วงกลมและเส้นตรงแบบพารามิเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parameter/pəˈræmɪtə/ | พารามิเตอร์ |
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | สมการพารามิเตอร์ |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | วงกลมหน่วย |
วาดวงกลมง่าย ๆ
- วงกลมไม่สามารถเขียนเป็น $y = f(x)$ เดียวได้ —它将 fails the vertical-line test
- แต่ด้วยพารามิเตอร์ มันกลายเป็นสิ่งเรียบง่ายอย่างสวยงาม: มุมที่ Sweep รอบ
- เส้นตรงก็ได้รับรูปแบบพารามิเตอร์ที่สะอาดซึ่งสร้างจากจุดเริ่มต้นและทิศทาง
- รูปทรงทั้งสองนี้เป็นเครื่องมือหลักของเรขาคณิตพารามิเตอร์
เส้นตรง แบบพารามิเตอร์
- เริ่มต้นที่จุด $(x_0, y_0)$ และเคลื่อนที่ขั้นตอนคงที่ทุกหน่วยของ $t$
- สมการพารามิเตอร์ คือ $x = x_0 + at$ และ $y = y_0 + bt$
- ที่นี่ $(a, b)$ คือทิศทาง, และ $t$ คือ พารามิเตอร์ ที่พาคุณไปตลอดเส้นทาง
- เมื่อ $t$ วิ่งผ่านจำนวนจริงทั้งหมด จุดจะวาดเส้นตรงเต็มเส้น
เส้นตรงผ่านจุดหนึ่งตามทิศทางคงที่สามารถเขียนแบบพารามิเตอร์ได้ดังนี้…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เริ่มต้นที่ $(x_0, y_0)$ และเคลื่อนที่ตาม $(a, b)$ ในแต่ละหน่วยของ $t$ จะวาดเส้นตรง
วงกลม แบบพารามิเตอร์
- จุดบน วงกลมหน่วย ที่มุม $t$ คือ $(\cos t, \sin t)$
- ขยายด้วยรัศมี $r$: $x = r\cos t$ และ $y = r\sin t$ จะวาดวงกลมที่มีรัศมี $r$
- เมื่อ $t$ Sweep จาก $0$ ไปยัง $2\pi$, จุดจะเดินทางรอบหนึ่ง ทวนเข็มนาฬิกา
- ย้ายโดย $(h, k)$ เพื่อวางศูนย์กลางวงกลมได้ทุกที่
*x = 2 cos t, y = 2 sin t Sweep รอบวงกลมรัศมี 2 ครั้งเดียว
หมุนมุมเพื่อวาดวงกลม
เมื่อพารามิเตอร์ (ซึ่งเป็นมุม) หมุนจาก 0 ถึง 2 pi จุด (cos t, sin t) จะเคลื่อนที่รอบวงกลมหนึ่งครั้ง
สมการ พารามิเตอร์ nàoที่วาดวงกลมรัศมี $r$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จากวงกลมหน่วยที่ปรับขนาดด้วย $r$: $x = r\cos t$ และ $y = r\sin t$ วาดวงกลมเมื่อ $t$ ไปจาก $0$ ถึง $2\pi$
การกำหนดพารามิเตอร์ $x = \cos t,\ y = \sin t$ มาโดยตรงจาก ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จุดบน วงกลมหน่วย ที่มุม $t$ คือ $(\cos t, \sin t)$ — ซึ่งเป็นวิธีการกำหนดพารามิเตอร์ที่เป็นธรรมชาติของวงกลม
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
วงกลม สามารถ กำหนดพารามิเตอร์ได้ (นั่นคือหัวใจสำคัญ) สามข้อที่เหลือถูกต้อง
ทิศทางและความเร็ว
- การกำหนดค่าพารามิเตอร์ไม่ได้ตั้งรูปทรงเท่านั้น แต่ยัง วิธี ที่มันถูกวาดด้วย
- $x = \cos t, y = \sin t$ ไปทวนเข็มนาฬิกา; $x = \cos t, y = -\sin t$ ไปตามเข็มนาฬิกา
- การแทนที่ $t$ ด้วย $2t$ จะวาดวงกลมเดียวกันด้วยความเร็วสองเท่า
- ดังนั้นวงกลมเดียวกันจึงมีการกำหนดค่าพารามิเตอร์มากมาย แต่ละแบบมีการเคลื่อนที่ของตนเอง
การจำกัด $t$ ไว้ที่ $0 \le t \le \pi$ ใน $x = \cos t,\ y = \sin t$ จะวาดเพียงครึ่งบนของวงกลมเท่านั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
จาก $t = 0$ ถึง $\pi$, $y = \sin t \ge 0$ ดังนั้นจึงวาดเพียงครึ่งวงกลมด้านบน
วาดเพียงบางส่วน
- การจำกัดช่วงพารามิเตอร์จะวาดเพียงส่วนโค้ง
- $0 \le t \le \pi$ ใน $(\cos t, \sin t)$ ให้เพียงครึ่งบนของวงกลม
- สำหรับเส้นตรง การจำกัด $t$ จะให้เป็นท่อนหรือรัศมี
- เลือกช่วงเพื่อวาดส่วนที่ต้องการอย่างแม่นยำ
รูปแบบพารามิเตอร์ของวงกลมไม่ใช่แบบเดียว $(\cos t, \sin t)$ และ $(\sin t, \cos t)$ ลากเส้นรอบวงหน่วยได้เหมือนกัน แต่เริ่มต้นที่จุดต่างกันและเคลื่อนที่ในทิศทางต่างกัน ต้องตรวจสอบจุดเริ่มต้นและทิศทางเสมอ ไม่ใช่แค่รูปร่างเท่านั้น
กำหนดพารามิเตอร์สำหรับวงกลมรัศมี $3$ ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(1, -2)$
- เริ่มจากรูปแบบวงกลมหน่วยแล้วปรับสเกลด้วย $3$: $3\cos t$, $3\sin t$
- เลื่อนจุดศูนย์กลางไปที่ $(1, -2)$: $x = 1 + 3\cos t$, $y = -2 + 3\sin t$
- เมื่อ $t$ เปลี่ยนจาก $0$ ไปยัง $2\pi$ จะวาดวงกลมเต็มวงหนึ่งครั้ง
เส้นตรงคือ $x = x_0 + at,\ y = y_0 + bt$ (จุดบวกกับทิศทาง) วงกลมรัศมี $r$ คือ $x = r\cos t,\ y = r\sin t$ โดยตรงจาก วงกลมหน่วย สมการพารามิเตอร์ เหล่านี้ทำให้ พารามิเตอร์ $t$ กำหนดรูปร่าง ทิศทาง และความเร็ว — หากจำกัด $t$ จะวาดเพียงส่วนโค้งหรือท่อนเท่านั้น