เซคานต์, คอสเซcant และโคแทเจนต์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| reciprocal/rɪˈsɪprəkl/ | ค่าผกผัน |
| secant/ˈsiːkənt/ | เซแคนต์ |
| cosecant/ˈkəʊsekənt/ | โคเซแคนต์ |
| cotangent/ˈkəʊtændʒənt/ | โคแทนเจนต์ |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประสมแนวตั้ง |
สามอีกตัวจากการพลิก
- ซายน์, โคไซน์, และทังเจนต์ มีสามคู่หูที่ถูกสร้างขึ้นโดยการพลิกมันผ่านแกน
- ฟังก์ชันใหม่แต่ละตัวคือ $1$ หารด้วยฟังก์ชันดั้งเดิมตัวหนึ่ง
- พวกมันปรากฏเมื่ออัตราส่วนเขียน "คว่ำ" ง่ายกว่า
- กราฟของพวกมันสืบทอดเส้นประมาตจากจุดที่ฟังก์ชันต้นทางตัดศูนย์
The three reciprocals
- Secant is the reciprocal of cosine: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$.
- Cosecant is the reciprocal of sine: $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$.
- Cotangent is the reciprocal of tangent: $\cot x = \dfrac{1}{\tan x} = \dfrac{\cos x}{\sin x}$.
- เทคนิคจำง่ายๆ: "co-" และฟังก์ชันฐานจะไม่จับคู่กัน (เซคันต์จับคู่กับโคไซน์)
คลื่นโคไซนัสwhose reciprocal คือเซคานต์
y = cos x
เซคานต์คือ 1 หารด้วยโคไซนัส ที่จุดใดก็ตามที่คลื่นโคไซนัสนี้ตัดแกน X (เป็นศูนย์) เซคานต์จะพุ่งขึ้นไปสู่เส้นประ
ฟังก์ชัน เซคานต์ นิยามว่า…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เซคานต์ เป็น ผลกลับ ของโคไซนัส: $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$
คู่จับคู่ใดถูกต้อง?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คอสเซcant คือ $1/\sin$ และ โคแทเจนต์ คือ $1/\tan = \cos/\sin$ — ซึ่งเป็นผลกลับของไซน์และแทนเจนต์
เลือก ทั้งหมด ที่เป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
secant มีค่า $1/\cos$ ไม่ใช่ $\sin$ ส่วนอีกสามข้อเป็นนิยามของฟังก์ชันผกผันที่ถูกต้อง
Where they blow up
- ค่า reciprocal จะไม่กำหนดค่าเมื่อค่าเริ่มต้นเป็นศูนย์ — เราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
- So secant has a vertical asymptote wherever $\cos x = 0$.
- Cosecant blows up wherever $\sin x = 0$; cotangent wherever $\sin x = 0$ too.
- Between the asymptotes, each curve swoops up toward $\pm\infty$.
เซคานต์จะมีเส้นประแนวตั้งทุกครั้งที่ $\cos x = 0$ เนื่องจากเราไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เนื่องจาก $\sec x = 1/\cos x$ ค่าของโคไซนัสที่เป็นศูนย์จะทำให้เซคานต์หาไม่ได้ — ซึ่งเรียกว่า เส้นประแนวตั้ง
ค่าของฟังก์ชันเซกนต์ (Secant) ไม่เคยอยู่ในช่วง STRICTLY ระหว่าง $-1$ และ $1$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เนื่องจาก $|\cos x| \le 1$, ค่าผกผัน $|\sec x| \ge 1$ — secant จะมีขนาดอย่างน้อย $1$ เสมอ
Their shape
- Because $|\cos x| \le 1$, its reciprocal secant satisfies $|\sec x| \ge 1$.
- ดังนั้น เซคันต์จึงไม่เคยเข้าสู่แถบระหว่าง $-1$ และ $1$ — มันอาศัยอยู่ภายนอกแถบนั้น
- แต่ละรูป "U" ของเซคันต์ตั้งอยู่เหนือยอดโคไซน์หรือใต้ก้นห่าของโคไซน์
- คอสีแคนท์มีรูปร่างคล้ายกัน แต่เลื่อนตำแหน่งเพื่อจับคู่กับไซนแทนที่จะเป็นโคไซน์
Why they are useful
- บางสูตรดูสะอาดตาขึ้นเมื่อใช้เซคันต์หรือโคแทเจนแทนการใช้เศษส่วนของไซนและโคไซน์
- สมการพีทาโกรัสมีรูปแบบทั้งเซคันต์และคอสีแคนต์เช่นกัน
- ในแคลคูลัส ความอนุพันธ์ของแทนเจนต์คือ $\sec^2 x$ — ค่า reciprocal ปรากฏขึ้นตามธรรมชาติ
- การรู้ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหกชนิดช่วยให้คุณเลือกอันที่ง่ายที่สุดสำหรับการแก้ปัญหา
不要混淆倒数$\sec x = \tfrac{1}{\cos x}$与逆函数$\cos^{-1} x = \arccos x$。尽管名称相似，一个是“一除以余弦”，另一个是“具有该余弦的角度”——完全不同的函数。
Evaluate $\sec\tfrac{\pi}{3}$ and explain why $\csc 0$ is undefined.
- $\cos\tfrac{\pi}{3} = \tfrac12$ ดังนั้น $\sec\tfrac{\pi}{3} = \tfrac{1}{1/2} = 2$
- $\csc 0 = \tfrac{1}{\sin 0} = \tfrac{1}{0}$, ซึ่งนิยามไม่ได้
- So $x = 0$ is a vertical asymptote of cosecant.
正割、余割和余切分别是余弦、正弦和正切的倒数。每当其基础函数为零时，每个都有垂直渐近线，并且正割/余割的输出从不严格落在$-1$和$1$之间。