t$ วาดวงกลมเดียวกันทวนเข็มนาฬิกาแทน
- เลือกการกำหนดพารามิเตอร์ที่การเคลื่อนที่ตรงกับโจทย์ของคุณ
การกำหนดพารามิเตอร์ต้องเป็นจริงกับสมการล่องหนสำหรับ ทุก ค่าของตัวแปร ไม่ใช่เพียงค่าเดียว ตรวจสอบโดยการแทนค่าและลดรูป — สูตรที่ทำงานได้ที่ $t$ เพียงจุดเดียวแต่ล้มเหลวในที่อื่น ไม่ใช่ การกำหนดพารามิเตอร์ของเส้นโค้ง
กำหนดพารามิเตอร์/elipses $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$
- ลอง $x = 3\cos t$, $y = 2\sin t$
- ตรวจสอบ: $\dfrac{9\cos^2 t}{9} + \dfrac{4\sin^2 t}{4} = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$. ✓
- ดังนั้น $(3\cos t, 2\sin t)$ วาดเต็ม-elipses เมื่อ $t$ จาก $0$ ไปยัง $2\pi$
การกำหนดพารามิเตอร์เปลี่ยนเส้นโค้งที่ นิยามโดยล่องหน ให้เป็น สมการพารามิเตอร์ $x(t), y(t)$ ที่วาดมันเมื่อ ตัวแปร เปลี่ยนไป ตรวจสอบโดยการแทนค่าลงในสมการล่องหนและดูว่าเป็นจริงสำหรับทุก $t$ เส้นโค้งมีการกำหนดพารามิเตอร์ที่ถูกต้องมากมาย แตกต่างกันในทิศทางและความเร็ว