IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP ตัวอย่างชุดข้อสอบ

5 · ค্যালคูลัส

International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · หัวข้อ 5

ดูสไลด์ ฝึกฝน
5.1

ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน

เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อ HL ที่เลือกสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด

เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง

The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.

5.2

ความอนุพันธ์และจุดคงที่

ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?

  • ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
  • บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส

วิธีทำ

  • สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
  • จุดวิกฤตสอดคล้องกับ dy/dx=0
  • ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท

กรณีฝึกทำ

$$\frac{d}{dx}(ax^n)=anx^{n-1},\qquad f^{\prime}(x)=0$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่

เส้นโค้ง y = x³ − 3x พร้อมจุดสูงสุดที่ (−1, 2) และจุดต่ำสุดที่ (1, −2)
y′ = 3x² − 3 = 0 ที่ x = ±1: จุดสูงสุด (−1, 2), จุดต่ำสุด (1, −2)

จุดที่เข้าใจผิด

  • อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอไป: y=x³ มีจุดวิกฤตที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป
  • จุดปลายสามารถสร้างค่าสุดขั้วบนโดเมนที่กำหนดได้เช่นกัน

ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด

การนำไปใช้

  • ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามตามที่ระดับกำหนด; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น
  • ในระดับสูง เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดพร้อมขอบเขตที่กำหนดให้ถูกต้อง

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

  • การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
  • ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

  • อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ จุดหนึ่ง หรือความชันของเส้นสัมผัส
  • สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
  • ระวัง: อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดนิ่งที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อเนื่อง

เขียนจากความอนุพันธ์ 8

  • สำหรับ y = x² ลบด้วย 10x, หาอนุพันธ์ที่ x = 9
  • หาค่าคงที่ อนุพันธ์เท่ากับ 0 ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดเปลี่ยนเสมอไป
สำรวจ

อนุพันธ์และจุดคงที่

สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

5.3

อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

มีการเปลี่ยนแปลงสะสมไปเท่าไหร่?

  • กราฟความเร็วบอกการเคลื่อนที่ ณ วินาทีหนึ่ง เราสามารถหาการกระจัดสะสมตลอดช่วงเวลาได้อย่างไร?
  • บทเรียนนี้ศึกษา ฟังก์ชันต้นแบบ (antiderivative): ซึ่งเป็นฟังก์ชัน whose derivative equals the given integrand.

วิธีทำ

  • สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
  • อินทิกรัล_examples คือการสะสมที่มีเครื่องหมาย
  • แยกช่วงเมื่อมีการเปลี่ยนเครื่องหมายเมื่อต้องการหาพื้นที่รวมหรือระยะทาง

กรณีฝึกทำ

$$\int ax^n\,dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\ne-1)$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ v(t)=3t²-3 ในช่วง 0≤t≤2, การกระจัด=[t³-3t]_0^2=2. เนื่องจาก v เปลี่ยนเครื่องหมายที่ t=1, ระยะทาง=-[t³-3t]_0^1+[t³-3t]_1^2=2+4=6. ค่าคงที่จะตัดกันก็ต่อเมื่อเป็นอินทิกรัลมีเครื่องหมายเท่านั้น

เส้นโค้ง y = x³ − 3x จาก 0 ถึง 2 โดยพื้นที่ใต้แกนถูกแรเงาสีแดง และมีพื้นที่บางเหนือแกนแรเงาสีเขียว
∫₀² (x³ − 3x) dx = −2.25 + 0.25 = −2: พื้นที่ใต้แกนนับเป็นลบ

จุดที่เข้าใจผิด

  • อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1
  • พื้นที่ที่มีเครื่องหมายอาจเป็นศูนย์ได้แม้ว่าพื้นที่ปิดทั้งหมดจะมีค่าบวก

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลจำกัดค่าจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่บวกทั้งหมดเสมอ แม้เมื่อกราฟตัดผ่านแกน พื้นที่ใต้แกนมีค่าเป็นลบ ดังนั้นอินทิกรัลจำกัดค่านั้นอาจมีค่าน้อยกว่าพื้นที่รวม หรือแม้กระทั่งเป็นศูนย์

การนำไปใช้

  • ระบุความหมายของอินทิกรัลและใส่หน่วยให้ถูกต้อง
  • อัตราที่วัดต่อวินาที จะอินทิเกรตเป็นปริมาณพื้นฐาน ไม่ใช่เป็นอัตรารายอื่น
  • หาอนุพันธ์ของผลอินทิเกรตเพื่อยืนยันคำตอบ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

  • การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
  • ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

  • ผลอินทิเกรต: ฟังก์ชันwhose อนุพันธ์เท่ากับตัวถูกอินทิเกรตที่กำหนดให้
  • สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C
  • ระวัง: อินทิกรัลของ 1/x คือ ln|x|+C ไม่ใช่กฎกำลังกับ n=-1

เขียนจากอินทิกรัล 9

  • หาอินทิกรัลของ 2x จาก 0 ถึง 3
  • สำหรับ v = t ลบด้วย 2, จาก t = 0 ถึง 4, หาการกระจัดและระยะทาง อินทิกรัลที่มีเครื่องหมายไม่ใช่ระยะทางรวม
สำรวจ

อินทิกรัล พื้นที่ และการสะสม

สำหรับ n≠-1, อินทิกรัลของ ax^n คือ ax^(n+1)/(n+1)+C

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

คำศัพท์ ฝึกฝน
English ไทย
derivative/dɪˈrɪvətɪv/ อนุพันธ์
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ ฟังก์ชันต้นฉบับ
chain rule/tʃeɪn ruːl/ กฎลูกโซ่
integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ การอินทิเกรตด้วยการแยกส่วน
5.4

การหาอนุพันธ์แบบลูกโซ่ ผลคูณ ส่วนผล และเชิงนัย

ค่าภายในก็เปลี่ยนไปด้วยหรือ?

  • กราฟต้นทุนเป็นกำลังของ expression ที่มีการเปลี่ยนแปลง การหาอนุพันธ์เฉพาะกำลังภายนอกอย่างเดียวจะพลาดอัตราการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรภายใน
  • บทเรียนนี้ศึกษา กฎลูกโซ่: กฎที่คูณด้วยอนุพันธ์ภายนอกด้วยอนุพันธ์ภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ

วิธีทำ

  • สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • สำหรับ uv, หาอนุพันธ์ได้เป็น u prime v+uv prime.
  • สำหรับ u/v, ใช้สูตร (u prime v-uv prime)/v², โดยที่ v≠0.

กรณีฝึกทำ

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.

เส้นโค้ง y = x² กับเส้นสัมผัส y = 4x − 4 ที่สัมผัสกันที่จุด (2, 4)
เส้นสัมผัสของ y = x² ที่ x = 2 มีความชัน 2x = 4: สมการคือ y = 4x − 4

จุดที่เข้าใจผิด

  • อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
  • ในการหาอนุพันธ์แบบนิพจน์ซ่อนตัว ทุกฟังก์ชันที่มี y จะต้องมี dy/dx เป็นปัจจัยร่วม
  • ตัวส่วนของอัตราส่วนจะถูกยกกำลังสอง

ไม่ถูกต้อง: ความอนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ได้เท่ากับผลคูณของความอนุพันธ์เสมอไป กฎการคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x ความอนุพันธ์คือ 2x ไม่ใช่ 1×1=1.

การนำไปใช้

  • เลือกรูปสมการที่เหมาะสมก่อนหาอนุพันธ์: การกระจายพหุนามสั้นๆ อาจง่ายกว่า
  • สำหรับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้อง, เขียนความสัมพันธ์ในสัญลักษณ์, หาอนุพันธ์เทียบกับเวลา, แล้วแทนค่าที่วัดได้

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

  • การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
  • ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

  • กฎลูกโซ่: กฏที่นำอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายนอกมาคูณกับอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายในสำหรับฟังก์ชันประกอบ
  • สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x).
  • ระวัง: อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์

เขียนจากความอนุพันธ์ของผลคูณ 11

  • สำหรับ y = (2x plus 1)(x plus 3), find the derivative at x = 1
  • อนุพันธ์ของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอนุพันธ์
สำรวจ

กฎลูกโซ่ กฎคูณ กฎหาร และการหาอนุพันธ์แบบล่องหน

สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x)

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

5.5

การแทนค่า การหาพหุนามย่อย และเศษส่วนย่อย

เราสามารถอินทิเกรตตัวประกอบทั้งสองแยกต่างหากได้หรือไม่?

  • ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
  • บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยการแทนที่: วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ

วิธีทำ

  • ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
  • ตามวิธีการแทนที่, อินทิกรัลของ u v prime = uv - อินทิกรัลของ u prime v
  • สำหรับฟังก์ชันเชิงตรรกยะ ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเป็นเศษส่วนย่อย

กรณีฝึกทำ

$$\int u v^{\prime}\,dx=uv-\int u^{\prime}v\,dx$$

ตัวอย่าง:

สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C

พื้นที่ใต้ y = x eˣ จาก 0 ถึง 1 ถูกทาสี shade
การอินทิเกรตด้วยการแทนส่วน: ∫₀¹ x eˣ dx = [x eˣ − eˣ]₀¹ = 1

จุดที่เข้าใจผิด

  • การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น
  • ในการแทนค่าแบบมีขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม

ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)

การนำไปใช้

  • ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์
  • สำหรับปริมาตรของการหมุนรอบแกน x ใช้ V=π integral y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

  • การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
  • ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

  • การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วน: วิธีอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ
  • ใช้การแทนที่เมื่อพบอนุพันธ์ภายในเป็นปัจจัยคูณ
  • ระวัง: การเลือก u และ v prime ที่เหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น

เขียนจากตัวคูณปริมาตร 18

  • เส้นตรง y = 3 หมุนรอบแกน x จาก 0 ถึง 2 หาปริมาตรหารด้วย pi
  • อินทิกรัลของผลคูณไม่ใช่ผลคูณของอินทิกรัล
สำรวจ

การแทนตัวแปร การหาอนุพันธ์แบบแยกส่วน และเศษส่วนย่อย

V/π = อินทิกรัลจาก 0 ถึง 3 ของ x² dx = 9

วิดเจทแสดงฟังก์ชันที่สร้างปริมาตร y²=x² สำหรับ y=x; เปรียบเทียบค่าที่แท้จริง 9 กับการตรวจสอบปริมาตร

5.6

สมการเชิงอนุพันธ์และการแก้ด้วยวิธีตัวเลข

ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?

  • อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
  • บทเรียนนี้ศึกษา initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ

วิธีทำ

  • สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
  • ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A
  • วิธีของออยเลอร์ใช้ y_next=y+h f(x,y) โดยเลือกขนาดขั้น h

กรณีฝึกทำ

$$\frac{dy}{dx}=ky,\qquad y=Ae^{kx}$$

ตัวอย่าง:

ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428

The solution curve y = 2e^(0.5x) rising from 2 at x = 0 to about 3.30 at x = 1
dy/dx = 0.5y โดยที่ y(0) = 2 จะได้ y = 2e^(0.5x); y(1) ≈ 3.30

จุดที่เข้าใจผิด

  • Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต
  • การหารด้วย y อาจทำให้พลาดคำตอบสมดุล y=0
  • ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ

ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า

การนำไปใช้

  • สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง รวมฟังก์ชันประกอบกับอินทิกรัลเฉพาะที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
  • นี่คือขอบเขตของ Further Pure; ตรวจสอบหน่วยที่ระบุชื่อ

ในหลักสูตรเรียนของคุณ

  • การวิเคราะห์และแนวทาง HL, หลักสูตรที่เริ่มประเมินเป็นครั้งแรกใน 2021
  • ใบข้อ 1 ห้ามใช้เครื่องคิดคำนวณ: รักษาเศษส่วน ราก และ π ไว้เป็นค่าที่แน่นอนและแสดงขั้นตอนแต่ละขั้น. ในใบข้อที่ใช้เครื่องคิดคำนวณ ก็ยังต้องเขียนนิพจน์ก่อนค่าตัวเลข

จุดสำคัญ:

  • Initial condition: ค่าที่กำหนดที่เลือกคำตอบเฉพาะจากกลุ่มคำตอบ
  • สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, ได้ y=Ae^(kx)
  • ระวัง: Initial condition กำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต; ไม่ใช่การทดแทนการอินทิเกรต

เขียนจากค่าเอลเลอร์ครั้งแรก 4.4

  • ใช้วิธี Euler พร้อมขั้นบันได 0.2 สำหรับสมการ y prime = 0.5 y โดยเริ่มที่ y = 4
  • หาค่าประมาณการสองค่าแรก การเปลี่ยนขนาดขั้นบันไดจะได้ค่าประมาณการที่แตกต่างกัน

เขียนจากค่าเอลเลอร์ครั้งที่สอง 4.84

  • ทำการคำนวณต่ออีกหนึ่งขั้นตอน
  • ทุกขั้นตอนคูณด้วย 1 + 0.5 × 0.2 = 1.1 ดังนั้นลำดับค่าจะเป็น 4, 4.4, 4.84.

เขียนจากค่าที่แท้จริง 4.886

  • แก้สมการ y prime = 0.5 y แบบตรงตัวและแทนค่าที่ x = 0.4
  • y = 4 e^0.5x ให้ผลลัพธ์ 4.886 — ค่าเอลเลอร์ 4.84 ต่ำกว่าจริงเพราะเส้นโค้งโค้งขึ้น
สำรวจ

สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข

สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx จะได้ y=Ae^(kx)

เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง

คำศัพท์ ฝึกฝน
English ไทย
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ เงื่อนไขเริ่มต้น

บทเรียนเชิงโต้ตอบสำหรับหัวข้อนี้

ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที

หัวข้อเพิ่มเติมใน International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL

เข้าสู่ระบบหรือสร้างบัญชี

IGCSE, A-Level & AP