International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Analysis and Approaches · HL · หัวข้อ 1
เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อ HL ที่เลือกสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด
เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง
The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.
ตัวอย่าง:
72=2^3×3^2 และ 90=2×3^2×5. HCF ของทั้งสองคือ 2×9=18. จัดทำ 18 ถุง โดยใส่ดินสอ 4 ด้าม และปากกา 5 ด้าม ในแต่ละถุง LCM คือ 2^3×3^2×5=360
ไม่ถูกต้อง: GCD ของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนจะมีค่ามากกว่าจำนวนใดจำนวนหนึ่งเสมอ GCD หารทั้งสองจำนวนได้ ดังนั้นจึงไม่มีวันมากกว่าจำนวนที่น้อยกว่า: GCD ของ 72 และ 90 คือ 18
จุดสำคัญ:
ตัวประกอบของจำนวนเฉพาะเปิดเผยโครงสร้างที่ร่วมกัน
รวมกำลังที่ร่วมกัน 2 และ 9 เพื่อแสดงเหตุผลว่า 18 กระเป๋าเหมือนกันทุกประการ
| English | ไทย |
|---|---|
| prime factor/praɪm ˈfæktə/ | ตัวประกอบเฉพาะ |
| index/ˈɪndeks/ | เลขชี้กำลัง |
| common ratio/ˈkɒmən ˈreɪʃɪəʊ/ | อัตราส่วนร่วม |
| multiplier/ˌmʌltɪˈplaɪə/ | ตัวคูณ |
| complex conjugate/ˈkɒmpleks ˈkɒndʒuːɡeɪt/ | จำนวนเชิงซ้อน-query conjugate |
| binomial coefficient/baɪˈnəʊmɪəl ˌkəʊɪˈfɪʃənt/ | สัมประสิทธิ์ทวินาม |
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | พหุนามเทย์เลอร์ |
ตัวอย่าง:
0.000072=7.2×10^(-5). นอกจากนี้ 16^(3/4)=(16^(1/4))^3=2^3=8. หักพจน์ √72=6√2, จากนั้นทำให้ตัวส่วนไม่มีราก $1/\sqrt{2}$=√2/2.
ไม่ถูกต้อง: สำหรับทุกค่า a ที่มากกว่าศูนย์, a^2+a^3 เท่ากับ a^5 กฎเลขชี้กำลังจะบวกกันก็ต่อเมื่อพจน์ถูกคูณกัน: 2²+2³=12, แต่ 2⁵=32
จุดสำคัญ:
สำหรับฐานที่เป็นบวกเดียวกัน การคูณจะบวกละดับและหารจะลบระดับ
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
สำหรับ a=5, d=3, n=8, u_8=5+7×3=26 และ S_8=8(10+21)/2=124. สำหรับ a=12, r=1/2, ผลรวมอนันต์=12/(1-1/2)=24. สำหรับ u_(n+1)=2u_n+1 โดยที่ u_1=1, พจน์ถัดไปคือ 3,7,15.
ไม่จริง: อนุกรมเรขาคณิตทุกชุดมีผลบวกอนันต์จำกัด ผลบวกอนันต์จะมีอยู่ก็ต่อเมื่อ −1<r<1; สำหรับ r=2 พจน์จะเพิ่มขึ้นโดยไม่จำกัด
จุดสำคัญ:
สำหรับอนุกรมเลขคณิต, u_n=a+(n-1)d และ S_n=n(2a+(n-1)d)/2
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
ให้ราคาเดิมคือ P โมเดลคือ ราคาสินค้าลด=0.8P ดังนั้น P=240/0.8=300. การเพิ่มขึ้น 20% ต่อมาทำให้ได้ 240×1.2=288 ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงทั้งสองจึงไม่หักล้างกัน
ไม่ถูกต้อง: การลดลง 20% ตามด้วยการเพิ่มขึ้น 20% ไม่คืนราคาเริ่มต้นให้ เพราะการเพิ่มขึ้น 20% นั้นคำนวณจากจำนวนที่น้อยลง: 100×0.8×1.2=96 ไม่ใช่ 100
จุดสำคัญ:
การเพิ่มขึ้น p% มีตัวคูณ 1+p/100; การลดลงมีตัวคูณ 1-p/100
อธิบายว่าทำไมการลด 20% ตามด้วยการเพิ่ม 20% จึงได้ผลลัพธ์เป็น 288 แทนที่จะได้ 300
ตัวอย่าง:
สำหรับ z=3+4i, |z|=5 และคู่สมมูลของ z=3-4i ค่าผกผันคือ (3-4i)/25 สำหรับ x²-6x+13=0 รากคือ 3±2i การคูณด้วยคู่สมมูลทำให้ตัวส่วนที่เป็นจำนวนจริง
ไม่ถูกต้อง: สำหรับ a+bi โมดูลัสของมันจะเท่ากับ a+b เสมอ โมดูลัสคือ √(a²+b²): สำหรับ 3+4i ค่าโมดูลัสคือ 5 ไม่ใช่ 7
จุดสำคัญ:
เขียน z=a+bi เมื่อ i²=-1
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
(1+2x)^5=1+10x+40x²+80x³+80x⁴+32x⁵. สำหรับ (1+x)^(-1), พจน์สามแรกคือ 1-x+x²; ที่ x=0.1 จะได้ค่าประมาณ 0.91 เมื่อเทียบกับค่าที่แท้จริง 1/1.1≈0.909091.
ไม่เป็นจริง: การกระจายทวินามทุกชนิดเป็นพหุนามที่มีจำนวนพจน์จำกัด รวมถึงกำลังที่ไม่ใช่จำนวนเต็มบวก สำหรับกำลังลบหรือเศษส่วน การกระจายจะเป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งมีผลใช้ได้เฉพาะเมื่อ |x|<1 เท่านั้น
จุดสำคัญ:
สำหรับจำนวนเต็มบวก n, (a+b)^n คือการขยายทวินามที่มีจำนวนพจน์จำกัด
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
สามพจน์แรกของการขยาย e^x คือ 1+x+x²/2. ที่ x=0.1 ค่าที่ได้คือ 1.105 ซึ่งใกล้เคียงกับ e^0.1≈1.105170. สำหรับผลบวกของ k² จาก k=1 ถึง 5, n(n+1)(2n+1)/6 ให้ค่า 5×6×11/6=55.
ไม่ถูกต้อง: พหุนามเทย์เลอร์จะตรงตามฟังก์ชันเดิมทุกจุดเสมอ พหุนามเทย์ลเลอร์เป็นเพียงการประมาณค่า โดยมักมีความแม่นยำเฉพาะบริเวณจุดศูนย์กลางเท่านั้น
จุดสำคัญ:
รอบๆ x=a, f(x)=f(a)+f prime(a)(x-a)+f double prime(a)(x-a)²/2!+
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
กำลังโหลดวิชา…