ไซน์ คอสائن และแทนเจนต์
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| sine/saɪn/ | ไซน์ |
| cosine/ˈkəʊsaɪn/ | โคไซน์ |
| tangent/ˈtændʒənt/ | แทนเจนต์ |
| unit circle/ˈjuːnɪt ˈsɜːkl/ | วงกลมหน่วย |
| radians/ˈreɪdɪənz/ | เรเดียน |
สามอัตราส่วนที่เปิดประตูวงกลม
- เมื่อสมัยโบราณ นักสำรวจและนักดาราศาสตร์ต้องการเชื่อมโยงมุมกับความยาว
- คำตอบคือสามอัตราส่วนภายในสามเหลี่ยมมุมฉาก: Sine, Cosine, และ Tangent
- พวกเขาเปลี่ยนมุมให้เป็นตัวเลข และเปลี่ยนตัวเลขกลับเป็นมุม
- ฟังก์ชันทั้งสามนี้คือประตูสู่ทุกอย่างที่เป็น periodic
อัตราส่วนสามเหลี่ยมมุมฉาก
- สำหรับมุมแหลมในสามเหลี่ยมมุมฉาก ชื่อด้านตรงข้าม ด้านประชิด และด้านตรงข้ามมุมฉาก
- Sine: $\sin\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$
- Cosine: $\cos\theta = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$
- Tangent: $\tan\theta = \dfrac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$. จำ SOH-CAH-TOA ได้เลย
ในสามเหลี่ยมมุมฉาก, $\sin\theta$ เท่ากับ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
SOH: ไซน์ คือด้านตรงข้ามหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก CAH: คอสائنคือด้านประชิดหารด้วยด้านตรงข้ามมุมฉาก TOA: แทนเจนต์คือด้านตรงข้ามหารด้วยด้านประชิด
วงกลมหน่วย
- วาดวงกลมที่มีรัศมี $1$ เซนติเมตร โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด — นี่คือ วงกลมหน่วย (unit circle).
- จุดหนึ่งบนวงกลมที่มุม $\theta$ จะมีพิกัดที่แน่นอนคือ $(\cos\theta, \sin\theta)$.
- ดังนั้น cosine คือค่า x และ sine คือค่า y.
- สิ่งนี้ทำให้มุมที่มีค่านิรณัย beyond $90°$ ก็ยังมีค่า sine และ cosine ได้ — ตลอดทั้งรอบวง.
หมุนจุดหนึ่งรอบวงกลมหน่วย
พิกัด x ของจุดคือคอสائنของมุม และพิกัด y คือไซน์
บน วงกลมหน่วย, จุดที่มุม $\theta$ มีพิกัด…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
บนวงกลมที่มีรัศมี 1, จุดนั้นอยู่ที่ $(\cos\theta, \sin\theta)$ — คอสائنคือพิกัด x, ไซน์คือพิกัด y
เลือก ทุก ข้อที่ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
หนึ่งวงกลมเต็มคือ $360°$ (หรือ $2\pi$ เรเดียน), ไม่ใช่ $100°$ สามข้อที่เหลือถูกต้อง
เรเดียนและแทนเจนต์
- มุมสามารถวัดได้เป็นองศาหรือในหน่วย เรเดียน โดยที่วงกลมเต็มรอบจะมีค่า $2\pi$.
- เรเดียนวัดความยาวของส่วนโค้งที่กวาดไปบนวงกลมหน่วย ดังนั้น $180° = \pi$.
- แทนเจนต์เชื่อมโยงอีกสองฟังก์ชันเข้าด้วยกัน: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.
- บนวงกลมหน่วย แทนเจนต์คือความชันของเส้นตรงจากจุดกำเนิดไปยังจุดนั้น
แทนเจนต์เท่ากับไซน์หารด้วย ____ (ดังนั้น $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
แทนเจนต์ คือไซน์หารด้วยคอสائن: $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
มุมสามารถวัดได้ใน เรเดียน (radians), حيث một vòng trònเต็มคือ $2\pi$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หนึ่งรอบเต็มคือ $360°$ หรือ, ใน เรเดียน, $2\pi$ เรเดียนวัดความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหน่วย
รอบและรอบอีกครั้ง
- เมื่อจุดเคลื่อนที่ครบหนึ่งรอบวงกลม sine และ cosine จะวนซ้ำผ่านค่าทั้งหมดของมัน
- หลังการหมุนครบหนึ่งรอบ Everything will repeat — นั่นคือเหตุผลที่ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันแบบเป็นคาบ (periodic).
- Cosine เริ่มที่ $1$ (มุม $0$); Sine เริ่มที่ $0$.
- วงกลมหน่วยคือภาพเดียวที่อยู่เบื้องหลังทุกค่าตรีโกณมิติ
ติดตามหน่วยของมุมของคุณ. $\sin(90)$ มีค่าใกล้เคียงกับ $1$ หาก $90$ หมายถึง องศา แต่จะเป็นค่าที่แตกต่างกันมากหาก $90$ หมายถึง เรเดียน. ต้องทราบเสมอว่าโจทย์อยู่ในหน่วยองศาหรือเรเดียนก่อนทำการคำนวณ
หา $\sin\theta$ และ $\cos\theta$ สำหรับมุมที่จุดบนวงกลมหน่วยคือ $(0.6, 0.8)$.
- ค่า x คือ cosine: $\cos\theta = 0.6$.
- ค่า y คือ sine: $\sin\theta = 0.8$.
- ตรวจสอบ: $0.6^2 + 0.8^2 = 0.36 + 0.64 = 1$, ตามที่วงกลมหน่วยกำหนดไว้
Sine, cosine, และ tangent เป็นอัตราส่วนในสามเหลี่ยมมุมฉาก (SOH-CAH-TOA). บน วงกลมหน่วย จุดที่มุม $\theta$ คือ $(\cos\theta, \sin\theta)$ ซึ่งขยายขอบเขตฟังก์ชันเหล่านี้ให้ใช้ได้กับทุกมุม. มุมวัดเป็นองศาหรือ เรเดียน ($2\pi$ ต่อรอบ), และ $\tan\theta = \tfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$.