C.9 · ปัจจัยอินทิเกรตและสมการดิฟเฟอเรนเชียลไม่ Homogeneous

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: กฎผลคูณอันดับหนึ่ง,函数เลขชี้กำลัง และสมการลักษณะเฉพาะ

• แก้สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งโดยใช้ตัวคูณบูรณาการ
• สร้างส่วนเอกพันธุ์และส่วนเฉพาะของคำตอบสัมประสิทธิ์คงที่
• จัดการกับปรากฏการณ์เรโซแนนซ์และตรวจสอบผลลัพธ์ในสมการเดิม

ตัวประกอบอินทิเกรต (Integrating factor): ตัวคูณที่แปลงสมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งให้อยู่ในรูปอนุพันธ์ของผลคูณ

คำตอบเฉพาะ (Particular solution): คำตอบหนึ่งซึ่ง satisfying การบังคับแบบไม่เอกพันธุ์ที่กำหนดให้

สมการเชิงเส้นอันดับหนึ่งมีรูปแบบ y′+p(x)y=q(x) บนช่วงที่สัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง อาจไม่ใช่สมการแยกตัวแปรได้ ตั้งค่า μ(x)=exp(∫p(x)dx) เนื่องจาก μ′=pμ เมื่อคูณด้วย μ จะได้ (μy)′=μq ดังนั้น y=μ⁻¹(∫μq dx+C) เลือกพหุนามกลับหลังที่สะดวกสำหรับ p; ค่าคงที่ของการอินทิเกรตจะเพียงสเกล μ และตัดกันออกไปจากคำตอบ ใช้อารมณ์เริ่มต้นหลังจากอินทิเกรต และเว้นจุดสัมประสิทธิ์ที่มีปัญหาไว้ภายนอกช่วงที่เลือก

สำหรับ y′+2xy=x กับ y(0)=1, μ=e^(x²) จากนั้น (e^(x²)y)′=x e^(x²) ซึ่งอินทิกรัลได้เป็น e^(x²)/2+C ดังนั้น y=1/2+C e^(−x²) และเงื่อนไขเริ่มต้นทำให้ C=1/2 การแทนค่าโดยตรงตรวจสอบได้ว่า y′+2xy=x ตัวประกอบอินทิเกรตทำให้ด้านซ้ายมือเป็นอนุพันธ์ของผลคูณ ไม่ใช่ตัวคูณเพิ่มที่คงเหลือคูณกับด้านขวามือเดิมในคำตอบสุดท้าย

สำหรับ ay″+by′+cy=r(x) โดย a ไม่เป็นศูนย์ แก้สมการลักษณะเฉพาะ aλ²+bλ+c=0 เพื่อหาส่วนเอกพันธุ์ รากจริงที่แตกต่างกันให้เอ็กซ์โพเนนเชียลสองตัว; รากซ้ำ λ ให้ (C₁+C₂x)e^(λx); ราก α±iβ ให้ e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx) คำตอบสมบูรณ์คือ y_h+y_p การบังคับแบบพหุนามบ่งชี้ให้ลองคำตอบเฉพาะแบบพหุนาม; การบังคับแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลหรือไซน์/คอสائنบ่งชี้ให้ใช้ครอบครัวที่สอดคล้องกัน โดยมีสัมประสิทธิ์เพียงพอเพื่อรองรับการหาอนุพันธ์

หากคำตอบเฉพาะที่ลองซ้ำกับคำตอบเอกพันธุ์ จะไม่สามารถสร้างการบังคับได้: คูณด้วย x หนึ่งครั้งสำหรับรากเดียว, สองครั้งสำหรับรากซ้ำ สำหรับ y″−3y′+2y=e^x, Ke^x แบบธรรมดาจะถูกทำให้เป็นศูนย์ ลอง Kxe^x จะได้ −Ke^x ดังนั้น y_p=−xe^x เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าคงที่เอกพันธุ์ได้ก็ต่อเมื่อบวก y_p แล้ว แทนฟังก์ชันสุดท้ายลงในสมการเดิมเพื่อตรวจสอบเครื่องหมายและการบังคับ; การตรวจสอบด้วยค่าเริ่มต้นเพียงอย่างเดียวไม่สามารถยืนยันสมการต่าง ๆ ได้

สำหรับ y″−3y′+2y=4, รากของสมการลักษณะเฉพาะคือ 1 และ 2 การแก้ particular แบบคงที่ y_p=2 ทำให้ 2y_p=4, ดังนั้น y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2 สำหรับ y′+2xy=x และ y(0)=1, การแก้สมการอันดับหนึ่งแยกตัวแปรได้คือ y=(1+e^(−x²))/2 สิ่งเหล่านี้แสดงวิธีการที่ต่างกัน; ไม่มีสมการใดกลายเป็น homogeneous เพียงเพราะด้านซ้ายของสมการเป็นเชิงเส้น

เก็บการแก้ particular ไว้ การลองแก้ที่สั่นพ้องจำเป็นต้องมีปัจจัย x การพิสูจน์ด้วยตัวประกอบอินทิเกรตใช้ได้ในช่วงสัมประสิทธิ์ที่มีค่าถูกต้องและไม่ควรหารด้วย y หรือละเลยคำตอบที่เป็นศูนย์อย่างเงียบๆ

แก้ $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$ โดยใช้ตัวประกอบอินทิเกรต ตรวจสอบคำตอบโดยตรง

วิธีทำตัวอย่าง

สัมประสิทธิ์เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องทุกที่ ตัวประกอบอินทิเกรตคือ $\mu=e^{2x}$ การคูณจะได้ $(e^{2x}y)'=e^{3x}$ การอินทิเกรตจะได้ $y=e^x/3+Ce^{-2x}$ เงื่อนไขเริ่มต้นทำให้ C=2/3, ดังนั้น $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$ การหาอนุพันธ์จะได้ $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; บวก 2y จะได้ $e^x$, และ y(0)=1

แก้ $y''-2y'+y=e^x$ พร้อม $y(0)=0,y'(0)=0$ อธิบายว่าทำไมทั้ง $Ke^x$ และ $Kxe^x$ จึงไม่ใช่คำตอบเฉพาะที่เพียงพอ

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

รากเอกพันธุ์คือ 1 ด้วย multiplicity สอง, ดังนั้น $y_h=(C_1+C_2x)e^x$ คำลองทั้งสองถูกเสนอมาอยู่แล้วว่าอยู่ในพื้นที่เอกพันธุ์นี้และถูกทำให้เป็นศูนย์ วาง $y=e^xv$; แล้ว $y''-2y'+y=e^xv''$ ดังนั้น $v''=1$ และ $v=x^2/2+C_2x+C_1$ เงื่อนไขเริ่มต้นสองข้อทำให้ $C_1=C_2=0$, ดังนั้น $y=x^2e^x/2$ การแทนค่านี้ยังตรวจสอบการบังคับโดยไม่พึ่งพาแค่ค่าเริ่มต้น