ฟังก์ชันผกผัน (Inverse Functions)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| inverse/ɪnˈvɜːs/ | ฟังก์ชันผกผัน |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
| one-to-one/wʌn tuː wʌn/ | หนึ่งต่อหนึ่ง |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | การสะท้อน |
การยกเลิกการทำงานของฟังก์ชัน
- ทุกฟังก์ชันมีการกระทำต่ออินพุตSomething; ฟังก์ชัน역 undo การกระทำนั้น
- เพิ่ม 3 และฟังก์ชันผกผันจะลบออก 3. คูณด้วยสอง ฟังก์ชันผกผันจะหารด้วยสอง
- ฟังก์ชันผกผันทำงานย้อนกลับเครื่องจักร เปลี่ยนผลลัพธ์ให้เป็นอินพุต
- การ "ยกเลิก" นี้คือวิธีที่เราแก้สมการที่สร้างจากฟังก์ชัน
ฟังก์ชันผกผันทำอะไรได้บ้าง
- ฟังก์ชันผกผัน ของ $f$, เขียนว่า $f^{-1}$, จะกลับด้านทุกคู่ของอินพุต-เอาต์พุต
- 如果$f$发送$2 \to 5$，则$f^{-1}$发送$5 \to 2$。
- ดังนั้นโดเมนของ $f$ จะกลายเป็นเร้นจ์ของ $f^{-1}$ และในทางกลับกัน
- 组合它们会抵消一切：$f^{-1}(f(x)) = x$。
ฟังก์ชันผกผัน ของฟังก์ชัน…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หาก $f$ ส่ง $2 \to 5$, แล้ว $f^{-1}$ ส่ง $5 \to 2$: ฟังก์ชันผกผัน undo สิ่งที่ฟังก์ชันทำไว้
ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
- ฟังก์ชันผกผันจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็น ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง
- ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหมายความว่าแต่ละเอาต์พุตมาจากอินพุตเพียงตัวเดียว
- ถ้ามีอินพุตสองตัว共用同一个เอาต์พุต การย้อนกลับจะเป็นไปไม่ได้ — ไม่มีฟังก์ชันผกผันเดียว
- การทดสอบเส้นแนวนอนตรวจสอบสิ่งนี้: ไม่มีเส้นแนวนอนใดตัดกราฟได้มากกว่าหนึ่งจุด
สะท้อนเส้นตรงตามแกน y = x เพื่อดูฟังก์ชันผกผัน
y = ax + b
เส้นตรงนี้คือ f(x) = 2x + 1 ฟังก์ชันผกผันจะสลับ x และ y ทำให้เกิดภาพสะท้อนตามเส้น y = x
ฟังก์ชันจะมีฟังก์ชันผกผันก็ต่อเมื่อเป็น ____ (แต่ละเอาต์พุตมาจากอินพุตเพียงตัวเดียว)
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
หากอินพุตสองตัวมีเอาต์พุตร่วมกัน การ映射ย้อนกลับจะ ambiguous — ดังนั้นจึงมีเพียงฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one) เท่านั้นที่ผกผันได้
การหากฎของฟังก์ชันผกผัน
- เขียน $y = f(x)$ แล้ว สลับ $x$ และ $y$
- ตอนนี้แก้สมการใหม่เพื่อหา $y$ — นิพจน์นั้นคือ $f^{-1}(x)$
- สำหรับ $f(x) = 2x + 1$: สลับไปเป็น $x = 2y + 1$, แก้ → $y = \dfrac{x-1}{2}$
- การสลับจะเปลี่ยนบทบาทของอินพุตและเอาต์พุต ซึ่งเป็นแก่นแท้ของแนวคิดนี้
ในการหากฎของ $f^{-1}$ คุณต้อง…
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสลับ $x$ และ $y$ ย้อนกลับบทบาทของอินพุตและเอาต์พุต; การแก้สมหาหาค่า $y$ ให้กฎของฟังก์ชันผกผัน
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับฟังก์ชันผกผัน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ไม่ใช่ทุกฟังก์ชันที่ผกผันได้ — ต้องเป็น one-to-one ก่อน ส่วนอีกสามข้อถูกต้องแล้ว
การสะท้อนข้าม y = x
- การสลับ $(a,b)$ เป็น $(b,a)$ จะสะท้อนทุกจุดข้ามเส้น $y = x$
- ดังนั้นกราฟของ $f^{-1}$ คือ การสะท้อน ของกราฟของ $f$ ในเส้นนั้น
- ทุกครั้งที่ $f$ ตัดแกน y, $f^{-1}$ จะตัดแกน x และ sebagainya
- คุณสามารถตรวจสอบฟังก์ชัน역ได้โดยการตรวจสอบ $f(f^{-1}(x)) = x$
กราฟของ $f^{-1}$ คือ ภาพสะท้อน ของกราฟของ $f$ ตามเส้น $y = x$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การสลับทุก $(a,b)$ เป็น $(b,a)$ สะท้อนกราฟทั้งหมดตาม $y = x$
สัญลักษณ์ $f^{-1}$ หมายถึง ฟังก์ชัน역, ไม่ใช่ผลกลับ $\dfrac{1}{f}$ แม้จะมี "$-1$" แต่ $f^{-1}(x)$ ไม่เคยเป็น $\dfrac{1}{f(x)}$ — มันคือฟังก์ชันที่ undo $f$
หาฟังก์ชัน역ของ $f(x) = 3x - 6$
- เขียน $y = 3x - 6$ แล้วสลับ: $x = 3y - 6$
- แก้เพื่อหา $y$: $x + 6 = 3y$, ดังนั้น $y = \dfrac{x+6}{3}$
- ตรวจสอบ: $f^{-1}(f(2)) = f^{-1}(0) = 2$ — มัน undo $f$ ✓
ฟังก์ชัน inverse $f^{-1}$ จะย้อนกลับคู่ input-output แต่ละคู่ ทำให้ undo $f$ มันมีอยู่ก็ต่อเมื่อ $f$ เป็น one-to-one หาได้ด้วยการสลับ $x$ และ $y$ แล้วแก้; กราฟของมันคือ reflection ของ $f$ ข้ามเส้น $y = x$