อัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันพารามิเตอร์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันพารามิเตอร์ |
เร็วแค่ไหน และทิศทางไหน?
- การรู้ว่าลูกบอลอยู่ที่ไหนในแต่ละขณะเป็นเรื่องดี; การรู้ว่ามันเคลื่อนที่เร็วแค่ไหนยิ่งดีกว่า
- ความเร็วและทิศทางรวมกันคือความเร็ว — และทั้งสองมาจากราการเปลี่ยนแปลง
- ด้วยเส้นทางพารามิเตอร์ เราถามว่า $x$ และ $y$ เปลี่ยนแปลงด้วยความเร็วเพียงใดตามเวลา
- อัตราการเปลี่ยนแปลงทั้งสองนี้รวมกันเป็นความเร็วของจุดที่เคลื่อนที่
อัตราการของพิกัดทั้งสอง
- อัตราการเปลี่ยนแปลง แนวราบคือ $\dfrac{dx}{dt}$ — ความเร็วในการเคลื่อนที่ข้างๆ ของจุด
- อัตราการแนวตั้งคือ $\dfrac{dy}{dt}$ — ความเร็วในการเคลื่อนที่ขึ้นหรือลง
- สำหรับ ฟังก์ชันพารามิเตอร์ นี่คือองค์ประกอบความเร็วสองด้าน
- ในช่วงเวลาหนึ่ง อัตราเฉลี่ย คือ $\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ หรือ $\dfrac{\Delta y}{\Delta t}$
สำหรับจุดที่เคลื่อนที่ $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$ คือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการเปลี่ยนแปลง ของแต่ละพิกัดคือองค์ประกอบความเร็ว: $dx/dt$ ไปข้างขวาง, $dy/dt$ ขึ้นด้านบน
ความเร็วสัมผัสกับเส้นทาง
- รวมองค์ประกอบทั้งสองเข้าด้วยกันจะได้ลูกศรความเร็ว
- ลูกศรนี้จะชี้ สัมผัส กับcurve เสมอ — ทิศทางการเดินทางปัจจุบัน
- ลูกศรยาวหมายถึงการเคลื่อนที่เร็ว; สั้นหมายถึงช้า
- การติดตามลูกศรไปตามเส้นทางแสดงให้เห็นว่าวัตถุเร่งความเร็วและชะลอตัวอย่างไร
จุดหนึ่งมี $x = 3t$ ค่าเฉลี่ยอัตราการเปลี่ยนแปลงแนวนอน $\Delta x/\Delta t$ ของมันในช่วงใด ๆ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เนื่องจาก $x = 3t$ เป็นเชิงเส้น $\Delta x/\Delta t = 3$ ทุกที่ — ความเร็วแนวนอนคงที่
เวกเตอร์ความเร็วชี้ ____ กับเส้นทาง — ตามทิศทางการเคลื่อนที่
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความเร็วเป็น เส้นสัมผัส กับเส้นโค้งเสมอ ชี้ทางที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่ในปัจจุบัน
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงแบบพารามิเตอร์
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการเปลี่ยนแปลงวัด การเปลี่ยนแปลง ไม่ใช่ตำแหน่ง สามข้อที่เหลือถูกต้อง
เมื่ออัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์
- หาก $\dfrac{dy}{dt} = 0$ เป็นศูนย์ชั่วขณะ การเคลื่อนที่แนวตั้งจะหยุดยกตัวชั่วคราว
- นั่นคือจุดสูงสุดของวงโค้งลูกบอลที่ถูกโยนขึ้น ซึ่งมันหยุดยกตัวก่อนจะตก
- หาก $\dfrac{dx}{dt} = 0$ เป็นศูนย์ การเคลื่อนที่แนวราบจะหยุดนิ่ง — เส้นทางจะเป็นแนวตั้งชั่วคราว
- ช่วงเวลาที่อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์เหล่านี้เครื่องหมายจุดกลับตัวของการเคลื่อนที่
อัตราการเปลี่ยนแปลงบนเส้นโค้ง
y = x^2
ความชันของเส้นสัมผัสคืออัตราการเปลี่ยนแปลง; สำหรับเส้นโค้งพารามิเตอร์คือ (dy/dt) หารด้วย (dx/dt)
หาก $dy/dt = 0$ ณ ช่วงเวลาหนึ่ง การเคลื่อนที่แนวตั้งหยุดชั่วคราว
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราส่วนแนวตั้งเป็นศูนย์หมายความว่า $y$ ไม่เปลี่ยนแปลงชั่วคราว — เช่น จุดสูงสุดของวงโคจรลูกบอลที่ถูกโยนขึ้น
การตีความการเคลื่อนที่
- $dx/dt$ บวก: เคลื่อนที่ไปทางขวา; ลบ: เคลื่อนที่ไปทางซ้าย แนวคิดเดียวกันสำหรับแนวตั้ง
- เปรียบเทียบอัตราการทั้งสองเพื่อดูว่าจุดนั้นปีนขึ้นอย่างชันหรือลอยตัวไปทางข้าง
- อัตราการคงที่หมายถึงการเคลื่อนที่เส้นตรงและสม่ำเสมอ; อัตราการเปลี่ยนหมายถึงการโค้งหรือเร่งความเร็ว
- อัตราการเปลี่ยนเส้นทางที่นิ่งงันให้คำอธิบายเต็มรูปแบบของการเคลื่อนที่
อัตรา $dx/dt$ เป็น ความเร็ว ไม่ใช่ตำแหน่งหรือระยะทาง จุดอาจอยู่ห่างจากจุดกำเนิดแต่เคลื่อนที่ช้า หรืออยู่ใกล้แต่เคลื่อนที่เร็ว — ตำแหน่งและการเปลี่ยนแปลงอัตราเป็นอิสระต่อกัน
จุดมี $x = 3t$ และ $y = 20t - 5t^2$
- อัตราแนวนอน: $\dfrac{dx}{dt} = 3$ (คงที่) — ความเร็วด้านข้างสม่ำเสมอ
- อัตราแนวตั้ง: $\dfrac{dy}{dt} = 20 - 10t$, ซึ่งเป็น $0$ ที่ $t = 2$
- ดังนั้นที่ $t = 2$ ลูกบอลจะไม่ยกตัวหรือตกชั่วคราว — จุดสูงสุดของวงโค้ง
ใน ฟังก์ชันพารามิเตอร์, อัตราการเปลี่ยนแปลง $\dfrac{dx}{dt}$ และ $\dfrac{dy}{dt}$ เป็นองค์ประกอบความเร็วแนวราบและแนวตั้ง ผลรวม将它们สัมผัสกับเส้นทาง และการเปลี่ยนแปลงอัตราเป็นศูนย์บอกรูปทิศทางการเคลื่อนที่ที่หยุดนิ่งชั่วคราว