กราฟของฟังก์ชันพิกัดขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| polar function/ˈpəʊlə ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันขั้ว |
| rose/rəʊz/ | กลีบดอก |
| cardioid/ˈkɑːdɪəʊɪd/ | เส้นโค้งหัวใจ |
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | พิกัดขั้ว |
เส้นโค้งที่บานออก
- ในกราฟฉาก $y$ ขึ้นอยู่กับ $x$ แต่ในกราฟขั้ว รัศมี ขึ้นอยู่กับ มุม
- เมื่อมุมกวาดไปรอบด้าน รัศมีจะขยายและหดตัว วาดรูปทรงที่น่าประหลาดใจออกมา
- ดอกไม้ หัวใจ และสไปรัล ล้วนปรากฏจากกฎขั้วที่เรียบง่าย
- เส้นโค้งเหล่านี้เขียนยากด้วย $x$ และ $y$ แต่ง่ายด้วย $r$ และ $\theta$
ฟังก์ชันขั้วคืออะไร
- ฟังก์ชันขั้ว มีรูปแบบ $r = f(\theta)$: รัศมีสำหรับแต่ละมุม
- เพื่อวาดมัน ให้กวาด $\theta$ ไปรอบด้านแล้วขีดจุดที่ระยะ $r$ ทิศทางนั้น
- ที่ซึ่ง $r$ มีค่ามาก เส้นโค้งจะพุ่งออกไปไกล; ที่ซึ่ง $r = 0$ มันแตะจุดกำเนิด
- กราฟทั้งหมดสร้างขึ้นทีละมุม
ฟังก์ชันเชิงขั้ว (polar function) $r = f(\theta)$ ให้ค่าสำหรับมุมแต่ละค่า คือ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันเชิงขั้ว (polar function) ให้ค่ารัศมีสำหรับมุมอินพุตแต่ละค่า; การพล็อต $(f(\theta), \theta)$ จะสร้างเส้นโค้ง
สมการพิกัดขั้วอย่างง่าย $r = 3$ (ค่าคงที่) คือวงกลม
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
รัศมีคงที่ที่ทุกมุมจะวาดวงกลมของรัศมียิ่งนั้นรอบจุดกำเนิด
กุหลาบและรูปร่างอื่นๆ
- $r = a\sin(k\theta)$ หรือ $a\cos(k\theta)$ วาด กุหลาบ —ดอกไม้ที่มีกลีบดอก
- เมื่อ $k$ เป็นจำนวนคี่ จะมี $k$ กลีบ; เมื่อ $k$ เป็นจำนวนคู่ จะมี $2k$
- $r = a(1 + \sin\theta)$ วาด คาร์ดิโอ이드 รูปหัวใจ
- ค่าคงที่ $r = a$ คือวงกลมรัศมี $a$ อย่างง่าย
วาดเส้นโค้งพิกัดขั้วทีละกลีบ
ฟังก์ชันพิกัดขั้วกำหนดค่า r สำหรับแต่ละมุม theta เมื่อหมุน theta รอบวงรัศมีจะวาดรูปกุหลาบ วงกลม หรือเกลียว
เส้นโค้ง $r = a\sin(3\theta)$ เป็น กุหลาบ ที่มีจำนวนกลีบกี่กลีบ?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
สำหรับ $r = a\sin(k\theta)$ ที่ $k$ เป็นเลขคี่ กุหลาบ จะมีกลีบทั้งหมด $k$ กลีบ — ในกรณีนี้ $3$
เส้นโค้งพิกัดขั้วรูปร่างหัวใจ $r = 1 + \sin\theta$ เรียกว่า ____
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คาร์ดิอยด์ ("รูปร่างหัวใจ") เป็นเส้นโค้งพิกัดขั้วคลาสสิกที่มีรูปแบบ $r = a(1 + \sin\theta)$
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับกราฟขั้ว
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กราฟขั้วประกอบด้วยวงกลม, รูปดอกไม้, คาร์ดิอยด์ และสไปรอล — นادرที่จะเป็นเส้นตรง สามข้อที่เหลือถูกต้อง
วาดจุดต่อจุด
- ทำตาราง: เลือกมุม คำนวณ $r$ ที่แต่ละมุม แล้วขีดจุด
- ระวังที่ซึ่ง $r = 0$ (เส้นโค้งผ่านจุดกำเนิด) และที่ซึ่ง $r$ สูงสุด
- เชื่อมจุดอย่างเรียบเนียนตามลำดับ $\theta$ ที่เพิ่มขึ้น
- รูปแบบมักซ้ำหลังจากครบหนึ่งรอบ (หรือครึ่งรอบ สำหรับกุหลาบคู่)
ความสมมาตรช่วยได้
- เส้นโค้งขั้วจำนวนมากมีความสมมาตรรอบแกน ซึ่งลด一半งานวาดลง
- กราฟ $\sin$ มักสมมาตรรอบแกนตั้ง; กราฟ $\cos$ สมมาตรรอบแกนนอน
- การสังเกตความสมมาตรช่วยให้วาดแค่ส่วนหนึ่งแล้วสะท้อนส่วนที่เหลือ
- การแปลงกลับเป็น พิกัดขั้ว ยืนยันตำแหน่งที่แท้จริงของแต่ละลักษณะ
อย่าอ่านกราฟขั้วเหมือนกราฟฉาก "ลูป" กลับไปที่จุดกำเนิดหมายถึง $r$ ผ่าน $0$ ไม่ใช่ฟังก์ชันไม่กำหนดค่า และจุดเดียวสามารถเข้าถึงได้ด้วยมุมที่แตกต่างกันหลายค่า ดังนั้นเส้นโค้งเดียวกันอาจถูกวาดซ้ำหลายครั้ง
วาด $r = 2\cos\theta$ ในช่วง $0 \le \theta \le \pi$
- ที่ $\theta = 0$: $r = 2$ (จุด $2$ หน่วยทางขวา)
- ที่ $\theta = \tfrac{\pi}{2}$: $r = 0$ (จุดกำเนิด)
- จุดเหล่านี้วาดวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง $2$ วางอยู่ทางขวาของจุดกำเนิด
ฟังก์ชันขั้ว $r = f(\theta)$ ให้รัศมีสำหรับแต่ละมุม การกวาด $\theta$ วาดวงกลม, กุหลาบ ($r = a\sin k\theta$), คาร์ดิโอઇด์ ($r = a(1+\sin\theta)$) และสไปรัล วาดจุดต่อจุดโดยใช้ พิกัดขั้ว และใช้ความสมมาตรเพื่อเร่งความเร็วในการวาด