ภาคกรวย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| ellipse/ɪˈlɪps/ | วงรี |
| parabola/pəˈræbələ/ | พาราโบลา |
| hyperbola/haɪˈpɜːbələ/ | ไฮเพอร์โบล่า |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | กรวยตัดฉาก |
การตัดกรวย
- นำกรวยคู่มาตัดด้วยระนาบแบนในมุมเอียงต่างๆ
- ตัดตรงขวางจะได้วงกลม; เอียงเล็กน้อยจะยืดออกเป็นวงรี
- เอียงมากขึ้นจะเปิดออกเป็นเปรียบ; เอียงหนักกว่านั้นจะแยกออกเป็นไฮเปอร์โบล่า
- เส้นโค้งสี่ชนิดเหล่านี้ — ภาคกรวย — ปรากฏทั่วไปในวิทยาศาสตร์และการออกแบบ
ครอบครัวของภาคกรวย
- ภาคกรวย คือเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดด้วยระนาบของกรวย
- สี่ประเภทคือ วงกลม วงเปรียบ เปรียบ และไฮเปอร์โบล่า
- แต่ละชนิดมีสมการล่องหนที่เรียบง่ายและมีนิยาม "ระยะทาง" ทางเรขาคณิต
- ดาวเคราะห์โคจรบนวงรี; ลูกบอลที่ถูกโยนและจานรับสัญญาณดาวเทียมลากเส้นเป็นเปรียบ
ภาคกรวย คือเส้นโค้งที่เกิดจากการ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ภาคกรวย คือผลตัดระหว่างระนาบกับกรวย; มุมตัดให้วงกลม วงรี พาราโบลา หรือไฮเพอร์โบลา
วงกลมเป็นภาคกรวยพิเศษ (วงรีwhoseสองจุดโฟกัสรวมกัน)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อจุดโฟกัสทั้งสองหลอมรวมเป็นจุดศูนย์กลางเดียว วงรีจะกลายเป็นวงกลมที่กลมสนิท
วงรี
- วงรี คือเซตของจุดwhoseระยะทางไปยังจุดโฟกัสคงที่สองจุดรวมกันได้ค่าคงที่
- สมการของมันคือ $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, ซึ่งคือวงกลมที่ถูกยืดออก
- วงกลมเป็นกรณีพิเศษเมื่อจุดโฟกัสทั้งสองรวมเข้าด้วยกันเป็นจุดศูนย์กลางเดียว
- แกนที่ยาวกว่าคือแกนหลัก; แกนที่สั้นกว่าคือแกนนอน
วงรี คือเซตของจุดที่ผลรวมระยะทางไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเป็น…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทุกจุดบน วงรี มี ผลรวม ระยะทางไปยังจุดโฟกัสทั้งสองเท่ากัน — ค่านี้กำหนดรูปร่าง
เลือก ทุก ภาคกรวย
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
สามเหลี่ยมไม่ใช่ภาคกรวย วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเพอร์โบลาคือภาคกรวย
เปรียบและไฮเปอร์โบล่า
- เปรียบ คือเซตของจุดที่มีระยะทางเท่ากันระหว่างจุดโฟกัสกับเส้นตรงคงที่ (directrix)
- สมการของมันดูคล้าย $y = ax^2$ — กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง
- ไฮเปอร์โบล่า คือตำแหน่งwhereความแตกต่างของระยะทางไปยังจุดโฟกัสสองจุดเป็นค่าคงที่
- สมการของมันคือ $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$, เปิดออกเป็นสองกิ่งก้าน
เป็นภาคกรวยชนิดใด?
เทอมกำลังสองบอกชนิดของภาคกรวย จัดกลุ่มแต่ละสมการ
____ คือภาคกรวยที่ทุกจุดมีระยะห่างเท่ากันระหว่างจุดโฟกัสกับเส้นไดเรกทริกซ์
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พาราโบลา สร้างสมดุลระหว่างระยะทางไปยังจุดโฟกัสกับระยะทางไปยังเส้นคงที่ (ไดเรกทริกซ์)
การจำแนกภาคกรวย
- อ่านรูปแบบของสมการ: $x^2 + y^2$ ที่มีสัมประสิทธิ์เท่ากันคือวงกลม
- สัมประสิทธิ์บวกต่างกันบน $x^2$ และ $y^2$ ให้วงรี
- มีพจน์กำลังสองเพียงพจน์เดียวให้เปรียบ; มีเครื่องหมายลบระหว่างพวกมันให้ไฮเปอร์โบล่า
- รูปแบบเครื่องหมายของพจน์กำลังสองบอกคุณว่าคุณมีภาคกรวยชนิดใด
ไม่ทุกเส้นโค้งเชิงควอดริกคือฟังก์ชันของ $x$. วงกลม, เอลลิปส์ และพาราโบลาแนวข้าง ล้มเหลวในการทดสอบเส้นแนวนอน อธิบายด้วยสมการแบบล่องหนหรือรูปแบบพารามิเตอร์ แทนที่จะพยายามบังคับให้เป็น $y = f(x)$ เดียว
ระบุเส้นโค้งเชิงควอดริก $\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1$.
- ทั้งสองเทอมถูกยกกำลังสอง เป็นบวก และมีสัมประสิทธิ์ ต่างกัน
- นั่นคือสมการของ เอลลิปส์
- มันยืดออกไปที่ $x = \pm 3$ (แกนหลัก) และ $y = \pm 2$ (แกนรอง)
ส่วนตัดกรวย — วงกลม, เอลลิปส์, พาราโบลา และ ไฮเพอร์โบลา — คือเส้นโค้งที่เกิดจากการตัดกรวย แต่ละชนิดมีนิยาม关于ระยะทาง (เอลลิปส์รวมระยะทางไปยังจุดโฟกัสสองจุด) และมีสมการล่องหนที่เป็นเอกลักษณ์ และส่วนใหญ่ไม่ใช่ฟังก์ชันของ $x$