ลอการิทึม (Logarithms)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | เลขยกกำลัง |
| logarithm/ˈlɒɡərɪθəm/ | ลอการิทึม |
| base/beɪs/ | ฐาน |
| natural log/ˈnætʃərəl lɒɡ/ | ลอการิทึมธรรมชาติ |
| common log/ˈkɒmən lɒɡ/ | ลอการิทึมฐานสิบ |
คำถามแบบย้อนกลับ
- Exponential ตอบคำถามว่า "เริ่มที่ 1 และคูณด้วย 2 ห้าครั้ง — ได้อะไร?" ($2^5 = 32$)
- Logarithm ตอบคำถามย้อนกลับ: "ต้องคูณด้วย 2 กี่ครั้งจึงจะได้ 32?" ($5$)
- คำถามย้อนกลับนี้ปรากฏทุกที่: pH, สึนามิ, เดซิเบล, ดอกเบี้ยทบต้น
- Logarithm ก็คือเลขชี้กำลังที่ถูกดึงออกมา
Logarithm คือเลขชี้กำลัง
- Logarithm ตอบคำถามว่า: ต้องยก base ขึ้นเป็นกำลังเท่าไหร่จึงจะได้ค่าที่ต้องการ?
- $\log_b y = x$ แปลว่า $b^x = y$ พอดี — log คือ เลขชี้กำลัง $x$
- ดังนั้น $\log_2 8 = 3$ เพราะ $2^3 = 8$
- การอ่าน log ว่า "เลขชี้กำลังที่ทำงานได้" จะทำให้มันน้อยลงมาก
อ่านค่าลอการิทึมจากกราฟเอ็กซ์โพเนนเชียล
y = 2ˣ
หาค่า y = 8 บนกราฟ y = 2ˣ x ที่สร้างค่านี้ได้คือเลขชี้กำลัง — นั่นคือ log base 2 ของ 8
ประโยค $\log_b y = x$ มีความหมายเหมือนกับ…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลอการิทึม คือเลขชี้กำลัง: $\log_b y = x$ ถามว่า "$b$ ยกกำลังเท่าไหร่ถึงจะได้ $y$?" ดังนั้น $b^x = y$
หาค่า $\log_2 8$
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
$2^3 = 8$, ดังนั้นเลขชี้กำลังคือ $3$: $\log_2 8 = 3$
Common และ natural logs
- มี base สองชนิดที่นิยมมากจนมีชื่อย่อ
- Common log $\log$ (ไม่แสดง base) มี base เป็น $10$
- Natural log $\ln$ มี base เป็น $e \approx 2.718$
- เครื่องคิดเลขมีปุ่มทั้งสอง; base อื่นใช้สูตรเปลี่ยนฐาน
ลอการิทึมธรรมชาติ (natural log) $\ln$ ใช้ฐานใด?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลอการิทึมธรรมชาติ มีฐาน $e$; ลอการิทึมทั่วไป (common log) ($\log$ ที่ไม่มีฐานเขียนไว้) มีฐาน $10$
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับลอการิทึม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเป็นบวก ดังนั้นคุณไม่สามารถนำลอการิทึมของจำนวนลบได้ ส่วนอีกสามข้อถูกต้องแล้ว
การแปลงระหว่างรูปแบบ
- ทุกประโยค exponential都有一个对应的对数表达。
- $b^x = y \iff \log_b y = x$ — ข้อเท็จจริงเดียวกันเขียนสองวิธี
- Rewrite $10^3 = 1000$ as $\log_{10} 1000 = 3$
- การสลับรูปแบบคือเทคนิคสำคัญในการแก้สมการที่มีเลขชี้กำลังที่ไม่ทราบค่า
Argument ต้องเป็นบวก
- คุณสามารถทำ log ของเฉพาะ จำนวนบวก เท่านั้น
- Base บวกยกกำลังเท่าไรก็ยังคงเป็นบวก ดังนั้น $b^x$ ไม่เคยเข้าถึง $0$ หรือค่าลบ
- ดังนั้น $\log_b y$ จึงไม่กำหนดสำหรับ $y \le 0$
- ข้อจำกัดนี้กำหนด domain ของฟังก์ชัน logarithm ทุกตัว
อาร์กิวเมนต์ (อินพุต) ของลอการิทึมต้องเป็น ____, เพราะฐานบวกยกกำลังเท่าไรก็ยังคงเป็นบวก
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เนื่องจาก $b^x > 0$ เสมอ ไม่มีเลขชี้กำลังใดที่จะผลิต 0 หรือค่าลบได้ — ดังนั้น $\log_b y$ จึงต้องการ $y > 0$
$\log_b y$ คือ exponent, ไม่ใช่ผลคูณ $\log_2 8$ คือ $3$ (power), ไม่ใช่ $2 \times 8$ และคุณสามารถทำ log ของ $0$ หรือจำนวนลบไม่ได้ — argument ต้องเป็นบวกเท่านั้น
แก้ $2^x = 16$ โดยใช้ logarithm
- Rewrite in log form: $x = \log_2 16$
- ถามว่า "$2$ ยกกำลัง是多少才能得到 $16$?" — เนื่องจาก $2^4 = 16$, คำตอบคือ $4$
- ดังนั้น $x = 4$: logarithm ดึงเลขชี้กำลังออกมาให้เราแล้ว
Logarithm คือ exponent: $\log_b y = x$ แปลว่า $b^x = y$ Common log ใช้ base $10$ และ natural log ใช้ base $e$ ทุก exponential statement เปลี่ยนเป็น log statement และ argument ของ log ต้องเป็นบวกเสมอ