ฟังก์ชันพารามิเตอร์และการเคลื่อนที่บนระนาบ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| parametric function/ˌpærəˈmetrɪk ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันพารามิเตอร์ |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | พารามิเตอร์ |
ตอนนี้มันอยู่ที่ไหน?
- ขว้างลูกบอลแล้วมันจะวิ่งตามเส้นโค้งอันสวยงามในอากาศ
- เพื่ออธิบายการบินนั้น เราติดตามตำแหน่งแนวนอนและแนวตั้งตามเวลา
- แต่ละตัวเป็นฟังก์ชันของตัวเองของเวลา — และเมื่อรวมกันจะให้ตำแหน่งของลูกบอลในทุกช่วงเวลา
- นี่คือสิ่งที่ฟังก์ชันพารามิเตอร์ถูกสร้างมาเพื่อ
ตำแหน่งตามเวลา
- ฟังก์ชันพารามิเตอร์ จำลองการเคลื่อนที่โดยการให้ตำแหน่ง $(x(t), y(t))$ ในแต่ละเวลา
- พารามิเตอร์ $t$ คือนาฬิกา; ใส่เวลาเข้าไปแล้วอ่านตำแหน่ง
- การเคลื่อนที่แนวนอนอยู่ใน $x(t)$; การเคลื่อนที่แนวตั้งอยู่ใน $y(t)$
- คู่นี้จะวาดเส้นทางของวัตถุผ่านระนาบ
เมื่อฟังก์ชันพารามิเตอร์จำลองการเคลื่อนที่ พารามิเตอร์ $t$ มักจะแสดงถึง…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ใน ฟังก์ชันพารามิเตอร์ ที่จำลองการเคลื่อนที่ $t$ คือเวลา และ $(x(t), y(t))$ คือตำแหน่งของวัตถุขณะนั้น
แยกการเคลื่อนที่
- เทคนิคยิ่งใหญ่คือ $x$ และ $y$ สามารถวิเคราะห์ แยกต่างหาก
- ลูกบอลที่ถูกขว้างเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแนวนอนคงที่ ในขณะที่แรงโน้มถ่วงทำให้การเคลื่อนที่แนวตั้งเป็นเส้นโค้ง
- ดังนั้น $x(t)$ อาจเป็นเชิงเส้นในขณะที่ $y(t)$ เป็นพาราโบลาหงายลง
- รวมเข้าด้วยกันและลูกบอลจะวิ่งตามเส้นโค้งที่คุ้นเคย
ลูกบอลมี $x = 3t$ และ $y = 20t - 5t^2$ ความสูง $y$ ของมันที่ $t = 2$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$y = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$; และ $x = 3(2) = 6$ ดังนั้นลูกบอลอยู่ที่ $(6, 20)$
ตำแหน่งเริ่มต้นของวัตถุหาได้จากการแทนค่า $x$ และ $y$ ที่ $t =$ ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ที่ $t = 0$ การเคลื่อนที่เริ่มขึ้น ดังนั้น $(x(0), y(0))$ คือตำแหน่งเริ่มต้น
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบพารามิเตอร์
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เส้นทางพารามิเตอร์สามารถโค้งได้ (เช่น ทางโค้งของลูกบอลที่ถูกโยน) ไม่ใช่แค่เส้นตรง สามข้อที่เหลือถูกต้อง
การอ่านการเคลื่อนที่
- จุดเริ่มต้นอยู่ที่ $t = 0$: ประเมิน $x(0)$ และ $y(0)$
- เวลาที่ผ่านไปให้ตำแหน่งที่ตามมาตามเส้นทาง
- เมื่อเส้นทางสูงที่สุด การเคลื่อนที่แนวตั้งจะหยุดยกตัวชั่วคราว
- การดู $t$ ขึ้นไปแสดงทิศทางของการเดินทาง
เส้นทางที่วาดโดยพารามิเตอร์
เมื่อพารามิเตอร์วิ่ง จุดนั้นเคลื่อนที่และวาดเส้นโค้งบนระนาบออกมา
การเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งสามารถวิเคราะห์แยกกันได้เป็น $x(t)$ และ $y(t)$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแบ่งการเคลื่อนที่ออกเป็นส่วน $x$ และ $y$ ที่เป็นอิสระต่อกันคือจุดแข็งที่ยิ่งใหญ่ของมุมมองแบบพารามิเตอร์
นอกเหนือจากตำแหน่ง
- จากฟังก์ชันตำแหน่ง คุณสามารถถามได้ว่าแต่ละพิกัดเปลี่ยนเร็วเพียงใด
- สิ่งนี้นำไปสู่ความเร็ว — อัตราการเปลี่ยนแปลงในบทเรียนถัดไป
- คุณยังสามารถหาว่าวัตถุตกถึงพื้นเมื่อใด (ที่ $y = 0$ อีกครั้ง) หรือเคลื่อนที่ไปไกลแค่ไหน
- การเคลื่อนที่แบบพารามิเตอร์เปลี่ยนเรขาคณิตให้เป็นเรื่องราวที่เคลื่อนไหวได้
อย่าสับสนระหว่าง เส้นทาง กับ การเคลื่อนที่ ภาพของวงโค้งแสดงรูปร่าง แต่การกำหนดค่าพารามิเตอร์ยังบอกละเอียดถึง เวลา ที่ลูกบอลอยู่ที่แต่ละจุดและ ความเร็ว ของมัน ลูกบอลสองลูกสามารถมีเส้นทางเดียวกันแต่เคลื่อนที่ไปตามเส้นนั้นได้อย่างแตกต่างกันมาก
ลูกบอลมี $x = 3t$ และ $y = 20t - 5t^2$ (เมตร, วินาที)
- ที่ $t = 0$: ตำแหน่ง $(0, 0)$ — เริ่มที่จุดกำเนิด
- ที่ $t = 2$: $x = 6$, $y = 40 - 20 = 20$ — อยู่ห่าง $6$ เมตร และสูง $20$ เมตร
- มันตกลงดินเมื่อ $y = 0$ อีกครั้ง: $20t - 5t^2 = 0 \Rightarrow t = 4$ วินาที
ฟังก์ชันพารามิเตอร์ จำลองการเคลื่อนที่ในระนาบโดยการระบุตำแหน่ง $(x(t), y(t))$ ในแต่ละช่วงเวลา โดยมี พารามิเตอร์ $t$ เป็นนาฬิกา การเคลื่อนที่แนวนอนและแนวตั้งแยกออกเป็น $x(t)$ และ $y(t)$ ซึ่งสามารถวิเคราะห์แยกต่างหากแล้วรวมกลับเป็นเส้นทางได้