M2 · Mechanics 2

สถิติ 1 (S1, กระดาษ WST01/01, เวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที, คะแนน 75, การประเมินผลครั้งแรก มิถุนายน 2019) คือ ส่วนประกอบด้านสถิติของ M1 ใน International AS Mathematics; สมมติว่าผู้เรียนรู้ P1 และ P2 แล้ว สมุดสูตรมีตารางสถิติอยู่ด้วย; สูตรด้านล่างนี้เป็นสิ่งที่ต้องจำได้ เอกสารอ้างอิงนี้ครอบคลุมการจัดแสดงข้อมูลและการสรุปข้อมูล, ความน่าจะเป็น, สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์และการถดถอย, ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง และการแจกแจงปกติ

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ S1 (ไม่มีในสมุดสูตร):

โมเดลทางสถิติคือคำอธิบายอย่างย่อของสถานการณ์จริงที่ใช้ในการแทนค่าและวิเคราะห์ และทำนาย สาเหตุที่ควรใช้แบบจำลอง: ทำได้เร็วกว่าและถูกกว่าการทดลองจริง สามารถ ทำซ้ำและปรับปรุงได้ และช่วยให้เห็นความสัมพันธ์ จำไว้ว่าเหตุผลมาตรฐาน — "เพื่อทำการ", predictions" เพียงอย่างเดียวไม่เพียงพอต่อการได้รับคะแนน

ใน ฮิสโตแกรม พื้นที่คือความถี่: ความสูงของแท่งคือความถี่ความหนาแน่น $\dfrac{\text{frequency}}{\text{class width}}$ ดังนั้นคลาสที่มีความกว้างต่างกันจะได้ความกว้างไม่เท่ากัน และ การเปรียบเทียบแท่งคือการเปรียบเทียบความหนาแน่น สเต็มแอนด์ลีฟ รักษาค่าดั้งเดิม (แบบย้อนกลับเปรียบเทียบสองกลุ่ม) กล่องแผนภาพ แสดงค่าต่ำสุด, ควอไทล์ที่หนึ่ง, มัธยฐาน, ควอไทล์ที่สาม, ค่าสูงสุด โดยมี ค่าผิดปกติ แสดงเป็นเครื่องหมายคูณแยกต่างหากภายใต้กฎ ใดก็ตามที่โจทย์กำหนด

ตัวอย่างวิธีทำ — ความสูงของฮิสโตแกรมตามอัตราส่วน (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ5ก). ความเร็วของ 225 คันใน คลาสที่มีความกว้าง 5, 5, 10, 15, 15 มีความถี่ 54, 90, 60, 15, 6: ความหนาแน่นคือ 10.8, 18, 6, 1, 0.4. แท่งที่สูงที่สุด (25–30, ความหนาแน่น 18) วาดสูง 10 ซม. ดังนั้น แท่งที่สูงเป็นอันดับสอง (20–25, ความหนาแน่น 10.8) มีความสูง $\tfrac{10.8}{18}\times 10 = 6$ ซม. ระวัง: แท่ง แท่ง 30–40 มีค่าความหนาแน่น 6 เช่นกัน — เฉพาะการใช้วิธีอัตราส่วนจึงจะได้คะแนน ไม่ใช่ "60 ÷ 10"

สำหรับข้อมูลที่จัดกลุ่ม ให้ประมาณค่า มัธยฐาน หรือควอไทล์โดยใช้การแทรกเชิงเส้นภายใน คลาสที่รองรับ: $Q_2 = a + w\times\dfrac{\tfrac n2 - F}{f}$. ช่วงระหว่างควอไทล์ คือ $Q_3 - Q_1$; ความแปรปรวนคือ $\sigma^2 = \dfrac{\sum x^2}n - \bar x^2$ (หรือ $\dfrac{\sum fx^2}{\sum f} - \bar x^2$). การรวมกลุ่ม: รวม $\sum x = \sum n_i\bar x_i$, รวม $\sum x^2$ บวกกันโดยตรง แล้วนำสูตรไปใช้ใหม่ ค่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือรากที่สองของความแปรปรวน การแปลงกลับ: ถ้า $w = 11.5d$, แล้ว $S_{td} = \dfrac{S_{tw}}{11.5}$ และ $S_{dd} = \dfrac{S_{ww}}{11.5^2}$.

ตัวอย่างวิธีทำ — การรวมสองห้องเรียน (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ2). ห้อง A: $n = 24$, $\bar x = 47$, $\sum x^2 = 66876$; ห้อง B: $n = 30$, $\bar x = b$, $\sum x^2 = 73826$; จำนวน 54 นักเรียนที่รวมกันมีค่าเฉลี่ย 45. ดังนั้น $\sum x = 54(45) = 2430$, ดังนั้น $\sum x_B = 2430 - 24(47) = 1302$ และ $b = 43.4$. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลรวม: $\sigma = \sqrt{\tfrac{66876 + 73826}{54} - 45^2} = \sqrt{580.59\ldots} = 24.1$. หากคะแนนทุกข้อของ B เพิ่มขึ้น 2: ความแปรปรวนของ B ไม่เปลี่ยนแปลง (การเลื่อนตำแหน่งไม่ทำให้กระจายตัวเปลี่ยน) ค่าเฉลี่ยรวมเพิ่มขึ้น, และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานรวมลดลง — B เข้าใกล้ A มากขึ้น ทำให้กลุ่มทั้งหมดมีการกระจายตัวน้อยลง.

ตัวอย่างวิธีทำ — การหาควอไทล์ด้วยการแทรก (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ5c–d.) ด้วยความถี่สะสม 54, 144, 204, 219, 225:Median คือค่าที่ 112.5, อยู่ในช่วง 25–30: $Q_2 = 25 + 5\times\tfrac{112.5-54}{90} = 28.25$. $Q_3$ คือค่าที่ 168.75, อยู่ในช่วง 30–40: $Q_3 = 30 + 10\times\tfrac{168.75-144}{60} = 34.125$, ดังนั้นเมื่อให้ $Q_1 = 25.14$ มาแล้ว, $IQR = 8.985$.

เปรียบเทียบระยะห่าง: $(Q_3 - Q_2)$ เทียบกับ $(Q_2 - Q_1)$, หรือค่าเฉลี่ยเทียบกับค่ามัธยฐาน ข้างต้น, $5.875 > 3.11$ (และค่าเฉลี่ย $30.6 >$ มัธยฐาน $28.25$), ดังนั้นความเร็วจึงเป็น ความเบ้ทางบวก (เบ้ทางขวา) — ซึ่งก็เป็นเหตุผลที่ทำให้แบบจำลองปกติถูกปฏิเสธด้วย

Work from the sample space: listing outcomes beats formula-grabbing. For any two events, $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$ และ $P(A\cap B) = P(A)P(B\mid A)$; ความเป็นอิสระ หมายถึง $P(B\mid A) = P(B)$, ซึ่งให้กฎของผลคูณ. ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข กลับด้านต้นไม้: $P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ เมื่อ $P(A)>0$. โดยไม่มีการแทนที่, ลดจำนวนรวมที่เหลืออยู่ลงหนึ่ง; ลดจำนวนในหมวดหมู่เฉพาะเมื่อไอเท็มที่สุ่มได้นั้นมาจากหมวดหมู่นั้นเท่านั้น

ตัวอย่างวิธีทำ — เวนน์สู่ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข (WST01 มิถุนายน 2025 Q4). $P(C\cup D) = 0.59$, $P(D) = 0.45$, $P(C\mid D) = 0.2$. จากนั้น $P(C\cap D) = 0.2 \times 0.45 = 0.09$ และ $P(C) = 0.59 + 0.09 - 0.45 = 0.23$ — เติมแผนภูมิเวนน์และคำตอบทั้งสองจะปรากฏออกมาทันที.

ตัวอย่างวิธีทำ — ต้นไม้ด้วยการย้อนกลับ (WST01 มิถุนายน 2025 Q7). ถุง: 3 สีขาว, 6 สีเหลือง; สุ่มมา สองลูกโดยไม่มีการแทนที่. ต้นไม้: $\tfrac69, \tfrac39$, แล้ว $\tfrac58, \tfrac38$ หลังจากรอบสีเหลือง และ $\tfrac68, \tfrac28$ หลังจากรอบสีขาว. สีเหลืองพอดีหนึ่งลูก: $\tfrac69\cdot\tfrac38 + \tfrac39\cdot\tfrac68 = \tfrac12$. ขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก: $1 - \tfrac69\cdot\tfrac58 = \tfrac7{12}$. กำหนดว่ามีลูกสีขาวอย่างน้อยหนึ่งลูก, ทั้งสองลูกเป็นสีขาว: $\dfrac{\tfrac39\cdot\tfrac28}{\tfrac7{12}} = \dfrac1{12}\cdot\dfrac{12}7 = \dfrac17$.

สัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์โมเมนต์ผลคูณ $r = \dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ วัดความสัมพันธ์เชิงเส้น ($-1 \le r \le 1$); interpret ในบริบท. เส้นถดถอยกำลังน้อยสุด เส้นถดถอย ของ $y$ บน $x$ คือ $y = a + bx$ โดยมี $b = \dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$ และ $a = \bar y - b\bar x$ — ใช้ได้เฉพาะเพื่อทำนาย $y$ จาก $x$, และภายในช่วงข้อมูลเท่านั้น (การคาดเดาข้ามขอบเขตข้อมูลคืออันตรายที่ถูกเตือน). สลับ $x$ และ $y$ แล้วเส้นจะต่างออกไป

ตัวอย่างทำ — การถดถอยแบบเข้ารหัส (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ3). With $w = 11.5d$, $S_{tt} = 26.43$, $S_{tw} = -91.55$, $\sum w = 339.25$, $\sum t = 9.1$, $\sum w^2 = 10036.45$ ใน 12 วัน: $S_{ww} = 10036.45 - \tfrac{339.25^2}{12} = 445.57$; ค่า pmcc $r = \dfrac{-91.55}{\sqrt{26.43 \times 445.57}} = -0.844$ — วันที่อุ่นขึ้น ใช้แก๊สน้อยลง. การ ถดถอยของ $w$ บน $t$: $b = \tfrac{-91.55}{26.43} = -3.46$, $a = \tfrac{339.25}{12} - (-3.46)\tfrac{9.1}{12} = 30.9$, ดังนั้น $w = -3.46t + 30.9$; หาร ด้วย 11.5 เพื่อหา $d$ บน $t$: $d = -0.301t + 2.69$. ที่ $t = 2$: $d = 2.09$ m³, และทุกๆ องศาเพิ่ม องศาหมายถึงแก๊สน้อยลงประมาณ $0.3$ m³

ตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง รับค่าที่แยกออกจากกันพร้อมความน่าจะเป็น $p(x) = P(X = x)$ รวมเป็น 1; ตาราง ฟังก์ชันความน่าจะเป็น ของมันคือสิ่งนั้น. ค่าคาดหวัง $E(X) = \sum xp(x)$, $E(X^2) = \sum x^2p(x)$, ความแปรปรวน $\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$. ฟังก์ชันสะสม $F(x_0) = P(X \le x_0)$ บวกความน่าจะเป็นจนถึง $x_0$. การแจกแจงแบบ Uniform แบบไม่ต่อเนื่องบน $1, \dots, n$ มี $E(X) = \tfrac{n+1}2$ และ $\mathrm{Var}(X) = \tfrac{n^2-1}{12}$.

ตัวอย่างทำ — กระบวนการเต็มรูปแบบ (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ1). X พร้อมความน่าจะเป็น 0.3, 0.2, 0.35, 0.15 บน 1–4. $F(3.5) = 0.3+0.2+0.35 = 0.85$. อสมการ $3X - 3 < X + 2$ แก้ได้เป็น $X < 2.5$, ดังนั้น $P = 0.5$ — แก้หาค่า $X$ ก่อน แล้วค่อยบวก. $E(X) = 2.35$, $E(X^2) = 6.65$, $\mathrm{Var}(X) = 6.65 - 2.35^2 = 1.1275$; และ $\mathrm{Var}(5-2X) = 4(1.1275) = 4.51$ โดยใช้กฎการเข้ารหัส.

For the Normal distribution $X\sim N(\mu, \sigma^2)$, standardise: $Z = \dfrac{X-\mu}\sigma$ then read the table. สมมาตรทำงานครึ่งหนึ่ง: $P(X > \mu + 2\sigma) = P(Z > 2) = 0.0228$ และ $P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) = 1 - 2(0.0228) = 0.9544$. ปัญหาที่กลับด้านให้ $z$ จาก ตาราง แล้ว $x = \mu + z\sigma$; เงื่อนไขสองอย่างบน $k$ เดียวกันให้ระบบสมการพร้อมกัน.

ตัวอย่างวิธีทำ — ถุงแป้ง (WST01 มิถุนายน 2025 ข้อ6). ถุงเล็ก $X\sim N(502, 3^2)$: $P(X > 508) = P(Z > 2) = 0.0228$. จาก 4 ถุง มีอยู่ตรงๆ 2 ที่เกิน 508: $6(0.0228)^2(0.9772)^2 = 0.00298$. ถุงใหญ่ $Y\sim N(1024, \sigma^2)$ กับเปอร์เซ็นไทล์ที่ 85 1038.51: $z_{0.85} = 1.0364$, ดังนั้น $\sigma = \tfrac{14.51}{1.0364} = 14$. ถ้า $P(X > k) = P(Y < 2k)$, แล้ว $\tfrac{k-502}3 = \tfrac{1024-2k}{14}$, ดังนั้น $14k - 7028 = 3072 - 6k$, $k = 505$, และ $p = P(Z > 1) = 0.159$.

• ระบุเหตุผลหลายประการว่าทำไมจึงใช้แบบจำลองทางสถิติ; เก็บคำว่า "ประหยัดและรวดเร็ว" ไว้ plus อีกหนึ่งข้อ.
• คำนวณความหนาแน่นของความถี่สำหรับช่วงที่ไม่เท่ากัน; เปรียบเทียบแท่งฮิสโตแกรมด้วยอัตราส่วน; interpolation Quartiles ภายในชั้นที่ครอบคลุม; ทำเครื่องหมายข้อมูลผิดปกติภายใต้กฎที่กำหนด
• รวมชุดข้อมูลผ่าน $\sum x$ และ $\sum x^2$; กลับรหัสในสถิติ $S$; ทำนายผลกระทบของการเลื่อนหรือสเกลต่อค่าเฉลี่ย ความแปรปรวน และ SD.
• Solve probability questions from Venn diagrams and trees, with and without replacement; reverse conditionals with $P(A\cap B)/P(A)$.
• คำนวณ $r$ จากสถิติ $S$ และตีความมัน; ปรับ $y = a + bx$; ทำนายเฉพาะในช่วงที่กำหนด; ส่งข้อมูลที่มีรหัสกลับไปยังตัวแปรดั้งเดิม.
• Run the discrete DRV routine: probabilities sum to 1, solve inequalities for $X$ first, $E(X)$, $E(X^2)$, variance, linear coding; quote the uniform results.
• ทำให้เป็นมาตรฐานทั้งสองทิศทางสำหรับโจทย์ปกติ; ใช้สมมาตร; จบปัญหาสองเงื่อนไขด้วยระบบสมการพร้อมกัน.