พิกัดเชิงขั้ว
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | พิกัดขั้ว |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | เรเดียน |
| polar grid/ˈpəʊlə ɡrɪd/ | ตารางพิกัดขั้ว |
A different way to say "where"
- โดยทั่วไปเราระบุตำแหน่งจุดด้วย "ไปทางขวา $x$, ไปขึ้นบน $y$" — พิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า
- แต่หน้าจอเรดาร์หรือเข็มทิศคิด differently: "ไกลแค่ไหน และไปทางไหน?"
- นั่นคือวิธีแบบขั้ว: ระยะทางและมุม
- สำหรับสิ่งanything ที่หมุนหรือแผ่รังสี พิกัดแบบขั้วเป็นธรรมชาติมากกว่ามาก
A point as (r, θ)
- Polar coordinates name a point by $(r, \theta)$.
- $r$ คือระยะทางจากจุดกำเนิด (ขั้ว); $\theta$ คือมุมจากแกน x บวก
- มุมวัดในหน่วย เรเดียน (หรือองศา) ทวนเข็มนาฬิกา
- So $(2, \tfrac{\pi}{4})$ means "go out $2$ units at a $45°$ direction".
ใน พิกัดเชิงขั้ว $(r, \theta)$ จำนวนสองจำนวนนั้นให้…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
พิกัดเชิงขั้ว ใช้ $r$ (ระยะห่างจากจุดกำเนิด) และ $\theta$ (มุม) ต่างจาก $(x, y)$ ของพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า
The polar grid
- ตารางขั้ว คือชุดของวงกลมรวมศูนย์ (ค่า $r$ คงที่) และเส้นรัศมี (ค่า $\theta$ คงที่)
- การอ่านจุดทำได้ง่าย: หาวงกลมก่อน แล้วตามด้วยเส้นรัศมี
- จุดกำเนิดคือ $r = 0$ ซึ่งเป็นศูนย์กลางเดียวของวงกลมทั้งหมด
- ตารางนี้ใช้แทนกระดาษกราฟสี่เหลี่ยมที่คุ้นเคยของพิกัดฉาก
ระบุตำแหน่งจุดโดยอาศัยรัศมีและมุม
กำหนดค่ามุมและรัศมีเพื่อวางจุด พิกัดเชิงขั้ว (r, theta) อธิบายตำแหน่งด้วยทิศทางและระยะทาง
ในการแปลง $(r, \theta)$ เป็น $(x, y)$ สี่เหลี่ยมผืนผ้า ให้ใช้…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ความสัมพันธ์วงกลมหน่วยจะขยายขนาดตาม $r$: $x = r\cos\theta$ และ $y = r\sin\theta$
จุดหนึ่งมี $r = 2$ และ $\theta = 0$ ค่า $x$-พิกัดของจุดนี้คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$x = r\cos\theta = 2\cos 0 = 2 \cdot 1 = 2$; และ $y = 2\sin 0 = 0$
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับพิกัดขั้ว
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
รูปแบบพิกัดขั้ว ไม่ เป็นเอกลักษณ์ — $(r, \theta)$ หลายชื่อสามารถระบุจุดเดียวกันได้ ส่วนอีกสามข้อถูกต้องแล้ว
การแปลงระหว่างระบบ
- จากขั้วเป็นฉาก: $x = r\cos\theta$ และ $y = r\sin\theta$
- จากฉากเป็นขั้ว: $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ และ $\theta = \arctan\!\tfrac{y}{x}$ (ระวังเรื่องจตุภาค)
- สูตรเหล่านี้ได้มาโดยตรงจากนิยามบนวงกลมหน่วย โดยคูณด้วย $r$
- เปลี่ยนไปใช้ระบบใดก็ได้นะครับ ที่ทำให้การแก้ปัญหาง่ายกว่า
จุดเดียวกันสามารถมีชุดพิกัดเชิงขั้วได้มากกว่าหนึ่งชุด (เช่น การเพิ่ม $2\pi$ เข้าไปในมุม)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเพิ่มรอบเต็มให้กับ $\theta$ จะทำให้ตกอยู่ที่จุดเดิม ดังนั้นพิกัดเชิงขั้วจึงไม่มีความเป็นเอกลักษณ์
ไม่ใช่ที่อยู่เดียว
- ต่างจาก $(x, y)$ จุดในพิกัดขั้วมี ชื่อ ได้หลายชื่อ
- การบวก $2\pi$ เข้ากับ $\theta$ จะยังคงอยู่ ณ จุดเดิม
- ค่า $r$ ลบชี้ไปในทิศทางตรงกันข้าม ทำให้เกิดชื่ออีกแบบหนึ่ง
- ดังนั้น $(2, 0)$, $(2, 2\pi)$ และ $(-2, \pi)$ คือจุดเดียวกัน
พิกัดขั้ว ไม่ใช่ค่าเดียว: จุดหนึ่งมีชื่อ $(r, \theta)$ จำนวนนับไม่ถ้วน เมื่อแปลงหรือแก้โจทย์ ให้ระวังจตุภาคและจำไว้ว่าเพียง $\arctan$ เพียงอย่างเดียวอาจทำให้คุณไปอยู่ในครึ่งหนึ่งของระนาบที่ผิด
แปลงจุดขั้ว $(4, \tfrac{\pi}{2})$ เป็นพิกัดฉาก
- $x = r\cos\theta = 4\cos\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 0 = 0$.
- $y = r\sin\theta = 4\sin\tfrac{\pi}{2} = 4 \cdot 1 = 4$.
- ดังนั้นจุดนี้อยู่ที่ $(0, 4)$ — ตรงขึ้นตามแกน y
พิกัดขั้ว ตั้งตำแหน่งจุดโดยระบุ $(r, \theta)$: ระยะทาง $r$ จากจุดกำเนิดที่มุม $\theta$ ซึ่งวาดบน ตารางขั้ว แปลงด้วย $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ ชื่อในพิกัดขั้วไม่ใช่ค่าเดียว: การบวกรอบเต็มจะได้จุดเดิม