ฟังก์ตรีโกณมิติผกผัน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sine/saɪn/ | ไซน์ |
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | หนึ่งต่อหนึ่ง |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
จากอัตราส่วนกลับสู่มุม
- ซายน์แปลงมุมให้เป็นอัตราส่วน; บางครั้งเราจำเป็นต้องดำเนินการย้อนกลับนั้น
- "มุมใดมีค่าซายน์เท่ากับ $0.5$?" เป็นคำถามที่ตอบได้เฉพาะด้วยฟังก์ชันผกผันเท่านั้น
- ทางลาด จานรับสัญญาณดาวเทียม และการนำทาง ล้วนต้องการมุมที่คำนวณจากอัตราส่วนที่วัดได้
- ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทำหน้าที่นี้ด้วยการย้อนกลับอย่างสมบูรณ์
สิ่ง mà ฟังก์ชันผกผันทำ
- ค่า ผกผัน ของซายน์ เขียนว่า $\arcsin$ หรือ $\sin^{-1}$, รับค่าเข้ามาแล้วคืนค่าเป็นมุม
- $\arcsin(0.5) = 30°$, เพราะ $\sin 30° = 0.5$
- เช่นเดียวกัน $\arccos$ และ $\arctan$ จะย้อนกลับค่าโคไซน์และทังเจนต์
- แต่ละตัวจะยกเลิกการกระทำของฟังก์ชันตรีโกณมิติเดิมของตน เพื่อคืนค่ามุมที่ทำให้เกิดค่าเหล่านั้น
ฟังก์ชันผกผัน $\arcsin$ (หรือ $\sin^{-1}$) รับค่าและคืน…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันผกผัน ของไซน์กลับทิศทาง: $\arcsin(0.5)$ คือมุม whose sine คือ $0.5$, นั่นคือ $30°$
ทำไมต้องกำหนดขอบเขต
- ซายน์ไม่มีความเป็น หนึ่งต่อหนึ่ง: มุมนับไม่ถ้วนมีค่าซายน์เท่ากัน
- หากเราย้อนกลับทั้งหมด "ฟังก์ชันผกผัน" จะให้คำตอบหลายค่าพร้อมกัน — ซึ่งไม่เป็นฟังก์ชัน
- ดังนั้นเราจึง กำหนดขอบเขต ช่วงค่าเข้าไว้ที่ชิ้นส่วนที่เพิ่มขึ้นเพียงชิ้นเดียว, ตั้งแต่ $-\tfrac{\pi}{2}$ ถึง $\tfrac{\pi}{2}$
- ในช่วง ค่าเข้า ที่ถูกจำกัดนี้, ค่าผลลัพธ์แต่ละค่ามาจากมุมเพียงมุมเดียวเท่านั้น
จากอัตราส่วนกลับไปยังมุม
ฟังก์ตรีโกณมิติผกผันตอบคำถามย้อนกลับ — เมื่อรู้ค่าไซน์หรือโคไซน์ มุมใดผลิตค่านี้ขึ้นมา?
ทำไมไซน์ต้องถูก จำกัด(Narrowed) ก่อนที่จะมีฟังก์ชันผกผันได้?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หลายมุมมีค่าไซน์เดียวกัน ดังนั้นไซน์จึงไม่ใช่ one-to-one. การจำกัดโดเมนช่วยกำหนด output เดียวต่อ input เดียว
$\arcsin(1)$ คืออะไร (ในเรเดียน)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
$\sin\tfrac{\pi}{2} = 1$, ดังนั้น $\arcsin(1) = \tfrac{\pi}{2}$ — มุมในช่วงที่ถูกจำกัด
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับฟังก์ตรีโกณมิติผกผัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันผกผันคืนเพียง หนึ่ง มุม (ในช่วงที่ถูกจำกัด) ไม่ใช่ทั้งหมด ตัวอีกสามข้อถูกต้องแล้ว
กราฟของฟังก์ชันผกผัน
- เนื่องจาก它们是 inverse, กราฟจะสะท้อนกราฟตรีโกณมิติที่ถูกจำกัดแล้วผ่าน $y = x$
- $\arcsin$ มีช่วงค่าเข้าคือ $[-1, 1]$ (ค่า ซายน์ ที่ถูกต้องทั้งหมด) และช่วงค่าออกคือ $[-\tfrac{\pi}{2}, \tfrac{\pi}{2}]$
- $\arccos$ มีช่วงค่าเข้าเหมือนกันแต่มีช่วงค่าออกคือ $[0, \pi]$
- ค่าเข้าของพวกมันคืออัตราส่วน; ค่าออกคือมุม
กราฟของฟังก์ตรีโกณมิติผกผันคือกราฟตรีโกณมิติที่ถูกจำกัด สะท้อนข้าม $y = x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เหมือนฟังก์ชันผกผันใดๆ การสลับ input และ output สะท้อนกราฟข้ามเส้น $y = x$
การอ่านค่า
- ในการหา $\arccos(0)$, ถามว่า "มุมใดในช่วง $[0,\pi]$ ที่มีค่าโคไซน์เท่ากับ $0$?" — คำตอบคือ $\tfrac{\pi}{2}$
- ฟังก์ชันผกผันคืนค่า มุมเดียว ภายในช่วงค่าที่ถูกจำกัด ซึ่งเรียกว่าค่าหลัก
- มุมอื่นๆ อาจใช้ได้ด้วยเช่นกัน แต่ฟังก์ชันผกผันจะรายงานเพียงค่าเดียว
- เพิ่มรอบเต็มหรือใช้สมมาตรหากต้องการหาคำตอบที่เหลือ
ฟังก์ชันผกผันให้เพียง มุมหลัก เท่านั้น ไม่ใช่ทุกคำตอบ $\arcsin(0.5) = 30°$, แต่ $150°$ ก็มีค่าซายน์เท่ากับ $0.5$ ด้วย เมื่อแก้สมการ คุณต้องหามุม ทั้งหมด เอง — ฟังก์ชันผกผันมอบให้คุณเพียงค่าเดียวเท่านั้น
ทางลาดยกสูง $3$ เมตร บนความยาวของทางลาด $6$ เมตร มุมที่เกิดจากทางลาดนี้มีขนาดเท่าไหร่?
- ค่าซายน์ของมุมนี้คือ $\tfrac{\text{rise}}{\text{slope}} = \tfrac{3}{6} = 0.5$
- ดังนั้นมุมนี้มีขนาด $\arcsin(0.5) = 30°$
- ฟังก์ชันผกผันได้แปลงอัตราส่วนที่วัดกลับมาเป็นมุมที่เราต้องการอีกครั้ง
ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ผกผัน คืนค่ามุมจากอัตราส่วน: $\arcsin$, $\arccos$, $\arctan$. เนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติไม่มีความเป็น หนึ่งต่อหนึ่ง, เราจึงต้องกำหนด ช่วงค่าเข้า ก่อน กราฟของฟังก์ชันผกผันจะสะท้อนกราฟ ซายน์/โคไซน์/ทังเจนต์ ที่ถูกจำกัดแล้วผ่าน $y = x$, และรายงานเพียงมุมหลักเท่านั้น