P1 · Pure Mathematics 1

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 1: ชุดเครื่องมือที่ทุกหน่วยเรียนถัดไปต้องใช้

คณิตศาสตร์บริสุทธิ์ 1 (P1) เป็นหน่วยบังคับแรกทั้งของ International AS และ International A Level Mathematics, และของ International A Level Pure Mathematics. ข้อมูลอ้างอิงนี้ครอบคลุมทุก หัวข้อ P1 ในสเปก Edexcel IAL (Issue 3, เมษายน 2019): แอลเจบราและฟังก์ชัน, เรขาคณิตพิกัด, ตรีโกณมิติ, การหาอนุพันธ์และการหาอินทิกรัล

• ใบสอบ P1 (WMA11/01) ใช้เวลา 1 ชั่วโมง 30 นาที มีคะแนนรวม 75 คะแนน และต้องทำ ทุกข้อ ใบสอบล่าสุดมี 10 ข้อ จาก 5 ถึง 11 คะแนนต่อข้อ
• สามารถใช้ เครื่องคิดเลข ได้ แต่ห้ามเป็นเครื่องที่มีอัลจีบราเชิงสัญลักษณ์, การหาอนุพันธ์เชิง สัญลักษณ์หรือการหาอินทิกรัลเชิงสัญลักษณ์, หรือสูตรที่บันทึกไว้ในหน่วยความจำได้
• จะได้รับหนังสือเล่มสีเหลือง * Mathematical Formulae and Statistical Tables* ให้ใช้ formulas ใน ตาราง "ต้องรู้" ด้านล่าง ไม่ ปรากฏในหนังสือนั้น ดังนั้นให้ท่องจำไว้
• ให้คำตอบที่ไม่ใช่จำนวนเต็มเป็น 3 ตัวเลขมีนัยสำคัญ เว้นแต่จะสั่ง differently. เมื่อโจทย์บอก "ต้องแสดงขั้นตอนการทำงานทั้งหมด" คำตอบจากเครื่องคิดเลขเพียงอย่างเดียวไม่ได้คะแนน

สูตรที่ต้องรู้สำหรับ P1 (จากข้อมูลการประเมินของสเปก):

สูตร	การใช้
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$	รากของ $ax^2 + bx + c = 0$
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	กฎของไซน์
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	กฎของโคไซน์
พื้นที่ $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$	พื้นที่ของสามเหลี่ยม
ความยาวส่วนโค้ง $s = r\theta$, พื้นที่ภาควงกลม $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$	$\theta$ ในหน่วยเรเดียน
$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$	กฎเลขชี้กำลังสำหรับการหาอนุพันธ์
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$	กฎเลขชี้กำลังสำหรับการหาอินทิกรัล

พีชคณิตและฟังก์ชัน

เลขชี้กำลังและราก

สำหรับฐานที่เป็นบวก กฎเลขชี้กำลัง (laws of indices) ใช้ได้กับเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ ส่วนฐานศูนย์และลบต้องมีข้อจำกัดในโดเมนจริง:

กำลังเศษส่วนคือราก: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, ดังนั้น $a^{1/2} = \sqrt{a}$ และ $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. เลขชี้กำลังลบหมายถึงค่าส่วนกลับ: $a^{-1} = 1/a$. คำถามมักจะขอ ให้เขียนคำตอบ ในรูป $kx^n$ โดยที่ $k$ และ $n$ เป็นค่าคงที่ที่จัดรูปอย่างสมบูรณ์แล้ว.

ตัวอย่างวิธีทำ — การจัดการเลขชี้กำลังสามรูปแบบ (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ1). กำหนดให้ $p = \dfrac{x^4}{16}$ และ $q = \dfrac{40}{3x}$, เขียนแต่ละนิพจน์ในรูป $kx^n$.

(a) $p^{\frac{1}{2}}$.

• รู้แล้ว: $p = x^4/16$, และเลขชี้กำลัง $\tfrac12$ หมายถึง รากที่สอง
  $$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
• ตรวจสอบ: การยกกำลังสองของคำตอบ, $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.

(b) $(pq)^{-1}$.

• Known: multiply before inverting, using $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
  $$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$
  $$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
• ตรวจสอบ: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.

(c) $(pq)^2$.

• ตรวจสอบ: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, และค่าคงที่จัดรูปอย่างสมบูรณ์แล้ว.

ราก คือรากที่แม่นยำ เช่น $\sqrt{2}$. รักษาคำตอบให้อยู่ในรูปที่แม่นยำ เว้นแต่จะขอเป็นทศนิยม; ผู้สอบ Penalise ทศนิยมที่ปัดเศษเมื่อคาดหวังให้ใช้ราก. เพื่อ ทำให้ตัวส่วนไม่มีราก , คำนวณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยพจน์ที่กำจัดรากออก:

ตัวอย่างวิธีทำ — การทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ เขียน $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ โดยให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะ

• ข้อมูลที่ทราบ: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$ ดังนั้นคูณด้วย $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$
  $$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
• ตรวจสอบด้วยเครื่องคิดเลข: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ และ $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓

สมการกำลังสอง:判别式 (discriminant) และการเติมเต็มกำลังสอง

แกน: ระหว่างรากทั้งสองเมื่อ $y = ax^2 + bx + c$, และภายนอกเมื่อ $a\ne0$. ตรวจสอบกรณีรากซ้ำ/ไม่มีรากจริงแยกต่างหาก. เปิดขึ้น ($a>0$) หรือลง ($a<0$).判别式 (discriminant) $\Delta = b^2 - 4ac$ บอกจำนวน รากของสมการ:

• $\Delta > 0$: มีรากจริงที่แตกต่างกันสองค่า — กราฟตัดแกน $x$ สองครั้ง;
• $\Delta = 0$: มีรากซ้ำหนึ่งค่า — กราฟสัมผัสกับแกน $x$;
• $\Delta < 0$: ไม่มีรากจริง — กราฟไม่ตัดกับแกน $x$ เลย

การเติมกำลังสอง เขียน $ax^2+bx+c$ ใหม่เป็น $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, ซึ่งช่วยให้ได้จุดกลับทิศทาง $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$ ได้โดยตรง แก้ สมการกำลังสองด้วยการแยกตัวประกอบ, ใช้สูตร, เติมเต็มกำลังสอง, หรือใช้เครื่องคิดเลข — แต่คำถามที่สั่ง "แสดงขั้นตอนทั้งหมด" จะไม่ยอมรับคำตอบที่แก้เฉพาะด้วยเครื่องคิดเลข คำถาม "ขั้นตอน" ปฏิเสธการทำงานที่ใช้เครื่องคิดเลขเท่านั้น

ตัวอย่างวิธีทำ — สมการกำลังสองซ่อนเร้น (ปรับจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ10). สมการ $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่

(ก) สำหรับ $k = 4.5$, หาคำตอบที่แน่นอน

• ข้อมูลที่ทราบ: เมื่อ $k = 4.5$ สมการจะเป็น $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$; คูณด้วย 2 เพื่อลบทศนิยมออก:
  $$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
• ทำไมต้องแทนค่า: $x^6 = (x^3)^2$ ดังนั้นนี่คือสมการกำลังสองใน $x^3$ แทนค่า $z = x^3$:
  $$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
• กลับไปที่ $x$: $x^3 = -\tfrac17$ หรือ $x^3 = -1$ ดังนั้น
  $$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
• ตรวจสอบ: $z=-1$ ให้ผลลัพธ์ $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ ให้ผลลัพธ์ $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓

(b) หาเซตของค่า $k$ ที่ทำให้สมการนี้ไม่มีรากจริง

• ข้อมูลที่ทราบ: จัดรูปสมการเป็นสมการกำลังสองใน $x^3$ โดยมี $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$ ไม่มีรากจริง ต้องการให้ค่าดีคริมิแนนต์เป็นลบ:
  $$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$
  $$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
• ตรวจสอบ: ที่ $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; ที่ $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; ที่ $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (มีรากจริงสองค่าในกรณีนั้น)

สมการและอสมการพร้อมกัน

แก้ สมการเชิงเส้นคู่ โดยวิเคราะห์ด้วย การแทนค่า: จัดรูปสมการเชิงเส้นใหม่ แทนค่าลงในอีกสมการหนึ่ง, แก้, แล้วแทนค่ากลับ เส้นตัดกับโค้ง สมการกำลังสอง whose roots are the intersection $x$-coordinates — นี่คือ "การตีความทางเรขาคณิตของคำตอบทางพีชคณิต" ตามข้อกำหนดที่ต้องการ ตีความผลลัพธ์ทางพีชคณิต" สเปกต้องการ

ตัวอย่างทำ — เส้นตัดโค้งลูกบาศก์กำลังสอง (ปรับจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ7) $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ และ $C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ ตัดกันที่จุด

• ขยายทั้งสองข้าง: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$
• รวมพจน์: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$ แล้วหารด้วย $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$
• แยกตัวประกอบ: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$ ดังนั้น $x = 0, -8, 6$
• แทนค่ากลับลงใน $C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$
• ตรวจสอบด้วย $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ และ $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓

อสมการ ใช้พีชคณิตแบบเดียวกัน แต่คำตอบจะเป็นช่วง:

• แก้ $ax + b > cx + d$ โดยจัดกลุ่ม $x$ (เครื่องหมายอสมการคงอยู่เมื่อบวก/ลบ, และ คงอยู่เมื่อหารด้วยจำนวน บวก; การหารด้วยจำนวนลบจะทำให้สลับเครื่องหมาย).
• แก้ $px^2 + qx + r \le 0$ โดยการวาดกราฟ: คำตอบคือส่วนที่พาราโบลาอยู่บนหรืออยู่ใต้ แกน: อยู่ระหว่างรากเมื่อ $p>0$, และอยู่นอกรากเมื่อ $p<0$. ตรวจสอบกรณีรากซ้ำหรือไม่มีรากจริงแยกต่างหาก.
• อสมการประเภท "โค้งอยู่ใต้เส้น" เช่น $px^2+qx+r < ax+b$ หมายความว่า: ที่ไหนมีความสูงของ น้อยกว่าความสูงของเส้น? หาจุดตัดก่อน.
• เมื่อ วาด พื้นที่คำตอบ ให้ใช้ เส้นประ สำหรับขอบเขต $<$ หรือ $>$ แบบเข้มงวด และใช้ เส้นทึบ สำหรับ $\le$ หรือ $\ge$.

ตัวอย่างวิธีทำ. แก้ $x^2 < 3x + 10$

• จัดรูปใหม่: $x^2 - 3x - 10 < 0$, และแยกตัวร่วม: $(x-5)(x+2) < 0$.
• พาราโบลา $y = (x-5)(x+2)$ เปิดขึ้น ดังนั้นจึงมีค่าเป็นลบ ระหว่าง รากของสมการ:
  $$-2 < x < 5$$
• ตรวจสอบ: $x = 0$ ให้ผล $0 < 10$ ✓; $x = 6$ ให้ผล $36 < 28$ ✗ (ถูกคัดออกอย่างถูกต้อง).

โพลิโนมิยัล: การกระจายและแยกตัวประกอบ

กระจายวงเล็บและรวมพจน์ที่คล้ายกัน; แยกตัวร่วมโดยดึงตัวร่วมออกมาและจัดกลุ่ม. พหุนามดีกรีสามจะแยกตัวประกอบได้สมบูรณ์เมื่อพบรากหนึ่ง: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. สัญลักษณ์ $f(x)$ ใช้ตั้งชื่อฟังก์ชัน ดังนั้น $f(2)$ จึงหมายถึง "แทนค่า $x = 2$".

การวาดกราฟและการเปลี่ยนแปลง

วาด (ไม่จำเป็นต้องคำนวณจุด) กลุ่มเหล่านี้: พาราโบลาและ พหุนามดีกรีสาม อย่างง่ายเช่น $y = x^3 - 4x$; ฟังก์ชันผกผัน $y = \dfrac{k}{x}$ และ $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), ซึ่งมี เส้นสมการ — เส้นที่เข้าใกล้ในลิมิตที่เกี่ยวข้อง; เส้นสมการแนวนอนหรือเฉียงอาจตัดกันได้ที่อินพุตที่มีค่าจำกัด; และกราฟตรีโกณมิติด้านล่าง ให้ระบุจุดตัดกับแกนและจุดกลับทิศทาง

จุดตัดคือคำตอบของสมการ: กราฟ $y = f(x)$ และ $y = g(x)$ ตัดกันที่ $f(x) = g(x)$

ทำการเปลี่ยนแปลงหนึ่งครั้งต่อครั้ง กับ $y = f(x)$:

สมการใหม่	ผลที่มีต่อกราฟ
$y = a f(x)$	ยืดขนานกับ $y$-แกน, อัตราส่วน $a$
$y = f(x) + a$	เลื่อนตาม $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (เลื่อนขึ้น $a$)
$y = f(x + a)$	เลื่อนตาม $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (เลื่อนไปทางซ้าย $a$)
$y = f(ax)$	ยืดขนานกับ $x$-แกน, อัตราส่วน $\dfrac{1}{a}$

ระบุทิศทาง ประเภท และอัตราส่วน (หรือเวกเตอร์)

ตัวอย่างวิธีทำ — อธิบายการเปลี่ยนแปลงสองอย่าง (ปรับจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ 9)

• $y = \sqrt{2x}$ จาก $y = \sqrt{x}\,$: เขียน $\sqrt{2x} = f(2x)$ ดังนั้นนี่คือการ ยืด ขนานกับ $x$-แกน ด้วยอัตราส่วน $\tfrac12$
• $y = 12 - \sqrt{x}$ จาก $y = -\sqrt{x}\,$: เขียน $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, เป็น การเลื่อนตาม $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (ขึ้น 12)
• ตรวจสอบด้วยจุด: $y=\sqrt x$ ผ่าน $(4, 2)$; หลังการเปลี่ยนแปลงแรก กราฟผ่าน $(2, 2)$ (ครึ่งหนึ่งของ $x$), และ $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. หลังการเปลี่ยนแปลงที่สอง, $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, ดังนั้น $(4, 10)$ อยู่บนนั้น ✓

เรขาคณิตพิกัดในระนาบ (x, y)

เส้นตรงที่ผ่าน $(x_1, y_1)$ มีค่าความชัน $m$ จะมีสมการ $y - y_1 = m(x - x_1)$; รูปแบบ $ax + by + c = 0$ ซ่อนค่าความชันไว้ใน $-\dfrac{a}{b}$. จุดสองจุดให้ค่าความชัน: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• เส้นตั้งฉากที่มีความชันจำกัดสอดคล้องกับ $m_1=m_2$. เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้งก็ตั้งฉากกันด้วย
• เส้นฉาก ที่มีความชันจำกัดจะสอดคล้องกับ $m_1m_2=-1$. เส้นแนวนอนและเส้นแนวตั้งก็ฉากกันด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นตั้งฉากผ่านจุดกำเนิด (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ5). เส้น $l_1$ มีสมการ $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ ผ่านจุดกำเนิดและเป็น เส้นตั้งฉากกับ $l_1$.

(ก) สมการของ $l_2$.

• ข้อมูลที่ทราบ: จัดรูป $l_1$: $2y = x + 25$, ดังนั้น $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ และ $m_1 = \tfrac12$.
• เหตุผล: ความชันของเส้นตั้งฉากมีผลคูณเท่ากับ $-1$, ดังนั้น $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
  $$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$

(ข) $l_1$ และ $l_2$ ตัดกันที่ $P$.

• แทนค่า $y = -2x$ ลงใน $x - 2y + 25 = 0$:
  $$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
• $P = (-5, 10)$. ตรวจสอบใน $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓

(ค) ระยะทางสั้นที่สุดจาก $l_1$ ไปยังจุดกำเนิด ในรูปกริณิกแบบจัดแล้ว.

• ระยะทางสั้นที่สุดคือ $|OP|$ ตามแนวเส้นตั้งฉาก:
  $$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
• ตรวจสอบ: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓

ตรีโกณมิติ

กฎของไซน์ กฎของโคไซน์ และพื้นที่สามเหลี่ยม

ในสามเหลี่ยม $ABC$ ที่มีด้าน $a, b, c$ ตรงข้ามมุม $A, B, C$:

ใช้กฎของไซน์สำหรับคู่ (ด้าน, มุมตรงข้าม); กฎของโคไซน์เมื่อไม่มีคู่ตรงข้าม กฎของไซน์มี กรณีกำกวม: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, ดังนั้นมุมและ its supplement can both fit — check which the diagram allows.

หน่วยเรเดียน ความยาวส่วนโค้ง และพื้นที่ภาควงกลม

One radian is the angle subtended by an arc equal in length to the radius; $180° = \pi$ radians. With $\theta$ in radians:

The arc length is $s = r\theta$ and the sector area is $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.

ภาควงกลมใหญ่ (Major sector) คือส่วนที่ใหญ่กว่าของวงกลม: มุม $2\pi - \theta$ เมื่อมุมเล็ก is $\theta$.

ตัวอย่างวิธีทำ — เสาจอดเฮลิคอปเตอร์จากภาควงกลมใหญ่และสามเหลี่ยม (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 June 2025 Q6). A landing pad is the major sector $AOB$ of a circle centre $O$ joined to สามเหลี่ยม $AOC$: $AO = OB = 15$ เมตร, $BC = 2$ เมตร, $CBO$ เป็นเส้นตรง, และมุม $ACO = 0.6$ radians.

(a) Show angle $COA = 1.847$ radians to 3 decimal places.

• Known: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ m; in triangle $AOC$, side $AO = 15$ is opposite the given angle $0.6$, and side $OC = 17$ is opposite angle $CAO$.
• กฎซายน์ (ระบุสูตรก่อน):
  $$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$
  $$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
• ตรวจสอบ: ผลรวมมุมเท่ากับ $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓

(b) Total area of the pad.

• Major sector angle: $2\pi - 1.847 = 4.436$ radians.
  $$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$
  $$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$
  $$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
• ตรวจสอบ: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓

(c) Perimeter of the pad.

• The boundary is the major arc $AB$ plus sides $AC$ and $BC$.
  $$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
• กฎโคไซน์สำหรับ $AC$ (ให้เขียนกฎก่อน):
  $$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$
  $$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
• ตรวจสอบ: $\cos 1.847 < 0$ (มุมทื่อ), ดังนั้น $-2bc\cos A$ บวกเข้า ✓

กราฟของ sin, cos และ tan

$y = \sin x$ และ $y = \cos x$ ซ้ำทุก $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ ซ้ำทุก $\pi$ ($180°$) มีเส้นประที่ $x = 90° + 180°n$. จำสมมาตรได้: $\cos$ เป็นฟังก์ชันคู่, $\sin(180° - x) = \sin x$, และ $\tan x = \sin x / \cos x$. กราฟเช่น $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ และ $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ มาจากกฎการแปลงรูป ข้างต้น. แก้สมการ ด้วยกราฟ โดยนับจุดตัดในช่วงที่กำหนด.

ตัวอย่างวิธีทำ — การนับคำตอบ (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ4) สำหรับ $y = 4\cos x$ ที่มี $x$ เป็นองศา: $5 + 4\cos x = 1$ มีคำตอบกี่ค่าสำหรับ $-720° < x \le 720°$?

• จัดรูปใหม่: $4\cos x = -4$, ดังนั้น $\cos x = -1$, จะได้ $x = 180° + 360°n$.
• ใน $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — มี 4 คำตอบ.
• ตรวจสอบ: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, และ $5 + 4(-1) = 1$ ✓. ช่วงเป็นครึ่งเปิด-ครึ่งปิด ดังนั้น $x = -720°$ (ซึ่ง $\cos = 1$) ถูกตัดออกอย่างถูกต้อง.

การหาอนุพันธ์ (Differentiation)

อนุพันธ์ $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ คือ ความชันของเส้นสัมผัส กับ $y = f(x)$ ที่จุดหนึ่ง — ลิมิตของความชันของสายคอร์ดเมื่อจุดสองจุดรวมกัน. มันคือ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ $y$ เทียบกับ $x$. อนุพันธ์อันดับสอง $f''(x)$ หาจากการหาอนุพันธ์อีกครั้ง. (ไม่จำเป็นต้องใช้กฎลูกโซ่ใน P1.)

หาอนุพันธ์ทีละพจน์โดยใช้กฎกำลัง โดยกระจายผลคูณและแยกเศษส่วนออกมาก่อน:

ตัวอย่างวิธีทำ — เงื่อนไขความชันบนเส้นโค้ง (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 เดือนมิถุนายน 2025 ข้อ2). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; the point $P$ on $C$ has $x$-coordinate $2^k$ and the gradient at $P$ เป็น 16. หา $k$.

• หาอนุพันธ์ (เลขชี้กำลังลดลงหนึ่ง): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
• ตั้งให้ค่าความชันเป็น 16 ที่ $x = 2^k$:
  $$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
• ตรวจสอบ: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ และ $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓

ตัวอย่างวิธีทำ — เส้นสัมผัส เส้นฉาก การคำนวณพื้นที่ และอนุพันธ์อันดับสอง (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 เดือนมิถุนายน 2025 ข้อ8). เส้นโค้งมี $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ และผ่าน $P(4, 12)$; เส้นสัมผัส ที่ $P$ คือ $y = 10x + c$.

(a) แสดงว่า $k = \tfrac14$ และหา $c$.

• Known: the tangent's gradient equals $f'(4)$:
  $$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
• เส้นสัมผัสผ่าน $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
• ตรวจสอบ: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ และ $10(4) - 28 = 12$ ✓

(b) $f''(x)$ ที่ $P$.

• ตรวจสอบ: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓

การหาอินทิกรัล (Integration)

การอินทิเกรต ทำหน้าที่ย้อนกลับการหาอนุพันธ์: ถ้า $\dfrac{dy}{dx} = x^n$ ($n \neq -1$), แล้ว

จำเป็นต้องใช้ ค่าคงที่ของการอินทิเกรต $c$ — การเลื่อนแนวตั้งทั้งหมดมีค่า อนุพันธ์เท่ากัน เพิ่มเลขชี้กำลังแต่ละพจน์ขึ้นหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่ และอินทิเกรตทีละพจน์หลังจาก การขยายพหุนาม: กำหนด $f'(x)$ และจุดหนึ่ง บนเส้นโค้ง ให้หา $c$ และกู้คืน $y = f(x)$ ได้อย่างแม่นยำ

ตัวอย่างวิธีทำ — ขยายก่อนหาอินทิกรัล (ปรับจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ3) หาค่า $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$

• ขยายตัวเศษ: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; ตัวส่วนคือ $3x^{1/2}$
• หารทีละพจน์ (กำลังของ $x$ หักออก):
  $$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
• หาอินทิกรัลทีละพจน์ (กำลังเพิ่มหนึ่ง, หารด้วยกำลังใหม่):
  $$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$
  $$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
• ตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — ฟังก์ชันต้นทางกลับมาตรงตามเดิม

ตัวอย่างวิธีทำ — สืบคืน $f(x)$ จาก $f'(x)$ และจุดหนึ่ง (ดัดแปลงจาก Edexcel IAL WMA11 มิถุนายน 2025 ข้อ8, ต่อเนื่อง) เมื่อมี $k = \tfrac14$, ดังนั้น $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, และมี $P(4, 12)$ บนเส้นโค้ง:

• แทนค่า $P$: $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, และ $4^{3/2} = 8$:
  $$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
• ตรวจสอบ: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, และการหาอนุพันธ์คำตอบ จะได้ $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, ดังนั้น $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (ความชันของเส้นสัมผัสจาก ก่อนหน้า)

รายการตรวจสอบก่อนจะถือว่าหน่วยนี้จบแล้ว

• จัดรูป $a^{m/n}$, กำลังลบ และรากที่สองได้อย่างแม่นยำ รวมถึงจัดรูปตัวส่วนให้ไม่มีราก
• อ่าน $b^2-4ac$ ได้สามรูปแบบ ทำกำลังสมบูรณ์ และแก้สมการกำลังสองซ่อนเร้นด้วยการแทนตัวแปร
• Solve linear–quadratic simultaneous equations by substitution and interpret them as intersections.
• แก้และวาดอสมการเชิงเส้นและอสมการกำลังสอง พร้อมขีดจำกัดแบบจุด/เส้นทึบที่ถูกต้อง
• วาดกราฟพหุนามดีกรีสาม ฟังก์ชันผกผัน (พร้อมเส้นประ) และกราฟที่เปลี่ยนรูป โดยระบุทิศทาง ประเภท และ ค่าสเกลของการเปลี่ยนแปลงแต่ละอย่าง
• เขียนสมการเส้นตรงในทั้งสองรูปแบบ; ใช้ $m_1m_2 = -1$ สำหรับเส้นตั้งฉาก
• Quote sine rule, cosine rule and $\tfrac12 ab\sin C$; handle the ambiguous case and major sectors ในหน่วยเรเดียน
• นับคำตอบจากกราฟตรีโกณมิติในช่วงที่กำหนด ก่อนจะรายการออก
• หาอนุพันธ์และหาอินทิกรัล $x^n$ เทอมต่อเทอม หลังกระจาย; เสมอเพิ่ม $+c$
• เปลี่ยน $f'(x)$ บวกกับจุดหนึ่งให้เป็น $f(x)$ และตรวจสอบโดยการแทนค่าจุดกลับเข้าไป