ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- อธิบายแอมพลิจูด (amplitude), ระยะเวลา (period) และการเลื่อนแนวตั้งในกฎตรีโกณมิติ
- ใช้เครื่องหมายวงกลมหน่วยและเอกลักษณ์พื้นฐาน
- เลือกความสัมพันธ์ไซน์, คอส หรือพื้นที่สำหรับสามเหลี่ยมทั่วไป
ความรู้พื้นฐาน: รadian; อัตราส่วนสามเหลี่ยมมุมฉาก; พิกัดวงกลมหน่วย
อธิบายและเลือกวิธีการ
สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉาก, sin คือตรงข้าม/ด้านตรงข้ามมุมฉาก, cos คือข้างประชิด/ด้านตรงข้ามมุมฉาก และ tan คือตรงข้าม/ข้างประชิด เทียบกับมุมที่กำหนด ทฤษฎีบทสามเหลี่ยมคล้ายอธิบายว่าทำไมอัตราส่วนเหล่านี้ขึ้นอยู่กับมุมแทนขนาด บนวงกลมหน่วย พิกัดคือ (cos θ,sin θ), ขยายอัตราส่วนไปยังจตุภาคอื่นด้วยเครื่องหมายที่เหมาะสม
sin²θ+cos²θ=1 และ tan θ=sin θ/cos θ เมื่อ cos θ≠0. สำหรับ y=A sin(Bx)+D ด้วย x เป็นเรเดียน, แอมพลิจูดคือ |A|, ช่วง 2π/|B| และเส้นกลาง D ค่า A แบบลบสะท้อนคลื่น; D เลื่อนขึ้นหรือลงตามแนวตั้ง ตรวจสอบว่าอินพุตอยู่ในเรเดียนหรือองศาก่อนใช้ช่วงกราฟ
สำหรับสามเหลี่ยมทั่วไป กฎโคไซน์ (cosine rule) c²=a²+b²-2ab cos C ใช้มุมรวม (included angle) C ระหว่างด้าน a และ b กฎไซนส์เปรียบเทียบแต่ละด้านกับค่าไซนส์ของมุมตรงข้าม พื้นที่คือ ab sin C/2 เมื่อทราบด้านสองด้านและมุมรวมที่ INCLUDED Choose the relationship matching the supplied information.
อย่าอนุมานว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากจากรูปภาพ สมการที่ใช้ไซน์อาจอนุญาตให้มีมุมมากกว่าหนึ่งในช่วงที่อนุญาต; รักษาข้อมูลจตุภาคและเงื่อนไขผลบวกสามเหลี่ยมใดๆ ให้ แอมพลิจูดต่างจากระยะยอดถึงทรวงทั้งหมด ซึ่งเป็นสองเท่าของแอมพลิจูด
แอมพลิจูดคือครึ่งหนึ่งของระยะจากยอดถึงท้องคลื่น ใน $y=A\sin(Bx)+D$, ค่าคือ $|A|$; รอบคาบแบบเรเดียนคือ $2\pi/|B|$. สำหรับสามเหลี่ยมที่ไม่ใช่รูปมุมฉาก, จับคู่ด้านที่ทราบและมุมที่夹อยู่ก่อนเลือกกฎคอส $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Worked example. y=3 sin(2x)+1 has amplitude 3, period π and values between -2 and 4. A triangle with sides 5 and 7 around a 60° angle has third side $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ and area 35√3/4. At 150°, sine is 1/2 and cosine -√3/2.
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
สำหรับอินพุตรadian $y=-4\sin(2x)+3$, ให้แอมพลิจูด, ช่วง, ช่วงค่า และค่าที่ $x=\pi/4$
การให้เหตุผล แอมพลิจูดคือ 4, รอบคาบ $2\pi/2=\pi$, ช่วงค่า $-1\le y\le7$. ที่ $x=\pi/4$, ค่า $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$.สัมประสิทธิ์ลบสะท้อนทิศทางคลื่น แต่ไม่ทำให้แอมพลิจูดเป็นลบ
ฝึก 2
สามเหลี่ยมมีด้าน 6 ซม. และ 10 ซม.夹อยู่ 60°. หาด้านที่สามและพื้นที่โดยไม่สมมติว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก
การให้เหตุผล $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, ดังนั้น $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
ฝึก 3
หามุมทั้งหมดใน $0^\circ\le\theta<360^\circ$ ที่มี $\sin\theta=1/2$ สำหรับแต่ละมุม ให้ค่าโคไซน์และแทนเจนต์
เหตุผล. มุมคือ 30 และ 150 องศา. cosines คือ $\sqrt3/2$ และ $-\sqrt3/2$; tangents คือ $1/\sqrt3$ และ $-1/\sqrt3$. Sine เป็นบวกในจตุภาคที่ I และ II ดังนั้นคำตอบที่แหลมเดียวจะไม่ครบถ้วน
ฝึกฝน 4
สามเหลี่ยมมุมฉากมีด้านประกอบมุมฉาก 9 และ 12 ซม. หาความยาวด้านตรงข้ามมุมฉากและไซน์/โคไซน์ของมุมที่ตรงข้ามกับด้าน 9 ซม. สามเหลี่ยมอีกชุดหนึ่งมีมุม 30° และ 45° และด้านยาว 8 ซม. ตรงข้ามมุม 30°. หาความยาวด้านตรงข้ามมุม 45°, อธิบายว่าทำไมกฎของไซน์จึงใช้ได้ในกรณีนี้
การให้เหตุผล $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. ดังนั้น $\sin\theta=9/15=3/5$ และ $\cos\theta=12/15=4/5$; ผลบวกกำลังสองของทั้งสองเท่ากับ 1. ในสามเหลี่ยมที่สอง คู่ด้าน-มุมตรงข้ามที่ทราบแล้วอนุญาตให้ใช้ $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. ดังนั้น $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. สามเหลี่ยมนี้ไม่ได้สมมติว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก; มุมที่สามของมันคือ 105°.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ระบุหน่วยของมุมและระบุมุมที่ included ค่าสูงสุดคือเส้นกลางบวกแอมพลิจูด ไม่ใช่แอมพลิจูดเพียงอย่างเดียว
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ