T.10 · เรขาคณิตของเวกเตอร์ การฉายภาพ และพื้นที่ที่มีทิศทาง

เตรียมสอบ GRE ระดับปริญญาตรี วัตถุประสงค์ภายในขอบเขต ETS ที่ทบทวนนี้คือการสอนต้นฉบับ ไม่ใช่การทดสอบหรือตัวทำนายคะแนนอย่างเป็นทางการ

ความรู้พื้นฐาน: เวกเตอร์พิกัด, ผลคูณจุด/ผลคูณไขว้ และ.norms

• ใช้ผลคูณจุดเพื่อจำแนงมุมและคำนวณการฉายภาพ
• คำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมและทิศทางโดยใช้ผลคูณไขว้
• สร้างหรือปฏิเสธการกำหนดค่าเครื่องหมายผลคูณจุดแบบระนาบ

orthogonal: มีผลคูณจุดเป็นศูนย์ในปริภูมิผลคูณภายในจริง

cross product: เวกเตอร์ตั้งฉากที่มีทิศทางในสามมิติ whose magnitude ถูกสร้างด้วยพื้นที่สี่เหลี่ยมขนาน

สำหรับเวกเตอร์จริง u,v ที่ไม่เท่ากับศูนย์, u·v=|u||v| cos θ. ผลคูณจุดที่เป็นบวก เป็นศูนย์ หรือลบ สอดคล้องกับมุมเล็กที่เป็นมุมแหลม มุมฉาก หรือมุมทื่อ ตามลำดับ การฉายภาพสเกลาร์ของ v ตาม u คือ (v·u)/|u|; การฉายภาพเวกเตอร์คือ ((v·u)/(u·u))u. ส่วนต่างจากการฉายภาพนี้ตั้งฉากกับ u. อย่าสับสนระหว่างเวกเตอร์ที่ฉายภาพกับองค์ประกอบสเกลาร์ที่มีเครื่องหมายของมัน เวกเตอร์ศูนย์ตั้งฉากกับทุกเวกเตอร์แต่ไม่มีทิศทางมุมที่กำหนด

สำหรับเวกเตอร์สามมิติ, u×v ตั้งฉากกับทั้งสองและมีขนาด |u||v| sin θ. การคำนวณพิกัดใช้ (u₂v₃−u₃v₂, u₃v₁−u₁v₃, u₁v₂−u₂v₁). ขนาดนี้คือพื้นที่สี่เหลี่ยมขนาน ดังนั้นสามเหลี่ยมที่เกิดจากเวกเตอร์ขอบสองตัวจะมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของค่านี้ การกลับลำดับ将它们จะเปลี่ยนเครื่องหมายผลคูณไขว้แต่รักษาพื้นที่ไว้ สร้างเวกเตอร์ขอบทั้งสองจากจุดยอดเดียวกัน; การไขว้เวกเตอร์ตำแหน่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันทั่วไปจะวัดพื้นที่สามเหลี่ยมผิด

ระนาบผ่านจุด p ที่มี normal n ไม่เป็นศูนย์ มีสมการ n·(x−p)=0. ระยะห่างจาก q ไปยังระนาบคือ |n·(q−p)|/|n|; ตัวส่วนทำให้สเกลของสมการเป็นมาตรฐาน ผลคูณสามสเกลาร์ u·(v×w) ให้ปริมาตรสี่เหลี่ยมหน้าจั่วที่มีเครื่องหมาย; ค่าสัมบูรณ์คือปริมาตรเรขาคณิต ผลคูณสามเป็นศูนย์หมายถึงความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์ขอบทั้งสาม ไม่ใช่จำเป็นต้องว่าแต่ละคู่ตั้งฉากหรือขนานกัน

สำหรับเวกเตอร์สี่ตัวบนระนาบ, มีผลคูณจุดแบบไม่มีลำดับหกชนิด การกำหนดค่า e₁,−e₁,e₂,−e₂ มีผลคูณลบสองชนิดและศูนย์สี่ชนิด; e₁,e₁,e₂,e₂ มีผลคูณบวกสองชนิดและศูนย์สี่ชนิด. สี่เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ไม่สามารถมีผลคูณคู่ทั้งหมดเป็นลบได้ เรียงทิศทางของพวกมันรอบวงกลม: ช่องว่างมุมติดต่อกันแต่ละช่องจะต้องมากกว่า 90°, ทำให้ผลรวมของช่องว่างสี่ช่องเกิน 360°. เวกเตอร์ศูนย์ไม่สามารถช่วยRequirement แบบลบเข้มได้ เพราะผลคูณจุดของมันหายไป

ด้วย p=(0,0,0), q=(2,0,0), r=(0,3,0), ขอบคือ u=(2,0,0), v=(0,3,0). ผลคูณเวกเตอร์ของพวกเขาคือ (0,0,6), ซึ่งให้พื้นที่สามเหลี่ยม 3. สำหรับ w=(3,4) และ u=(1,0), การฉายภาพเวกเตอร์คือ (3,0) และส่วนที่เหลือที่ตั้งฉากคือ (0,4). ระนาบ 2x−y+2z=6 มีความยาวของเวกเตอร์ปกติ 3, ดังนั้นระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ 6/3=2.

ขนาดของผลคูณเวกเตอร์คือพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนาน ดังนั้นหารสองเพื่อหาพื้นที่สามเหลี่ยม. ผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์เป็นการบอกความเป็น orthogonal แบบพีชคณิต แม้สำหรับเวกเตอร์ศูนย์ก็ตาม. ระยะห่างจากระนาบต้องหารด้วยความยาวของเวกเตอร์ปกติ

ฉาย $v=(2,3,6)$ ลงบน $u=(1,0,2)$. หาพื้นที่สามเหลี่ยมที่มีจุดยอด O, u และ v. ตรวจสอบว่า residual ของการฉายภาพตั้งฉากกับ u

วิธีทำตัวอย่าง

$v\cdot u=14$ และ $u\cdot u=5$, ดังนั้นการฉายภาพเวกเตอร์คือ $(14/5)u=(14/5,0,28/5)$.残余คือ $(-4/5,3,2/5)$, ซึ่งมีผลคูณจุดกับ u เป็นศูนย์. ผลคูณไขว้คือ $u\times v=(-6,-2,3)$ dengan norm เจ็ด. พื้นที่สามเหลี่ยมคือครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมขนาน, หรือ $7/2$. เวกเตอร์ขอบทั้งสองเริ่มที่ O; การไขว้เวกเตอร์ตำแหน่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันจะไม่คำนวณสามเหลี่ยมที่ต้องการโดยทั่วไป

สามารถมีเวกเตอร์สี่ตัวที่ไม่เป็นศูนย์ใน $\mathbb R^2$ ที่มีผลคูณคู่ทั้งหมดเป็นลบเข้มได้หรือไม่? ให้การพิสูจน์. การอนุญาตให้มีผลคูณศูนย์เปลี่ยนแปลงความเป็นไปได้อย่างไร?

ตรวจสอบหลังทำแบบฝึกหัดแล้ว

เรียงทิศทางของพวกมันรอบวงกลม. ทุกช่องว่างติดต่อกันต้องมากกว่า $\pi/2$: หากช่องว่างมีค่าไม่เกิน $\pi/2$, คู่นี้จะมีการผลคูณไม่เป็นลบ. สี่ช่องว่างเช่นนี้จะรวมกันได้มากกว่า $2\pi$, เป็นไปไม่ได้. ดังนั้นผลคูณทั้งหกจึงไม่สามารถเป็นลบเข้มได้. ด้วยผลคูณที่ไม่เป็นบวก, $e_1,e_2,-e_1,-e_2$ ทำงาน: คู่ติดต่อกันตั้งฉากและคู่ตรงข้ามมีผลคูณลบ. เวกเตอร์ศูนย์ไม่สามารถ satisfying strict negativity ได้