อัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| rate of change/reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | อัตราการเปลี่ยนแปลง |
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันขั้ว |
รัศมีเปลี่ยนเร็วแค่ไหน?
- บนเส้นโค้งขั้ว เมื่อมุมกวาดไปรอบด้าน รัศมีจะเพิ่มขึ้นและลดลง
- คำถาม "$r$ เปลี่ยนแปลงเร็วเท่าไรต่อหน่วยของมุม?" คืออัตราการเปลี่ยนแปลง
- มันบอกคุณว่าเส้นโค้งกำลังพันออกไปด้านนอก ด้านใน หรือคงที่
- สิ่งนี้เชื่อมโยงแนวคิดอัตราการเปลี่ยนแปลงของยูนิต 1 เข้ากับโลกของพิกัดขั้ว
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ r
- ฟังก์ชันขั้ว คือ $r = f(\theta)$ ดังนั้นเราสามารถวัดได้ว่า $r$ เปลี่ยนแปลงอย่างไรกับ $\theta$
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ในช่วงหนึ่งคือ $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ — การเปลี่ยนแปลงของรัศมีต่อการเปลี่ยนแปลงของมุม
- ค่าบวกหมายความว่ารัศมีกำลังเติบโต; ค่าลบหมายความว่ากำลังหดตัว
- มันเป็นอัตรา "เอาต์พุตต่ออินพุต" Exactly ใช้กับ $r$ และ $\theta$
เมื่อ $\theta$ เพิ่มขึ้น หาก $r$ เพิ่มขึ้น เส้นโค้งจะเคลื่อนที่ไป…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รัศมีที่เพิ่มขึ้นหมายความว่าจุดนั้นกำลังเคลื่อนที่ออกไปไกลขึ้น — เส้นโค้งจะหมุน ออกด้านนอก
พันออกไปหรือเข้าใน
- ถ้า $r$ เพิ่มขึ้น เมื่อ $\theta$ เติบโต เส้นโค้งจะเคลื่อนที่ห่างจากจุดกำเนิด — พันออกไปด้านนอก
- ถ้า $r$ ลดลง เส้นโค้งจะพันเข้าสู่โพล
- สไปรัลเช่น $r = \theta$ มีอัตราเป็นบวกต่อเนื่อง ดังนั้นจึงกว้างขึ้นตลอดกาล
- ขนาดของอัตรากำหนดความเร็วที่เส้นโค้งพัน
ดูรัศมีเพิ่มขึ้นเมื่อมุมกวาดผ่าน
ในวงสไปรัล ค่า r จะเพิ่มขึ้นตามค่า theta อัตราการเปลี่ยนแปลงของ r决定了 how quickly the curve winds outward.
อัตรา เฉลี่ยของการเปลี่ยนแปลง ของ $r$ ในช่วงของ $\theta$ คือ $\dfrac{\Delta r}{\Delta \theta}$ ซึ่งคือการเปลี่ยนแปลงของรัศมีต่อการเปลี่ยนแปลงของ ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
มันวัดว่ารัศมีเปลี่ยนแปลงเร็วเพียงใดต่อหน่วยของ มุม — ซึ่งเป็นรูปแบบขั้วของความชัน
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงในฟังก์ชันขั้ว
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$r$ ที่มีค่าคงที่จะวาดส่วนโค้งวงกลม ไม่ใช่การหมุนออกด้านนอก สามข้อที่เหลือถูกต้อง
เมื่ออัตราเป็นศูนย์
- ที่ที่อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $r$ เป็นศูนย์ รัศมีจะคงที่ชั่วขณะ
- ความยาวรัศมีคงที่ในช่วงหนึ่งจะสร้าง ส่วนโค้งของวงกลม ขึ้น
- ดังนั้นช่วงราบเรียบใน $r$ จึงปรากฏเป็นส่วนโค้งทรงกลมที่โค้งมน
- จุดยอดและจุดต่ำสุดของ $r$ คือตำแหน่งที่เส้นโค้งอยู่ห่างจากหรือใกล้กับจุดกำเนิดมากที่สุด
หาก $r$ ลดลง เมื่อ $\theta$ เพิ่มขึ้น เส้นโค้งจะหมุนเข้าหาจุดกำเนิด
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รัศมีที่หดตัวดึงจุดนั้นเข้าสู่ขั้ว ดังนั้นเส้นโค้งจึงหมุนเข้าด้านใน
หากอัตราการเปลี่ยนแปลงของ $r$ เป็น ศูนย์ ในช่วงหนึ่ง เส้นโค้งที่นั่นจะเป็น…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อัตราการเปลี่ยนแปลงเป็นศูนย์หมายถึง $r$ มีค่าคงที่ ดังนั้นจุดจะอยู่ที่ระยะเดียวกันเสมอ — ส่วนโค้งของวงกลม
การอ่านการเคลื่อนที่
- เปรียบเทียบ $r$ กับ $\theta$ เพื่อทำนายพฤติกรรมของเส้นโค้งขั้ว
- $r$ ที่เพิ่มขึ้น: กลีบหรือวงวนที่ยื่นออกไปด้านนอก $r$ ที่ลดลง: กลับเข้าสู่จุดศูนย์กลาง
- จุดตัดแกนของ $r$ คือตำแหน่งที่เส้นโค้งผ่านจุดกำเนิด
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเปลี่ยนภาพนิ่งให้กลายเป็นเรื่องราวของการเคลื่อนที่
อัตราในที่นี้คือการเปลี่ยนแปลงของ รัศมี ต่อมุม ไม่ใช่ความเร็วของจุดบนเส้นโค้ง ค่า $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ ที่มากหมายถึงระยะจากจุดกำเนิดเปลี่ยนแปลงเร็ว — ไม่ได้วัดความเร็วในการเคลื่อนที่รอบเส้นcurve โดยตรง
สำหรับ spiral $r = \theta$ ให้เปรียบเทียบรัศมีที่ $\theta = 1$ และ $\theta = 3$
- $r$ เปลี่ยนจาก $1$ เป็น $3$ เมื่อ $\theta$ เปลี่ยนจาก $1$ เป็น $3$
- อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย $= \dfrac{3 - 1}{3 - 1} = 1$: รัศมีเพิ่มขึ้นหนึ่งหน่วยต่อเรเดียน
- เป็นบวกและคงที่ ดังนั้นสไปรอลจึงแผ่ออกไปด้วยอัตราที่สม่ำเสมอ
สำหรับ ฟังก์ชันขั้ว $r = f(\theta)$, อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย $\tfrac{\Delta r}{\Delta\theta}$ บอกถึงการเปลี่ยนแปลงของรัศมีตามมุม: บวก → สไปรอลออกด้านนอก, ลบ → เข้าด้านใน, ศูนย์ → ส่วนโค้งวงกลม นำแนวคิดอัตราการเปลี่ยนแปลงจากยูนิตที่ 1 มาใช้กับ $r$ และ $\theta$