ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- แปลงพิกัดโดยแยกแยะการเคลื่อนย้ายแบบแข็ง (rigid motions) กับการขยายขนาด (dilation)
- ใช้ระยะทาง จุดกึ่งกลาง และความชันเป็นหลักฐานทางเรขาคณิต
- ใช้หลักความเท่ากันและความสัมพันธ์ของมุมที่ถูกต้อง แทนที่จะใช้ลักษณะปรากฏจากแผนภาพ
ความรู้พื้นฐาน: ความแตกต่างของพิกัด; ความเท่ากันของสามเหลี่ยม; มุมบนเส้นขนาน
อธิบายและเลือกวิธีการ
การแปลเพิ่มการเลื่อนตำแหน่งให้กับแต่ละจุด; การสะท้อนผ่านแกน x ส่ง (x,y) ไปยัง (x,-y). การหมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาโดยมีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางส่ง (x,y) ไปยัง (-y,x). การเคลื่อนไหวแบบแข็งเหล่านี้รักษาความยาวและมุมไว้ การขยายด้วยอัตราส่วน k โดยมีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางจะปรับขนาดพิกัดและความยาวตาม k เมื่อ k เป็นบวก ซึ่งรักษารูปร่างแต่โดยทั่วไปจะเปลี่ยนขนาด
ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดคำนวณตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของความแตกต่างของพิกัด แล้วบวกกันและรากที่สอง จุดกึ่งกลางคือค่าเฉลี่ยของแต่ละพิกัด ความชันเปรียบเทียบการเปลี่ยนแปลงแนวตั้งและแนวนอน; ความชันของเส้นตั้งฉากที่ไม่ใช่แนวตั้งจะมีผลคูณเท่ากับ -1. เส้นตั้งฉากและแนวนอนต้องจัดการแยกต่างหากเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์
ข้อพิสูจน์ทางเรขาคณิตเริ่มต้นจากเงื่อนไขที่กำหนดหรือแสดงออก มุมตรงข้ามยอดมีค่าเท่ากัน; เส้นขนานให้ความสัมพันธ์ของมุมที่ตรงกันและมุมสลับด้าน ผลรวมมุมภายในสามเหลี่ยมเท่ากับ 180°. SSS, SAS และ ASA/AAS สามารถใช้ยืนยันความเท่ารูปได้ด้วยการจับคู่ที่ถูกต้อง ในขณะที่มุมที่เท่ากันสองมุมบ่งบอกถึงความคล้ายแต่ไม่บ่งบอกถึงขนาดเท่ากัน
การพิสูจน์การสร้างใช้ประตูกว้างถ่ายโอนความยาวและวาดวงกลมรัศมีเท่ากัน จุดตัดของวงกลมที่มีความยาวเท่ากันสามารถใช้หาเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากได้ ไม่ใช่การเดาจุดกึ่งกลางจากสเก็ตช์ หลักฐานเชิงพิกัดสามารถสนับสนุนการพิสูจน์ได้ แต่ภาพที่เลือกมาพิเศษหนึ่งภาพไม่สามารถพิสูจน์ข้อสรุปทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทุกใบได้
การเคลื่อนไหวแบบแข็งรักษาความยาวและมุมไว้ การหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90องศา จะส่ง $(x,y)$ ไปยัง $(-y,x)$ รอบจุดกำเนิด ระยะทางคือ $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ มุมที่เท่ากันบ่งบอกถึงความคล้าย , แต่ความเท่ารูปยังกำหนดขนาดให้คงที่ด้วย
ตัวอย่างวิธีทำ จุด (2,-1) เปรียบเทียบกับ (3,4) ได้เป็น (5,3); หมุน 90° ทวนเข็มนาฬิกาโดยมีจุดกำเนิดเป็นศูนย์กลางจะได้ (1,2). ระหว่าง (1,2) และ (7,10), ระยะทางคือ √(6²+8²)=10 และจุดกึ่งกลาง (4,6). สามเหลี่ยมสองชุดที่มีด้านที่ตรงกัน 3,4,5 เท่ารูปกันตาม SSS; สามเหลี่ยมที่มีมุมเท่ากันอาจแตกต่างด้วยอัตราส่วนการขยาย
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
หมุน A = $(2,-3)$ ทวนเข็มนาฬิกา 90องศา รอบจุดกำเนิด แล้วเลื่อนตามเวกเตอร์ $(4,1)$. สลับลำดับการกระทำและเปรียบเทียบจุดปลาย
เหตุผล. หมุนไปยัง $(3,2)$ ก่อน แล้วเลื่อนไปยัง $(7,3)$ เลื่อนไปยัง $(6,-2)$ ก่อน แล้วหมุนไปยัง $(2,6)$ จุดปลายไม่ตรงกัน ดังนั้นลำดับของการแปลงมีความสำคัญ
ฝึก 2
A = $(-1,2)$ และ B = $(5,10)$ เป็นจุดปลายของเส้นตรง ให้หาความยาว จุดกึ่งกลาง และสมการของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก
เหตุผล. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$ จุดกึ่งกลาง $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$ ความชันของเส้นตรงคือ $8/6=4/3$ ดังนั้นความชันของเส้นตั้งฉากคือ $-3/4$ เส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากคือ $y-6=-(3/4)(x-2)$
ฝึก 3
สามเหลี่ยมสองรูปมีมุม 40°, 60°, 80°. รูปหนึ่งมีด้านยาวที่สุด 9 ซม.; อีกรูปหนึ่งมี 15 ซม. ระบุสิ่งที่พิสูจน์ได้และอัตราส่วนพื้นที่ของทั้งสองรูป
เหตุผล. สามเหลี่ยมทั้งสองมีรูปคล้ายกันเนื่องจากมุมเท่ากัน แต่ไม่ congruent เนื่องจากด้านที่ยาวที่สุดที่สอดคล้องกันมีขนาดต่างกัน อัตราส่วนของความยาวคือ $15/9=5/3$ และอัตราส่วนพื้นที่จากใหญ่ไปเล็กคือ $25/9$
ฝึกฝน 4
อธิบายวิธีสร้างเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของเส้นตรง AB ด้วยไม้บรรทัดและวงเวียน ระบุเหตุผลที่ถูกต้องสำหรับทุกจุดที่ได้จากการสร้าง และแยกแยะออกจากการใช้ไม้บรรทัดวัดในภาพเดียว จากนั้นอธิบายว่า SSS บ่งชี้อะไรสำหรับสามเหลี่ยมที่มีด้านที่ยาวตามลำดับ 3,4,5 ซม.
เหตุผล. ใช้รัศมีวงกลมเท่าเดิม ซึ่งมากกว่าครึ่งหนึ่งของ AB วาดส่วนโค้งที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ A และ B ตัดกันที่ P และ Q บนด้านตรงข้าม วาดเส้น PQ PA=PB และ QA=QB ตามรัศมีเท่ากัน ดังนั้นทั้ง P และ Q จึงอยู่บน locus ที่ห่างจาก A และ B เท่ากัน PQ คือเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉาก วิธีอื่นคือใช้สามเหลี่ยม congruent และ chord ร่วมกันเพื่อยืนยันความตั้งฉากและการแบ่งครึ่ง การอ่านค่าบนภาพเดียวไม่สามารถพิสูจน์ locus โดยทั่วไปได้ SSS ยืนยันว่าสามเหลี่ยมทั้งสอง congruent ซึ่งกำหนดทั้งขนาดและรูปร่าง Pythagoras ยังแสดงว่าสามเหลี่ยมเหล่านี้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากในกรณีเฉพาะ
แบบฝึกหัด 5
เส้นตรงสองขนานถูกตัดด้วยเส้น transversal มุม corresponding หนึ่งมีค่า 68° หามุม corresponding ที่สอดคล้องกัน และมุมที่อยู่ติดกันบนเส้นที่สอง อธิบายเงื่อนไขใดให้เหตุผลแต่ละขั้นตอน
Reasoning. Parallelism gives the matching corresponding angle 68°. The adjacent pair forms a straight angle, so the other is 180°−68°=112°. Equal corresponding angles require the stated parallel lines; the straight-angle sum uses adjacency on one line. A similar-looking sketch without parallelism would not justify the first equality.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ปฏิบัติตามศูนย์กลางและลำดับของการแปลงที่กำหนด อย่าใช้คู่ที่ขนานหรือตั้งฉากทางสายตาเป็นเงื่อนไขที่กำหนด
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ