ฟังก์ชันที่นิยามโดยอ้อม
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| implicitly defined/ɪmˈplɪsɪtli dɪˈfaɪnd/ | นิยามโดยนัย |
| conic section/ˈkɒnɪk ˈsekʃn/ | กรวยตัดฉาก |
เมื่อ y ไม่สามารถแยกตัวออกมาได้เอง
- ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่เราพบจะเป็นแบบชัด: $y$ แยกตัวอยู่ข้างเดียว เท่ากับสูตรใดสูตรหนึ่งใน $x$
- แต่สมการอย่าง $x^2 + y^2 = 25$ ทำให้ $x$ และ $y$ พัวพันกัน
- คุณไม่สามารถเขียน "$y = \dots$" ได้อย่างชัดเจน — แต่สมการยังคงอธิบายเส้นโค้งที่สมบูรณ์แบบ
- ความสัมพันธ์แบบนี้ถูกนิยามแบบล่องหน และเปิดกว้างสู่ครอบครัวของรูปทรงต่างๆ
แบบชัดเทียบกับแบบล่องหน
- ฟังก์ชันแบบชัด แยกเอาผลลัพธ์ออกมา: $y = x^2 - 3$
- ความสัมพันธ์ที่นิยามแบบล่องหน ทิ้งให้ $x$ และ $y$ ผสมกัน: $x^2 + y^2 = 25$
- รูปแบบล่องหนระบุ เงื่อนไข ที่จุดบนเส้นโค้งต้องสอดคล้อง
- มักจะเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุดในการอธิบายรูปร่าง
ความสัมพันธ์แบบ นิยามโดยอ้อม คือสิ่งที่…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เส้นโค้งแบบนิยามโดยอ้อม เช่น $x^2 + y^2 = 25$ ผสม $x$ และ $y$ โดยไม่แยก $y$ ออกมา
วงกลมในรูปแบบล่องหน
- สมการ $x^2 + y^2 = 25$ บอกว่า "ระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ $5$"
- ทุกจุดที่ปฏิบัติตามสมการนี้จะอยู่บนวงกลมรัศมี $5$ — ซึ่งเป็น ภาคกรวย แบบคลาสสิก
- ไม่ต้องจัดรูปสมการเพื่อดูรูปร่าง สมการบอกรูปร่างนั้นอยู่แล้ว
- วงรี เปรียบ และไฮเปอร์โบล่า ถูกนิยามด้วยรูปแบบล่องหนเดียวกันนี้ทั้งหมด
สมการ $x^2 + y^2 = 25$ อธิบายถึง…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทุกจุดที่มีระยะ $5$ จากจุดกำเนิดจะสอดคล้องกับ $x^2 + y^2 = 25$ — ซึ่งเป็นวงกลมรัศมี $5$
ความสัมพันธ์แบบนิยามโดยอ้อมอย่าง $x^2 + y^2 = 25$ อาจไม่ใช่ฟังก์ชันของ $x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่า $x$ ส่วนใหญ่ให้ สอง ค่า $y$ (ส่วนบนและล่างของวงกลม) จึงไม่ผ่านการทดสอบเส้นแนวตั้ง
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับความสัมพันธ์แบบนิยามโดยอ้อม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ความสัมพันธ์แบบนิยามโดยอ้อมจำนวนมากไม่สามารถแก้หา $y$ ได้อย่างเรียบร้อยเลย สามข้อที่เหลือถูกต้อง
ไม่ใช่ฟังก์ชันของ x
- สำหรับค่า $x$ ส่วนใหญ่ เส้นโค้งล่องหนจะให้ สอง ค่า $y$ (ด้านบนและด้านล่าง)
- ดังนั้นมันจึงมักไม่ผ่านการทดสอบเส้นแนวตั้ง — มันคือความสัมพันธ์ ไม่ใช่ฟังก์ชัน
- $x^2 + y^2 = 25$ แก้หa $y$ ได้ $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$: สองกิ่งก้านครึ่งวงกลม
- แต่ละกิ่งหากมองแยกต่างหาก เป็น ฟังก์ชัน; เมื่อรวมกันจะสร้างเป็นเส้นโค้งทั้งหมด
Explicit หรือ implicit?
สมการแบบนิยามโดยอ้อมเชื่อมโยง x และ y โดยไม่ต้องแก้หา y จัดกลุ่มแต่ละข้อ
การแก้ $x^2 + y^2 = 25$ เพื่อหาค่า $y$ ได้ $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ — นั่นคือ ____ กิ่งแยกกัน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\pm$ แบ่งวงกลมออกเป็นครึ่งวงกลมบนและครึ่งวงลuml่าง — ฟังก์ชันชัดเจนสองฟังก์ชัน
การทำงานกับเส้นโค้งล่องหน
- เพื่อหาจุด ให้แทนค่าพิกัดหนึ่งตัวแล้วแก้หาค่าอีกตัวหนึ่ง
- ในการวาดกราฟ ระบุรูปร่าง (วงกลม, วงรี, …) จากรูปแบบของสมการ
- บางความสัมพันธ์ล่องหนไม่สามารถแก้หa $y$ ได้เลย — คุณต้องทำงานกับมันตามที่เป็น
- ในแคลคูลัส การหาอนุพันธ์แบบล่องหนช่วยหาความชันโดยไม่ต้องแยก $y$ ออกมา
สมการล่องหนคือ ความสัมพันธ์ ไม่ใช่ฟังก์ชันอัตโนมัติ อย่าสันนิษฐานว่าคุณสามารถเขียน $y = f(x)$ ได้ — สำหรับวงกลมคุณจะได้ $y = \pm\sqrt{25 - x^2}$ และการลืม $\pm$ จะทำให้ครึ่งหนึ่งของเส้นหายไปอย่างเงียบๆ
หาจุดบน $x^2 + y^2 = 25$ ที่ $x = 3$
- แทนค่า: $9 + y^2 = 25$, ดังนั้น $y^2 = 16$
- จากนั้น $y = \pm 4$ — สองจุด, $(3, 4)$ และ $(3, -4)$
- ค่า $x$ หนึ่งค่า มีค่า $y$ สองค่า: เป็นเครื่องหมายของความสัมพันธ์ที่ไม่ใช่ฟังก์ชัน
ความสัมพันธ์ที่นิยามแบบล่องหน ผสม $x$ และ $y$ ไว้ในสมการเดียว เช่น $x^2 + y^2 = 25$ แทนที่จะแยก $y$ ออกจากกัน มันสามารถอธิบายวงกลมและ ภาคกรวย อื่นๆ โดยทั่วไปจะไม่เป็นฟังก์ชันของ $x$ (การแก้จะได้ $\pm$ กิ่งก้าน) และมักเป็นวิธีที่เป็นธรรมชาติที่สุดในการระบุเส้นโค้ง