ฟังก์ชันเชิงซ้อน (Composition of Functions)
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| composition/ˌkɒmpəˈzɪʃn/ | การประกอบ |
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | ฟังก์ชันที่ประกอบกัน |
| domain/dəˈmeɪn/ | โดเมน |
ฟังก์ชัน ในสายโซ่
- ใส่ตัวเลขเข้าไปในฟังก์ชันหนึ่ง แล้วนำคำตอบไปใส่ในฟังก์ชันถัดไป
- เครื่องจักรทั้งสองทำงานต่อเนื่องกัน: ผลลัพธ์ของเครื่องแรกกลายเป็นอินพุตของเครื่องที่สอง
- การต่อสายโซ่นี้เรียกว่า composition ซึ่งสร้างฟังก์ชันซับซ้อนจากฟังก์ชันพื้นฐาน
- นี่คือวิธีการทำงานจริงของการคำนวณ "แปลงก่อนแล้วค่อยปัดเศษ" หรือ "ลดราคาแล้วค่อยคิดภาษี"
ฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบ เขียนแทนด้วย $(f \circ g)(x) = f(g(x))$
- อ่านจากด้านในออกด้านนอก: ใช้ $g$ ก่อน แล้วจึงใช้ $f$ กับผลลัพธ์ที่ได้
- Composition ส่งผลลัพธ์ของ $g$ ไปยัง $f$ โดยตรงในฐานะอินพุต
- ดังนั้น $g$ คือฟังก์ชันภายในและ $f$ คือฟังก์ชันภายนอก
ส่งข้อมูลเข้าผ่านฟังก์ชันสองตัวติดต่อกัน
เดินผ่านกระบวนการ — ผลลัพธ์ของ g ถูกส่งตรงไปยัง f
ใน การเชิงซ้อน $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ ฟังก์ชันใดทำงาน ก่อน?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ทำงานจากด้านในออกนอก: $g$ ทำงานกับ $x$ ก่อน แล้ว $f$ ทำงานกับผลลัพธ์ $g(x)$
การคำนวณ composition
- ต้องคำนวณจากด้านในออกด้านนอกเสมอ
- เพื่อหา $f(g(2))$ ให้คำนวณ $g(2)$ ก่อน แล้วนำผลลัพธ์นั้นไปใช้กับ $f$
- เมื่อมี $g(x)=x+1$ และ $f(x)=x^2$: แทนค่าใน $g(2)=3$ จากนั้นทำ $f(3)=9$
- คุณสามารถรวม สูตร เข้าด้วยกันเพื่อสร้างกฎเดียวสำหรับทั้งลำดับได้
หาก $g(x) = x + 1$ และ $f(x) = x^2$, ค่าของ $f(g(2))$ คืออะไร?
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ด้านในก่อน: $g(2) = 3$ จากนั้นด้านนอก: $f(3) = 3^2 = 9$
ขอบเขตของฟังก์ชันประกอบ
- ฟังก์ชันประกอบจะนิยามได้ก็ต่อเมื่อลำดับการทำงานนั้นเป็นไปได้อย่างถูกต้องเท่านั้น
- ค่าของ $g(x)$ ต้องเป็นอินพุตที่ถูกต้องสำหรับ $f$ — คือต้องอยู่ใน ขอบเขต ของ $f$
- หาก $g$ สร้างผลลัพธ์ที่ $f$ รับไม่ได้ ค่า $x$ นั้นจะถูกตัดออก
- ดังนั้น ขอบเขตของฟังก์ชันประกอบอาจมีขนาดเล็กกว่า $g$ เพียงอย่างเดียว
เพื่อให้ $g(x)$ สามารถใช้งานภายใน $f$ ได้ ค่า $g(x)$ ต้องอยู่ใน ____ ของ $f$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ฟังก์ชันเชิงซ้อนถูกกำหนดไว้เฉพาะเมื่อ $g(x)$ เป็นอินพุตที่ถูกต้องสำหรับ $f$ — ภายใน โดเมน ของ $f$
เลือก ทุก ข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับการเชิงซ้อน
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ลำดับมัก จะ มีความสำคัญ — การเชิงซ้อนไม่ใช่แบบสลับได้ ส่วนอีกสามข้อถูกต้องแล้ว
顺序很重要
- การประกอบฟังก์ชันโดยทั่วไป ไม่เป็น การสลับที่: $f(g(x)) \neq g(f(x))$
- “先穿袜子再穿鞋”与“先穿鞋再穿袜”不同。
- เมื่อมี $f(x)=x^2$, $g(x)=x+1$: จะได้ $f(g(x))=(x+1)^2$ แต่ ✗ $g(f(x))=x^2+1$
- ต้องเคารพตำแหน่งว่าฟังก์ชันใดเป็นชั้นในและฟังก์ชันใดเป็นชั้นนอกเสมอ
การเชิงซ้อนเป็นแบบสลับที่ได้: $f(g(x))$ เสมอเท่ากับ $g(f(x))$
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
ลำดับมีความสำคัญ สำหรับ $f(x)=x^2$ และ $g(x)=x+1$: มี $f(g(x))=(x+1)^2$ แต่ไม่มี $g(f(x))=x^2+1$ — แตกต่างกัน
อย่าสับสนระหว่าง $f(g(x))$ กับ $f(x)\cdot g(x)$ การประกอบคือการใช้ฟังก์ชันหนึ่งใส่เข้าไปในอีกฟังก์ชันหนึ่ง ไม่ใช่การคูณ และมักจะไม่สลับที่ได้ ดังนั้นการเปลี่ยนลำดับมักจะทำให้คำตอบเปลี่ยนไปด้วย
กำหนดให้ $g(x) = \sqrt{x}$ และ $f(x) = x + 3$. จงหา $(f \circ g)(x)$ และขอบเขตของมัน
- ทำชั้นในก่อน: แทนค่าใน $g(x) = \sqrt{x}$ แล้วตามด้วยชั้นนอก: แทนค่าใน $f(\sqrt{x}) = \sqrt{x} + 3$
- รากที่สองต้องการ $x \ge 0$ ที่ไม่ติดลบ ดังนั้นขอบเขตจึงเป็น $x \ge 0$
- แม้ $f$ เพียงอย่างเดียวจะรับค่าจริงทุกจำนวนได้ แต่ $g$ ชั้นในจำกัดขอบเขตของฟังก์ชันประกอบไว้
ฟังก์ชันประกอบ $(f \circ g)(x) = f(g(x))$ เชื่อมโยงฟังก์ชันสองตัวเข้าด้วยกัน: $g$ ชั้นในทำงานก่อน แล้วตามด้วย $f$. คำนวณจากด้านในสู่ด้านนอก และจำไว้ว่า ขอบเขต ของมันจำเป็นต้องทำให้ $g(x)$ เป็นอินพุตที่ถูกต้องสำหรับ $f$. การประกอบ โดยทั่วไปไม่เป็นแบบสลับที่ — ลำดับมีความสำคัญ