C.4 · คลื่นนิ่งและการสั่นพ้อง

Full guide C.4 scope (Standing waves and resonance), first assessment 2025. Read directly from the Physics guide, pages 48–49. Prerequisites: C.1 (oscillation vocabulary) and C.3 (superposition).

นี่เป็นตัวอย่างการสอนดั้งเดิม ไม่ใช่ผลการวัดจริงหรือการสืบสวนของผู้เรียนที่ได้รับการประเมินแล้ว

Two identical waves travelling in opposite directions — usually a wave and its reflection — superpose into a standing wave: the pattern stays put while the medium oscillates inside it. Where the two always cancel there is a node (zero displacement); where they always reinforce there is an antinode (maximum amplitude). Two points between neighbouring nodes oscillate in phase; points on opposite sides of a node are in antiphase — unlike a travelling wave, the phase does not march along.

ปลายของระบบกำหนดความยาวคลื่นที่เหมาะสม การปลายสายที่ติดแน่น (หรือปลายปิดของท่อ) ต้องเป็น โหนด การเคลื่อนที่; ปลายสายที่อิสระ (หรือปลายเปิดของท่อ) ต้องเป็น แอนติโหนด ท่อถูกอธิบายด้วยพจน์การเคลื่อนที่เท่านั้น (ไม่จำเป็นต้องใช้โหนดแรงดัน และไม่มีการแก้ไขปลายท่อ)

โหมดความถี่ต่ำสุดคือ ฮาร์มอนิกที่ 1 (ไม่ใช้คำศัพท์ "พื้นฐาน" และ "โอเวอร์โทน" ในรายวิชานี้) การหาความยาวคลื่นและความถี่ของ $n$ ฮาร์มอนิกจากความยาวและความเร็วคลื่นเป็นทักษะที่ต้องฝึกฝน

ตัวอย่างคำนวณ (สาย) สายยาว 0.60 เมตร มียาวคลื่นที่ 240 m/s ฮาร์มอนิกที่ 1: $\lambda_1 = 2L = 1.2\ \mathrm{m}$, $f_1 = v/2L = 240/1.2 = 200\ \mathrm{Hz}$; ฮาร์มอนิกที่ 2 เพิ่มเป็นสองเท่าที่ 400 Hz, ฮาร์มอนิกที่ 3 ที่ 600 Hz

Worked check (closed–open pipe). A pipe closed at one end, open at the other, length 0.40 m, air at 340 m/s: $f_1 = v/4L = 340/1.6 = 213\ \mathrm{Hz}$; the next harmonic is the third, $f_3 = 3f_1 = 638\ \mathrm{Hz}$ — even harmonics cannot form.

ตัวอย่างคำนวณ (ท่อเปิด–เปิด) ท่อเดียวกันที่เปิดทั้งสองปลาย: $f_1 = v/2L = 340/0.80 = 425\ \mathrm{Hz}$, สูงกว่าฮาร์มอนิกที่ 1 ของท่อปิด–เปิดหนึ่ง oktave, และทุกฮาร์มอนิกสามารถเกิดขึ้นได้

ระบบยืดหยุ่นทุกชนิดมี ความถี่ธรรมชาติ — อัตราการสั่นเมื่อปล่อยให้อยู่ลำพัง เมื่อขับเคลื่อนด้วยแรงเป็นช่วง Responses ขึ้นอยู่กับ ความถี่ขับเคลื่อน: เมื่อความถี่ขับเคลื่อนเข้าใกล้ความถี่ธรรมชาติ Amplitude จะเพิ่มขึ้นอย่างฉับพลัน — การสั่นพ้อง พลังงานเข้ามาในอัตราที่ระบบดูดซับได้พอดี ดังนั้น Amplitude ที่การสั่นพ้องจึงจำกัดอยู่แค่ความเร็วในการสูญเสียพลังงาน

การลดทอน — การกำจัดพลังงานการสั่น — เปลี่ยนรูป Response: ลด Amplitude สูงสุด, เลื่อนยอดการสั่นพ้องลงเล็กน้อยต่ำกว่าความถี่ธรรมชาติ, และทำให้ยอดกว้างขึ้น

• การลดทอนเบา — ยอดสูงแหลม; Amplitude สั่นพ้องใหญ่ (แกว่งที่ถูกผลักเบาๆ ที่ความถี่ธรรมชาติ)
• การลดทอนวิกฤต — การสั่นหยุดลงในเวลาสั้นที่สุดโดยไม่ข้ามจุดสมดุล; ยอดการสั่นพ้องหายไปโดย practically (ระบบกันสะเทือนรถยนต์)
• การลดทอนหนัก — การกลับช้าและอ้วนอ้าน; ระบบตอบสนองน้อยมากที่ความถี่ขับเคลื่อนใดๆ (ประตูอัตโนมัติหนัก)

Resonance is wanted and engineered (musical instruments, radio tuning, MRI) and unwanted or destructive (the Tacoma Narrows bridge, machinery shaking itself apart, soldiers breaking step on a bridge) — the guide asks for both sides.

1. อธิบายการสร้าง Standing wave ว่าเกิดได้อย่างไร และทำไมโหนดจึงคงที่ในขณะที่ตัวกลางระหว่างมันเคลื่อนที่
2. จุดสองจุดบน Standing wave อยู่คนละข้างของโหนด แต่ละจุดห่างจากโหนด 0.15 เมตร จงบอก Phase difference ของพวกเขา
3. สายที่ติดแน่นทั้งสองปลายยาว 0.75 เมตร มียาวคลื่นที่ 150 m/s. คำนวณความถี่ฮาร์มอนิกที่ 1 และ 2
4. อธิบายว่าทำไมท่อเปิด-ปิดจึงสร้างฮาร์โมนิกเฉพาะเลขคี่เท่านั้น
5. ท่อมีความยาว 0.50 เมตร เปิดทั้งสองด้าน ความเร็วเสียงในอากาศคือ 340 m/s. จงหาความถี่ของฮาร์โมนิกที่หนึ่งและความยาวคลื่นของฮาร์โมนิกที่สอง
6. วาดหรืออธิบายลักษณะกราฟการสั่นพ้องของระบบที่มีการหน่วงต่ำเมื่อมีการเพิ่มการหน่วง
7. Give one useful and one destructive effect of resonance, with the physical reason each happens.

คำตอบ: 1 คลื่นสอง identical ที่เคลื่อนที่สวนกันจะซ้อนทับกัน; ที่จุดโหนด การกระจัดจะหักล้างกันเสมอ ทำให้ไม่มีการเคลื่อนที่ ในขณะที่ระหว่างโหนดจะเกิดการสั่นสะเทือนจากการซ้อนทับ; 2 ข้ามเฟส — 180° (π rad) ต่างกัน; 3 $f_1 = v/2L = 150/1.5 = 100\ \mathrm{Hz}$, $f_2 = 200\ \mathrm{Hz}$; 4 ปลายปิดต้องเป็นโหนดและปลายเปิดต้องเป็นแอนติโหนด ดังนั้นจึงมีเพียงจำนวนคี่ของ quarter-wavelength เท่านั้นที่เข้ากันได้ — ฮาร์โมนิกคู่ไม่สามารถสอดคล้องกับเงื่อนไขทั้งสองได้; 5 $f_1 = v/2L = 340/1.0 = 340\ \mathrm{Hz}$; $\lambda_2 = L = 0.50\ \mathrm{m}$; 6 จุดยอดจะลดลง กว้างขึ้น และเลื่อนลงเล็กน้อยต่ำกว่าความถี่ธรรมชาติ; 7 ประโยชน์ — วงจรวิทยุที่ปรับให้เข้าสู่สภาวะสั่นพ้องสามารถเลือกสถานีเดียวจากหลายสถานีได้เพราะมันตอบสนองเฉพาะใกล้กับความถี่ธรรมชาติ itself; ผลเสีย — การขับเคลื่อนที่ความถี่ธรรมชาติจะส่งพลังงานเข้ามาเร็วกว่าที่มันกระจายออกไป ทำให้แอมพลิจูดเพิ่มขึ้นจนโครงสร้างพังทลาย down.