ค่าฟังก์ชันไซน์และคอสائن
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sine/saɪn/ | ไซน์ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | โคไซน์ |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | วงกลมหน่วย |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | เรเดียน |
| period/ˈpɪərɪəd/ | คาบ |
ค่าที่อ่านได้จากวงกลม
- ทุกมุมมีค่า sine และ cosine — แต่ตัวเลขเหล่านี้มาจากไหน?
- มันก็คือพิกัดบนวงกลมหน่วย อ่านได้โดยตรงเลย
- มุม "พิเศษ" จำนวนเล็กน้อยให้ค่าที่ชัดเจนและจดจำง่าย
- เรียนรู้ค่าเหล่านั้น แล้วสมมาตรของวงกลมจะมอบค่าที่เหลือให้คุณโดยอัตโนมัติ
ค่าของมุมพิเศษ
- ที่ $\theta = 0$: จุดคือ $(1, 0)$, ดังนั้น $\cos 0 = 1$ และ $\sin 0 = 0$.
- ที่ $\theta = \tfrac{\pi}{2}$ ($90°$): จุดคือ $(0, 1)$, ดังนั้น $\cos = 0$, $\sin = 1$.
- มุม $30°, 45°, 60°$ ให้ค่าที่คุ้นเคยพร้อมกับ $\tfrac12$, $\tfrac{\sqrt2}{2}$, $\tfrac{\sqrt3}{2}$.
- การอ่านค่า sine หรือ cosine ก็เหมือนกับการอ่านค่าพิกัดเท่านั้น
อ่านค่าไซน์และคอสائنที่มุมใดๆ
ขยับมุมและดูว่าค่าไซน์ (ความสูง) และคอสائن (แนวนอน) เปลี่ยนแปลงและซ้ำ
ค่าของ $\sin 0$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่มุม $0$, จุดบนวงกลมหน่วยอยู่ที่ $(1, 0)$, ดังนั้นพิกัด y $\sin 0 = 0$
ค่าของ $\cos 0$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่มุม $0$, จุดอยู่ที่ $(1, 0)$, ดังนั้นพิกัด x $\cos 0 = 1$
สัญญาณตามจตุภาค
- ในจตุภาคขวาบน ทั้งสองพิกัดเป็นบวก ดังนั้น sine และ cosine จึงเป็นบวก
- เมื่อข้ามเข้าไปยังจตุภาคอื่น ๆ หนึ่งหรือทั้งสองค่าจะกลายเป็นลบ
- "All, Sine, Tangent, Cosine" (ASTC) บันทึกว่าค่าใดเป็นบวก ในแต่ละจตุภาค
- วงกลมหน่วย ทำให้เห็นสัญญาณของทุกค่าได้อย่างชัดเจน — เพียงแค่ดูที่พิกัด
เอาต์พุตของ $\sin\theta$ อยู่ระหว่าง…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บนวงกลมหน่วย พิกัด y ไม่เคยออกจาก $[-1, 1]$, ดังนั้น $-1 \le \sin\theta \le 1$
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้องเกี่ยวกับค่าไซน์และคอสائن
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ไซน์ไม่เคยถึง $2$ — มันถูกจำกัดไว้ที่ $1$ สามข้อที่เหลือถูกต้อง
ซ้ำทุกการหมุนเต็มรอบ
- หลังจากการหมุนครบหนึ่งรอบ จุดจะตกลงที่ตำแหน่งเดิมพอดี
- ดังนั้นค่าจะซ้ำกันทุก $2\pi$ เรเดียน (หรือ $360°$).
- การซ้ำอย่างสม่ำเสมอนี้คือ คาบ (period) ของ sine และ cosine
- การเพิ่มเลขคูณใด ๆ ของ $2\pi$ เข้าไปในมุม จะไม่เปลี่ยนค่า sine และ cosine ของมุนั้น
ค่าไซน์และคอสائنซ้ำทุก ____ เรเดียน (หนึ่งรอบเต็ม)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หลังจากหมุนครบ $2\pi$ (หรือ $360°$), จุดจะกลับไปที่จุดเริ่มต้น, ดังนั้นค่าจะซ้ำ
ขอบเขตของผลลัพธ์
- เนื่องจากวงกลมมีรัศมี $1$ ไม่มีพิกัดใดจะเกิน $1$ หรือต่ำกว่า $-1$
- ดังนั้นทั้ง sine และ cosine จึงต้องสอดคล้องกับ $-1 \le \text{value} \le 1$ เสมอ
- ค่าสูงสุด, $1$, และค่าต่ำสุด, $-1$, เกิดขึ้นที่ด้านบน/ด้านล่าง หรือซ้าย/ขวาของวงกลม
- ขอบเขตนี้คือเหตุผลที่ว่าคลื่นไซน์อยอยด์มีความสูงคงที่
Sine และ cosine ไม่สามารถเป็น $2$ หรือ $-5$ ได้ ผลลัพธ์ของพวกมันถูกล็อกไว้ใน $[-1, 1]$ โดยวงกลมหน่วย. หากการคำนวณให้ค่า $\sin\theta = 1.4$ คุณอาจทำผิด.msg somewhere.
หา $\sin\tfrac{\pi}{2}$, $\cos\pi$, และ $\sin 3\pi$.
- $\sin\tfrac{\pi}{2}$: จุดสูงสุดของวงกลม $(0,1)$, ดังนั้น $\sin = 1$.
- $\cos\pi$: จุดทางซ้าย $(-1, 0)$, ดังนั้น $\cos = -1$.
- $\sin 3\pi = \sin(\pi + 2\pi) = \sin\pi = 0$ — การเพิ่ม $2\pi$ เพิ่มไม่เปลี่ยนแปลงอะไร
Sine และ cosine มีค่าเป็นพิกัดบน วงกลมหน่วย. มุมพิเศษให้ค่าที่ชัดเจน, และจตุภาคกำหนดสัญญาณ. ค่าจะซ้ำทุก $2\pi$ เรเดียน (คาบ), และทั้งสองค่าต้องอยู่ภายใน $[-1, 1]$ เสมอ