ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- แยกแยะจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะโดยไม่สมมติว่าผลบวกจะคงชนิดเดิม
- ใช้กฎเลขชี้กำลังและรากในโดเมนที่กำหนดให้
- คำนวณกับจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ i²=-1 และค่า-queryate
ความรู้เดิม: กฎการกระจาย; รากหลัก; $i^2=-1$
อธิบายและเลือกวิธีการ
จำนวนตรรกยะคืออัตราส่วนของจำนวนเต็มที่มีตัวส่วนไม่เท่ากับศูนย์; ทศนิยมจำกัดหรือทศนิยมซ้ำเป็นจำนวนตรรกยะ จำนวนจริงที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะคือจำนวนอตรรกยะ การปิดภายใต้การบวกและการคูณของจำนวนตรรกยะไม่ได้หมายถึงการปิดของจำนวนอตรรกยะ รากที่แม่นยำอาจลดรูปได้: √18=3√2 ยังคงเป็นจำนวนอตรรกยะ ในขณะที่ √16=4 เป็นจำนวนตรรกยะ
สำหรับฐานที่เป็นบวก a^(m/n) เป็นการรวมรากที่ n กับกำลังเต็มรูปแบบ เลขชี้ลบสร้างค่าผกผันและต้องใช้ฐานที่ไม่เท่ากับศูนย์ แยกแยะ √(x²)=|x| ออกจาก x เมื่อ涉及到偶次根，需遵守实数域和主非负根的概念。将幂分配到乘积上，而非加法和：(a+b)²包含交叉项。
การคำนวณเชิงซ้อนใช้ i²=-1 บวกส่วนจริงและส่วนจินตภาพแยกกัน และคูณด้วยการกระจายก่อนลดรูป i² เพื่อหารด้วย a+bi ให้คูณทั้งเศษและส่วนด้วย a-bi；分母结果为 a²+b²（原值不为零时）。根号允许方程如 x²=-9 有解，即使无实数根。
ACT ที่ปรับปรุงยังคงมีหัวข้อขั้นสูงบางเรื่อง และไม่มีสูตรให้ใช้ สร้างความคุ้นเคยกับกฎนิยามแทนการเดาจากหน้าจอเครื่องคิดเลข ตรวจสอบว่าคำถามต้องการคำตอบเป็นจำนวนจริงหรือเชิงซ้อน รากที่แม่นยำ หรือค่าประมาณทศนิยม การตรวจสอบในพื้นที่นี้เป็นการประเมินพัฒนาการ ไม่ใช่แบบทดสอบคะแนนทางการ
จำนวนเชิงซ้อน-query (complex conjugate) เปลี่ยนเครื่องหมายของส่วนจินตภาพ $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$ สำหรับ $a,b$ จริง ดังนั้น $(2+i)/(2-i)=(2+i)^2/5=(3+4i)/5$ ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์; แยกค่าที่แน่นอนออกจากค่าประมาณทศนิยม
ตัวอย่างทำ. 16^(3/4)=2³=8. (2+3i)(1-2i)=2-4i+3i-6i²=8-i. สำหรับ (1+i)/(1-i), คูณด้วย 1+i ได้ (1+i)²/2=2i/2=i. Solution ของ x²+9=0 คือ ±3i; ไม่มีตัวใดเป็นจริง
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
คำนวณ $(3-2i)/(1+i)$ ในรูปแบบ $a+bi$
เหตุผล คูณทั้งสองส่วนด้วย $1-i$ ตัวเศษคือ $(3-2i)(1-i)=3-5i+2i^2=1-5i$ ตัวส่วนคือ 2 คำตอบคือ $1/2-(5/2)i$ คูณกลับด้วย $1+i$ จะได้ $3-2i$
ฝึก 2
หาค่า $32^{2/5}$ และ $\sqrt{(-7)^2}$ แก้ $z^2+16=0$ บนจำนวนเชิงซ้อน
เหตุผล รากที่ห้าของ 32 คือ 2, ดังนั้น $32^{2/5}=2^2=4$ รากที่สองหลักคือ $|-7|=7$ สำหรับสมการ $z^2=-16$ ให้ค่า $z=4i,-4i$ ทั้งคู่ไม่เป็นจริง
ฝึก 3
ยกตัวอย่างหนึ่งเพื่อแสดงว่าผลคูณของจำนวนอตรินัยสองจำนวนอาจเป็นจำนวนตรรกยะ และอีกตัวอย่างหนึ่งเมื่อเป็นจำนวนอตรินัย
เหตุผล $\sqrt2\sqrt2=2$ เป็นจำนวนตรรกยะ $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$ เป็นจำนวนอตรรกยะ ไม่มีการปิดหรือไม่ปิดสำหรับการคูณทั้งหมดจากฉลากจำนวนอตรรกยะเพียงอย่างเดียว
ฝึกฝน 4
จำแนก $\sqrt{50}$ และ $\sqrt{50}\sqrt2$ ว่าเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรินัย หาค่า $32^{2/5}$ และ $2^{-3}$ ใช้ $\sqrt2$ และ $-\sqrt2$ เพื่อทดสอบว่าผลบวกของจำนวนอตรินัยต้องเป็นจำนวนอตรินัยหรือไม่
เหตุผล $\sqrt{50}=5\sqrt2$ เป็นจำนวนอตรรกยะ ในขณะที่ $\sqrt{50}\sqrt2=\sqrt{100}=10$ เป็นจำนวนตรรกยะ $32^{2/5}=(\sqrt[5]{32})^2=2^2=4$ และ $2^{-3}=1/2^3=1/8$ ผลบวกของจำนวนอตรรกยะทั้งสองเป็นศูนย์ ซึ่งเป็นจำนวนตรรกยะ; จำนวนอตรรกยะไม่ปิดภายใต้การบวก ผลคูณรากที่มีเลขชี้กำลังคู่เหล่านี้ใช้ radicands ที่เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
อย่าอนุมานว่าพจน์อสมเหตุสมผลสองพจน์ต้องผลบวกเป็นอสมเหตุสมผล, กระจายกำลังสองเข้าไปในผลบวก, หรือแทน √(x²) ด้วย x เมื่อ x สามารถเป็นลบได้
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ