M1 · Mechanics 1

กลศาสตร์ 1 (M1, กระดาษ WME01/01, 1 ชั่วโมง 30 นาที, 75 คะแนน, การประเมินผลครั้งแรก มิถุนายน 2019) คือ หน่วยประยุกต์ของ International AS Mathematics: สมมติว่าผู้เรียนได้ทำ P1 และ P2 แล้ว ให้ใช้ค่า $g = 9.8\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ เว้นแต่จะบอกเป็นอย่างอื่น, และให้คำตอบประมาณค่าถึง 2 หรือ 3 หลักสำคัญ This reference covers modelling assumptions, vectors in mechanics, จลนศาสตร์ความเร่งคงที่ กฎของนิวตันพร้อมอนุภาคที่เชื่อมโยงกัน โมเมนตัมและแรงกระแทก, แรงเสียดทาน สภาวะสมดุล และโมเมนต์

สิ่งที่ต้องรู้สำหรับ M1 (ไม่มีในสมุดสูตร — ต้องจำ):

คำศัพท์ในโจทย์คือคำแนะนำ อนุภาคมีมวลแต่ไม่มีขนาด; แผ่นบางมีพื้นที่แต่ไม่มีความหนา; ก้านมียาวแต่ไม่มีความหนา; วัตถุแข็งคงรูปรักษารูปทรง มีพื้นที่แต่ไม่มีความหนา; คาน มีความยาวแต่ไม่มีความหนา; วัตถุแข็งตัว รักษา รูปร่างไว้. แสง หมายถึงไม่มีมวล; เชือกแสงที่ไม่มีโหลดผ่านรอกเรียบมีความตึงเท่ากันตลอดทั้งเส้น. สม่ำเสมอ หมายถึงความหนาแน่นคงที่, ดังนั้นคานสม่ำเสมอจะมีจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่กึ่งกลาง. เชือกที่ยืดหยุ่นไม่ได้ รักษาความยาวให้คงที่; เชือกที่ตึงผ่านรอกที่ติดกับที่หนึ่งเชื่อมความเร็วสัมบูรณ์ของปลายเชือก, และ พื้นผิวเรียบ เทียบกับ พื้นผิวหยาบ ตัดสินว่า แรงเสียดทานจะกระทำหรือไม่ รอกเบาและเรียบ เปลี่ยนทิศทางของแรงตึง แต่ไม่เปลี่ยนขนาด บอ สมมติฐานที่คุณใช้ — "เรียบ ไม่มีแรงเสียดทาน" — เพราะคะแนนอยู่ในส่วนการสร้างแบบจำลองเป็น มากเท่าที่พหุนาม

การกระจัด ความเร็ว ความเร่ง และแรง เป็นเวกเตอร์: $(3\mathbf i - 4\mathbf j)$ มีขนาด $5$ และทิศทาง $\tan^{-1}(-4/3)$ จากแกน $x$ บวก การแยกองค์ประกอบ ออกเป็นองค์ประกอบ ทำการคำนวณทีละส่วน แล้วรวมผลลัพธ์ท้ายที่สุด ผลรวมของ $\begin{pmatrix}a_1\\b_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}a_2\\b_2\end{pmatrix}$ คือ $\begin{pmatrix}a_1+a_2\\b_1+b_2\end{pmatrix}$. With $\mathbf i$ east and $\mathbf j$ north, a มุมทิศ วัดตามเข็มนาฬิกาจากทิศเหนือ: เวกเตอร์ $-5\mathbf i - 12\mathbf j$ ชี้ไปทางตะวันตกเฉียงใต้ ที่มุม $\tan^{-1}(5/12) = 22.6°$ ทางตะวันตกของทิศใต้ตรงๆ ดังนั้นมุมทิศของมันคือ $180 + 23 = 203°$.

ตัวอย่างวิธีทำ — เวกเตอร์ตำแหน่งและมุมทิศ (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ2). อนุภาค A มี $\mathbf r_A(2) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j)$ และ $\mathbf r_A(5) = (10\mathbf i + 4\mathbf j)$. ความเร็ว $= \dfrac{\Delta\mathbf r}{\Delta t} = \dfrac{15\mathbf i - 12\mathbf j}3 = 5\mathbf i - 4\mathbf j$, ดังนั้น $\mathbf r_A(t) = (-5\mathbf i + 16\mathbf j) + (t-2)(5\mathbf i - 4\mathbf j) = (5t-15)\mathbf i + (24-4t)\mathbf j$. With B at $\mathbf s_B = -5\mathbf i + 7\mathbf j + t(2\mathbf i - 3\mathbf j)$, at $t = 5$: $\overrightarrow{AB} = (5\mathbf i - 8\mathbf j) - (10\mathbf i + 4\mathbf j) = -5\mathbf i - 12\mathbf j$, bearing $203°$.

ความเร่งคงที่หมายความว่าสูตร suvat ใช้ได้ครั้งต่อหนึ่งช่วง; หัวใจสำคัญคือการกำหนดเครื่องหมาย เลือกค่าบวก เขียน $s, u, v, a, t$ พร้อมเครื่องหมายสำหรับแต่ละช่วง แล้วเลือกสูตรที่ หลีกเลี่ยงตัวแปรที่ไม่ต้องการ กราฟ: บนกราฟความเร็ว–เวลา ความชันคือ ความเร่งและพื้นที่คือระยะกระจัด (พื้นที่ใต้แกนนับเป็นลบ); กราฟอัตราเร็ว–เวลา กราฟไม่สามารถเป็นค่าลบได้ ดังนั้นการเคลื่อนที่ขึ้นแล้วลงจึงปรากฏในรูปตัว V

ตัวอย่างวิธีทำ — ขึ้นและลง (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ3). ลูกบอลถูกยิงขึ้นแนวตั้งจากจุด A, ซึ่งสูงจากพื้นดิน 12 เมตร ที่จุด B และใช้เวลา 4 วินาทีในการไปถึง B โดยกำหนดให้ทิศขึ้นเป็นบวกโดยมี $A$ as origin, $s = -12$: $-12 = 4U - 4.9(16)$, so $U = 16.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$ (2 s.f. 17). ความเร็วที่พื้นดิน: $v^2 = 16.6^2 + 2(9.8)(12) = 510.8$, ดังนั้น $v = 22.6\ \mathrm{m\,s^{-1}}$. กราฟความเร็วต่อเวลาเป็นรูป V: ลดลงจาก 16.6 เป็นศูนย์ที่จุดสูงสุด (หลังจาก $16.6/9.8 = 1.7$ วินาที), แล้วเพิ่มขึ้นสู่ 22.6 ที่ $t = 4$ — ขาที่ลงยาวกว่าและเร่งความเร็วสูงขึ้น; ทั้งสองขามีความชันขนาด $g$

กฎข้อที่สองของนิวตัน ใช้ในทิศทางเดียวตามเส้นตรง: $F_{\text{net}} = ma$ พร้อมแรงทั้งหมด แยกองค์ประกอบและมีเครื่องหมายสำหรับสอง อนุภาคที่เชื่อมโยงกัน บนเชือกเบาที่ไม่ยืด ได้สมการ การเคลื่อนที่สำหรับแต่ละวัตถุ (แรงตึงเท่ากัน ความเร็วเท่ากัน) จากนั้นตัด $T$ ออก ในกรณี บนระนาบเอียง ให้แยกองค์ประกอบตามและตั้งฉากกับหน้าสัมผัส; $\tan\theta = 3/4$ หมายความว่า $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$.

ตัวอย่างวิธีทำ — เชือกสองเส้นบนเรือลำเลียง (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ4). แรงขนาด 800 นิวตัน ที่มุม $25°$ เหนือ เส้นทางการเคลื่อนที่ และ 500 นิวตัน ที่มุม $\alpha$ ล่างกว่า ดึงเรือลำเลียงไปข้างหน้าตามคลอง ในแนวตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ไม่มีการเร่ง: $800\sin25° = 500\sin\alpha$, ดังนั้น $\sin\alpha = 0.676$ และ $\alpha = 43°$ ตามเส้นทางการเคลื่อนที่ ด้วยมวล 15000 กิโลกรัม และแรงต้านทาน 750 นิวตัน: $800\cos25° + 500\cos\alpha - 750 = 15000a$, จะได้ $a = 0.023\ \mathrm{m\,s^{-2}}$ — คำตอบสามตำแหน่งทศนิยมเมื่อตัวเลขมีขนาดเล็กเช่นนี้

ตัวอย่างวิธีทำ — รอก, เริ่มจนจบ (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ8). ลูกบอล P (มวล $kM$) และ Q (มวล $3M$, $k < 3$) แขวนอยู่เหนือรอกเบาและเรียบที่ติดกับที่ แล้วเร่งความเร็วที่ $\tfrac g5$. สมการการเคลื่อนที่: $T - kMg = kM\cdot\tfrac g5$ (P ขึ้น) และ $3Mg - T = 3M\cdot\tfrac g5$ (Q ลง) ลบ $T$ ออกได้: $3Mg - kMg = \tfrac{g}5(3M + kM)$ ดังนั้น $5(3-k) = 3+k$ และ $k = 2$. เชือกดึงรอลงด้วยแรง เชือกดึงรกลงด้วย $2T$: เมื่อมี $M = 0.5$ กิโลกรัม, $T = 1(9.8 + 1.96) = 11.76$ นิวตัน, ดังนั้นแรงคือ $23.5$ นิวตัน. เมื่อ Q ลงถึงพื้น กระเด้งกลับที่ 2.5, แรงกระแทกต่อ Q คือ $\sqrt{2\cdot\frac g5\cdot2.5} = \sqrt{g} = 3.13$ นิวตัน·วินาที. P จากนั้น กระโดดกลับที่ $0.4\ \mathrm{m\,s^{-1}}$, โมเมนตัมเชิงแรงที่กระทำต่อ Q คือ $1.5(3.13 + 0.4) = 5.3$ นิวตัน·วินาที. P จากนั้น ลอยตัวขึ้นไปต้านแรงโน้มถ่วงเพียงอย่างเดียวเป็นเวลา $\tfrac{\sqrt g}g = 0.32$ วินาที หลังจาก $5/\sqrt g = 1.60$ วินาที ของช่วงตกลงมา: เวลาทั้งหมดจนหยุดนิ่ง $\approx 1.9$ วินาที

โมเมนตัม $mv$ และ แรงกระแทก $I = mv - mu$ มีทิศทางตามเส้นตรง กฎที่สามของนิวตันทำให้การ ใช้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่ใช่ทั้งสอง. สำหรับกรณีชนตรง การอนุรักษ์โมเมนตัม ใช้เพียงอย่างใดอย่างหนึ่ง ไม่ใช่ทั้งสอง สำหรับชนกันแบบตรง การอนุรักษ์โมเมนตัม $m_1u_1 + m_2u_2 = m_1v_1 + m_2v_2$ ต้องใช้เครื่องหมายที่สอดคล้องกัน; การคืนตัวไม่ได้รวมอยู่ใน M1

ตัวอย่างวิธีทำ — แรงกระแทกต่อทั้งสองวัตถุ (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ1). P (มวล $km$, ความเร็ว $5u$) จับ Q (มวล $3m$, ความเร็ว $2u$); หลังจากนั้น P ยังคงเคลื่อนที่ไปข้างหน้าที่ $2u$ และ Q ที่ $v$. แรง กระแทกต่อ Q คือ $4.5mu$: $3m(v - 2u) = 4.5mu$, ดังนั้น $v = 3.5u$. แรงกระแทกต่อ P เท่ากันและมี ตรงข้าม: $km(5u - 2u) = 4.5mu$, ดังนั้น $k = 1.5$

บนพื้นผิวที่ หยาบ แรงสัมผัสจะแยกออกเป็น แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก $R$ (ตั้งฉาก) และแรงเสียดทาน $F$ (ตามแนว ต้านทานการเคลื่อนที่หรือแนวโน้มของการเคลื่อนที่) เมื่อเคลื่อนที่: $F = \mu R$ กับ $\mu$ คือ สัมประสิทธิ์ความเสียดทาน. ในสมดุล $F \le \mu R$, โดยมีค่าเท่ากันที่สภาวะสมดุลจำกัด — คำว่า "กำลังจะเคลื่อนที่" เป็นเงื่อนไขที่อนุญาตให้ใช้ $F = \mu R$.

ตัวอย่างวิธีทำ — กล่องบนระนาบขรุขระ (WME01 มิถุนายน 2025 ข้อ6). เมื่อ $\tan\theta = \tfrac34$ และ $\mu = \tfrac14$: ตั้งฉาก, $R = mg\cos\theta = \tfrac45mg$; ตามแนว (ขึ้นเป็นบวก, ช้าตัว): $-mg\sin\theta - \tfrac14R = ma$, ดังนั้น $a = -g(\tfrac35 + \tfrac15) = -\tfrac45g$ — ความช้าตัวคือ $\tfrac45g$, และคำตอบ ต้องรักษาเป็นเศษส่วนที่แม่นยำของ $g$. ถูกยึดให้อยู่กับที่บนทางลาดด้วยแรง $X$ ขึ้นตามแนวระนาบ (มวล 2 กก.): $X + \tfrac14(2g\cdot\tfrac45) = 2g\cdot\tfrac35$, ดังนั้น $X = \tfrac45g = 7.84$ นิวตัน.

อนุภาคอยู่ใน สภาวะสมดุล เมื่อผลรวมแรงเป็นศูนย์: แยกในสองทิศทาง ตั้งฉากกันและกำหนดให้ผลรวมทั้งสองเป็นศูนย์, หรือวาดสามเหลี่ยมเวกเตอร์ปิด น้ำหนัก $mg$ ลง, แรงปฏิกิริยาตั้งฉาก ตั้งฉากกับพื้นผิว, แรงตึง ตามสายเชือก ออกจากวัตถุ (แรงดันตามแท่งดิ่งผลัก), แรงเสียดทานตามพื้นผิวต้านทานการลื่นไถล บนพื้นหยาบที่หยุดนิ่ง, $F$ คือแรงwhateverที่ปิดรูปหลายเหลี่ยม, มีค่าสูงสุดที่ $\mu R$.

ตัวอย่างวิธีทำ — แรงสมดุล (ต้นฉบับ). อนุภาคที่มีน้ำหนัก 50 N แขวนจากสอง $40°$; แนวตั้ง: $60°$. จากสมการแรก, $T_1\sin40° = T_2\sin60°$; แนวตั้ง: $T_1\cos40° + T_2\cos60° = 50$. จากสมการแรก, $T_2 = 0.742T_1$; จากนั้น $T_1(0.766 + 0.371) = 50$, ดังนั้น $T_1 = 44$ N และ $T_2 = 33$ N (2 s.f.).

The moment of a force about a point is force × perpendicular distance, with a sign per sense. A rigid body in equilibrium has zero resultant moment about ANY point — so pick the pivot that kills the most unknowns. "On the point of tilting about X" means the reaction elsewhere has dropped to zero and moments are taken about X.

ตัวอย่างวิธีทำ — คานบนขอบกระดาน (WME01 มิถุนายน 2025 Q5). คานไม่สม่ำเสมอ AB ยาว $3a$ วางอยู่บนขอบระนาบแนวนอนโดยมีขอบที่ C, $AC = 2a$, จุดศูนย์กลางมวล $d$ จาก A. แรงในแนวตั้งขึ้น แรง $P$ ที่ B ทำให้วัตถุหมุนรอบจุด A: โมเมนต์รอบจุด A จะได้ $3aP = Wd$. แรงลง $1.25P$ ที่ B $1.25Pa = W(2a - d)$, ดังนั้น $P = \tfrac{Wd}{3a}$, จะได้ $a$ และ $1.25\cdot\tfrac d3 = 2 - d$, ดังนั้น $1.25d = 6a - 3d$, ซึ่งให้ค่า $4.25d = 6a$ และ $d = \tfrac{24a}{17}$. บทเรียนจากกรณีนี้: ทุกสถานการณ์ที่มีจุดหมุนจะมีจุดหมุนเป็นของตัวเอง, และ มีเพียงโมเมนต์ของน้ำหนักที่ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างสถานการณ์เหล่านั้น.

• แก้โจทย์ suvat แบบเฟสเดียวและหลายเฟสโดยกำหนดเครื่องหมายให้คงที่ในแต่ละเฟส; อ่านความชันและพื้นที่จากกราฟการเคลื่อนที่; วาดกราฟความเร็ว-เวลา V สำหรับการเคลื่อนที่ขึ้นแล้วลง
• ทำงานร่วมกับเวกเตอร์ตำแหน่งและเวกเตอร์ความเร็วในเชิงองค์ประกอบ; แปลงทิศทางให้เป็นมุมทิศ; หาตำแหน่งสัมพัทธ์ที่เวลาเดียวกัน.
• แก้โจทย์ suvat แบบหนึ่งเฟสและหลายเฟสโดยกำหนดเครื่องหมายตามแต่ละเฟส; อ่านความชันและพื้นที่จากกราฟการเคลื่อนที่; วาดกราฟความเร็ว-เวลา V สำหรับการเคลื่อนที่ขึ้นแล้วลง
• ใช้ $F = ma$ ต่อวัตถุแต่ละตัวตามแนวการเคลื่อนที่; จัดการกับอนุภาคที่เชื่อมต่อกันผ่านรอกโดยใช้สมการคู่; หาแรงกระทำต่อรอกในรูปของ $2T$.
• ใช้ทฤษฎีบทโมเมนตัม-แรงกระแทกกับ ONE วัตถุของคู่ชนกัน; บำรุงรักษาโมเมนตัมโดยมีเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน.
• แยกแรงสัมผัสออกเป็น $R$ และ $F$; ใช้ $F = \mu R$ เมื่อเคลื่อนที่หรือจำกัดการเคลื่อนที่; วิเคราะห์บนพื้นเอียงโดยใช้ $\sin\theta = 3/5$, $\cos\theta = 4/5$ สำหรับ $\tan\theta = 3/4$
• ปิดรูปหลายเหลี่ยมของแรงเพื่อสมดุลในสองทิศทาง; กำหนดแรงเสียดทานสถิตสูงสุดที่ $\mu R$
• คำนวณโมเมนต์รอบจุดหมุนที่ตัดตัวแปรที่ไม่ทราบค่าออก; เปลี่ยนจุดหมุนเมื่อจุดพลิกตัวเปลี่ยนไป