ฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| logarithmic function/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันลอการิทึม |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
| vertical asymptote/ˈvɜːtɪkl ˈæsɪmptəʊt/ | เส้นประสมแนวตั้ง |
คู่สะท้อนของ exponential
- ฟังก์ชัน exponential ทุกตัวมีคู่ที่รันย้อนกลับ
- ที่ $2^x$ เปลี่ยนเลขชี้กำลังให้เป็นค่า คู่สะท้อนจะเปลี่ยนค่ากลับเป็นเลขชี้กำลัง
- คู่สะท้อนนี้คือ logarithm — และในทางเรขาคณิตเป็นการสะท้อนที่สมบูรณ์แบบ
- การเข้าใจคู่นี้ร่วมกันจะทำให้ทั้งสองง่ายกว่ามาก
Log เป็น inverse ของ exponential
- Logarithmic function $\log_b x$ เป็น inverse ของ exponential $b^x$
- พวกมันใช้ base เดียวกันและ undo งานของกันและกัน
- $b^x$ นำเลขชี้กำลังไปเป็นค่า; $\log_b x$ นำค่ากลับเป็นเลขชี้กำลัง
- ดังนั้น log และ exponential คือมุมมองสองด้านของความสัมพันธ์เดียว
ฟังก์ชันลอการิทึม $\log_b x$ คือ ____ ของ ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล $b^x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทั้งสอง undo กัน ดังนั้นฟังก์ชันลอการิทึมจึงเป็น ฟังก์ชันผกผัน ของเอ็กซ์โพเนนเชียลที่มีฐานเดียวกัน
การสะท้อนข้าม y = x
- เนื่องจาก它们是 inverses, กราฟของพวกมันคือการสะท้อนข้ามเส้น $y = x$
- Exponential ที่พุ่งสูงขึ้นกลายเป็น logarithm ที่ขึ้นช้าลง และในทางกลับกัน
- ทุกจุด $(a, b)$ บน $b^x$ สอดคล้องกับ $(b, a)$ บน $\log_b x$
- เมื่อเห็นกราฟหนึ่ง คุณสามารถวาดอีกกราฟหนึ่งได้โดยการพลิกข้าม $y = x$
กราฟเอ็กซ์โพเนนเชียล whose mirror คือลอการิทึม
y = 2ˣ
จินตนาการถึงการสะท้อนกราฟ y = 2˙x นี้ตามเส้น y = x ภาพสะท้อนคือกราฟของ y = log₂ x
Domain, Range และ Asymptote ที่สลับกัน
- Inverses สลับ domain และ range Range ของ exponential $y > 0$ กลายเป็น domain $x > 0$ ของ log
- Horizontal asymptote $y = 0$ ของ exponential กลายเป็น vertical asymptote $x = 0$ ของ log
- Range ของ log คือจำนวนจริงทั้งหมด — สามารถเป็นเลขชี้กำลังใดก็ได้
- ดังนั้นฟังก์ชัน log มีอยู่เฉพาะสำหรับ input ที่เป็นบวก ลอดชิดแกน y ทางซ้าย
เอ็กซ์โพเนนเชียลมี asymptote แนวนอน; ฟังก์ชันผกผันของมัน ลอการิทึม จะมี ____ asymptote แทน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสะท้อนตาม $y=x$ เปลี่ยน asymptote แนวนอน $y=0$ ให้เป็น asymptote แนวตั้ง $x=0$
โดเมนของ $\log_b x$ คือ $x > 0$, ซึ่งเป็นเร้นจ์ของเอ็กซ์โพเนนเชียล
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันผกผันสลับโดเมนและเร้นจ์: เร้นจ์ของเอ็กซ์โพเนนเชียล ($y>0$) กลายเป็น โดเมน ของลอการิทึม ($x>0$)
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับเอ็กซ์โพเนนเชียลและฟังก์ชันผกผันของมัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
它们是反函数，不是同一个函数。另外三个正确描述了这个关系。
Undo กันเอง
- การ compose ฟังก์ชันกับ inverse ของมันจะ cancel: $\log_b(b^x) = x$ และ $b^{\log_b x} = x$
- ดังนั้น $\log_2(2^7) = 7$ และ $10^{\log_{10} 5} = 5$
- การ cancel นี้คือวิธีที่ log แก้สมการที่มีตัวแปรอยู่ในเลขชี้กำลัง
- ใช้อันตรภาค logarithm ทั้งสองด้าน และเลขชี้กำลังจะลดลงมาอยู่ในตำแหน่งที่เข้าถึงได้ง่าย
ค่าของ $\log_2\!\left(2^5\right)$ คืออะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลอการิทึม undo เอ็กซ์โพเนนเชียล: $\log_2(2^5) = 5$. ฟังก์ชันผกผันหักล้างกันเอง
ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลรับค่าเข้าจริง ทุก ค่า แต่ให้ผลลัพธ์เป็นบวกเท่านั้น; ส่วน logarithm เป็นภาพสะท้อน — รับเฉพาะค่าเข้าที่เป็นบวก แต่ให้ผลลัพธ์เป็น ทุก ค่าจริง อย่าใส่ศูนย์หรือค่าลบเข้าไปใน logarithm และอย่าคาดหวังว่าเอกซ์โพเนนเชียลจะให้ผลลัพธ์เป็นศูนย์หรือค่าลบเด็ดขาด
ใช้ความสัมพันธ์ผกผันเพื่อแก้ $10^x = 1000$
- นำ $\log_{10}$ ของทั้งสองด้าน: $\log_{10}(10^x) = \log_{10} 1000$
- ด้านซ้ายตัดกันเหลือ $x$; ด้านขวาได้ $3$ (เนื่องจาก $10^3 = 1000$)
- ดังนั้น $x = 3$ — ลอการิทึมได้ยกเลิกการเอ็กซ์โพเนนเชียล
ฟังก์ชัน logarithmic เป็น ผกผัน ของเอกซ์โพเนนเชียลที่มีฐานเดียวกัน: กราฟของทั้งสองสะท้อนกันผ่าน $y = x$. โดเมนและเรঞ্জสลับที่กัน ดังนั้น log จึงมี โดเมน $x > 0$ และมี เส้นประแนวตั้ง ที่ $x = 0$. พวกมัน undo กันเอง ซึ่งเป็นวิธีที่ logs ใช้แก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล