สมการอสมการตรีโกณมิติ
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| period/ˈpɪərɪəd/ | คาบ |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| sine/saɪn/ | ไซน์ |
คลื่นจะชนเป้าหมายเมื่อไหร่?
- "ช่วงเวลาใดน้ำขึ้นลงอยู่ที่ระดับ $3$ เมตรพอดี?" กลายเป็นสมการตรีโกณมิติ
- เนื่องจากคลื่นซ้ำซ้อน คำตอบไม่ใช่เวลาเดียวแต่เป็นจังหวะของเวลาทั้งชุด
- การแก้สมการหมายถึงการหามุม ทุก จุดที่ฟังก์ชันมีค่าเท่ากับค่าเป้าหมาย
- วงกลมหน่วยและคาบร่วมกันมอบคำตอบทั้งหมดให้
หาคำตอบแรก
- ในการแก้ $\sin x = 0.5$, หามุมหนึ่งที่มีค่าด้วย ฟังก์ชันผกผัน: $\arcsin(0.5) = \tfrac{\pi}{6}$
- นั่นจะให้คำตอบเริ่มต้นแบบ "สตาร์ทเตอร์" เพียงค่าเดียวภายในช่วงค่าที่ถูกจำกัด
- สำหรับโคไซน์หรือทังเจนต์, ใช้ $\arccos$ หรือ $\arctan$ ในลักษณะเดียวกัน
- มุมแรกนี้เป็นเมล็ดพันธุ์ที่คำตอบอื่นๆ ทั้งหมดจะงอกงามจาก
เพื่อหาคำตอบแรกของ $\sin x = 0.5$ คุณใช้…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันผกผัน ให้มุมเดียว: $\arcsin(0.5) = 30°$ ($\tfrac{\pi}{6}$). จากนั้นใช้สมมาตรสำหรับส่วนที่เหลือ
จากนั้นหาทั้งหมด
- คลื่น ซายน์ ตัดกับเส้นแนวนอนเป้าหมายทุกรอบ cycle, ตลอดกาล
- ดังนั้นสมการตรีโกณมิติมักจะมีคำตอบ นับไม่ถ้วน
- ใช้สมมาตรของกราฟเพื่อหาคำตอบที่สองในช่วงคาบเดียว
- แล้วบวกจำนวนเต็มคูณกับ คาบ เพื่อสร้างคำตอบที่เหลืออันไร้ที่สิ้นสุด
ทุกจุดตัดคือคำตอบ
y = sin x
คลื่นไซน์ตัดกับเส้นเป้าหมายแนวนอนซ้ำแล้วซ้ำเล่า ดังนั้นสมการตรีโกณมิติจึงมีคำตอบนับไม่ถ้วน
เหนือจำนวนจริงทั้งหมด, $\sin x = 0.5$ มี…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
คลื่นตัดกับเส้น $y = 0.5$ ทุกครั้งในแต่ละรอบช่อตลอดไป — มีคำตอบไม่จำกัดจำนวน
เพื่อระบุคำตอบทั้งหมด ให้บวกด้วยจำนวนเต็มเท่าใดก็ได้ของ ____ เข้ากับคำตอบแรก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เนื่องจากฟังก์ชันไซน์ซ้ำกัน การบวกด้วยผลคูณใดๆ ของ รอบช่อ (period) ของมัน ($2\pi$) จะให้คำตอบอื่น
เลือก ทุก ข้อความที่ถูกต้องเกี่ยวกับสมการตรีโกณมิติ
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ค่าของไซน์ถูกจำกัดอยู่ที่ $1$ ทำให้ $\sin x = 5$ ไม่มีคำตอบ ส่วนอีกสามข้อนั้นถูกต้อง
อสมการ
- อสมการตรีโกณมิติเช่น $\sin x > 0.5$ ต้องการหา ช่วง ที่คลื่นอยู่เหนือเส้น
- แก้สมการที่สอดคล้องกันก่อนเพื่อหามุมที่เป็นขอบเขต
- แล้วอ่านช่วงโค้งของคลื่น哪些 satisfying the inequality.
- คำตอบคือชุดของช่วงที่ซ้ำกัน, อย่างละช่วงต่อหนึ่งคาบ
สมการ $\sin x = 2$ ไม่มีคำตอบ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ค่าของไซน์ไม่เกิน $1$ เสมอ ดังนั้น $\sin x = 2$ จึงไม่สามารถเกิดขึ้นได้ — ไม่มีคำตอบ
เมื่อไม่มีคำตอบ
- ซายน์และโคไซน์ไม่เคยพ้นจาก $[-1, 1]$, ดังนั้น $\sin x = 2$ จึงไม่มี คำตอบ เลย
- ตรวจสอบเสมอว่าค่าเป้าหมายเข้าถึงได้ก่อนแก้สมการ
- ส่วนเป้าหมายของทังเจนต์ นั้นเข้าถึงได้เสมอ เนื่องจากทังเจนต์มีช่วงค่าที่ไม่จำกัด
- ความรู้เกี่ยวกับช่วงค่าของแต่ละฟังก์ชันช่วยคุณจากการไล่ตามคำตอบที่เป็นไปไม่ได้
อย่ารายงานเพียงคำตอบเดียวของเครื่องคิดเลข $\arcsin(0.5)$ ให้ค่า $\tfrac{\pi}{6}$, แต่ $\sin x = 0.5$ ก็เป็นจริงที่ $\tfrac{5\pi}{6}$ และที่ทุก $+2\pi$ beyond both. สมการตรีโกณมิติเกือบ invariably มีคำตอบมากกว่าที่ฟังก์ชันผกผันเผยให้เห็น
แก้ $\cos x = 0$ สำหรับทุก $x$
- คำตอบหนึ่ง: $\arccos(0) = \tfrac{\pi}{2}$
- โคไซน์ยังมีค่า $0$ ที่ $\tfrac{3\pi}{2}$ — นั่นคือ $\tfrac{\pi}{2} + \pi$
- ดังนั้นคำตอบที่สมบูรณ์คือ $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ สำหรับจำนวนเต็มทุก $k$
ในการแก้สมการตรีโกณมิติ, ใช้ ฟังก์ชันผกผัน เพื่อหามุมแรก, จากนั้นใช้สมมาตรของกราฟและ คาบ เพื่อรายการคำตอบทั้งหมด — มักจะเป็น นับไม่ถ้วน. ตรวจสอบว่าค่าเป้าหมายอยู่ในช่วงค่าของฟังก์ชันก่อน (ซายน์ และ โคไซน์ ไม่สามารถเกิน $1$). อสมการให้ช่วงที่ซ้ำกัน