ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- ระบุและตีความรูปแบบมาตรฐานของวงกลม เอลลิปส์ พาราโบลา และไฮเปอร์โบล่า
- ใช้ความสัมพันธ์ของมุมวงกลม เส้นสัมผัส และเส้นตัดภายใต้เงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง
- คำนวณพื้นที่ พื้นที่ผิว หรือปริมาตร โดยใช้อะตอมิเตอร์และหน่วยที่ถูกต้อง
ความรู้พื้นฐาน: การทำกำลังสองสมบูรณ์; กึ่งแกนมุมฉากยกกำลังสอง;เรขาคณิตวงกลม; หน่วยปริมาตร
อธิบายและเลือกวิธีการ
วงกลมมีรูปแบบ (x-h)²+(y-k)²=r². เอลลิปส์ใช้พจน์ยกกำลังสองบวกสองพจน์หารด้วยกำลังสองของกึ่งแกม; ไฮเปอร์โบลามีผลต่างของพจน์เหล่านี้ พาราโบลาจะมีพิกัดที่ยกกำลังสองเพียงตัวเดียวในรูปแบบมาตรฐานที่จัดวางอย่างเหมาะสม ใน y²=4px จุดยอดอยู่ที่จุดกำเนิด และจุดโฟกัสอยู่ที่ (p,0); อ่านเครื่องหมายและแกนก่อนตีความทิศทาง
สำหรับ (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, จุดศูนย์กลางคือ (1,-2), กึ่งแกมแนวนอน 3 และกึ่งแกมแนวตั้ง 2. ทำกำลังสองสมบูรณ์เมื่อจุดศูนย์กลางซ่อนอยู่ในวงกลมที่กระจายพจน์แล้วสัมประสิทธิ์และเครื่องหมายของสมการช่วยแยกแยะประเภทของ conic; ภาพวาดคร่าวๆ ไม่สามารถให้ข้อมูลทางพีชคณิตที่ขาดหายไปได้
เส้นสัมผัสตั้งฉากกับรัศมีที่จุดสัมผัส มุมภายในวงกลมมีค่าน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของมุมที่จุดศูนย์กลางที่รองรับส่วนโค้งเดียวกัน สำหรับเส้นตัดสองเส้นจากจุดภายนอกเดียวกัน ผลคูณของส่วนภายนอกและเส้นตัดทั้งหมดมีค่าเท่ากันสำหรับทั้งสองเส้น; กำลังสองของความยาวเส้นสัมผัสเท่ากับผลคูณนี้ ความยาวทั้งหมดรวมถึงส่วนภายนอก ดังนั้นอย่าคูณเฉพาะส่วนภายนอกและส่วนภายใน
Separate boundary measures from space measures. Circle circumference is 2πr and area πr²; cylinder volume is πr²h; cone volume is πr²h/3; sphere volume is 4πr³/3. Surface area sums exposed faces. If all corresponding lengths scale by k, area scales by k² and volume by k³; changing only one dimension needs the original formula.
วงรี $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ มีศูนย์กลาง $(h,k)$ แกนกึ่งหนึ่งคือรากที่สองของตัวส่วนที่เป็นบวก พาราโบลา $y^2=4px$ มีโฟกัส $(p,0)$ และ Directrix $x=-p$ แยกสมการเหล่านี้ออกจาก Hyperbola ที่มีผลต่างกำลังสอง
ตัวอย่างวิธีทำ. เอลิปส์ (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 มีจุดปลายแนวนอนที่ (-2,-2) และ (4,-2). y²=8x มี p=2 และจุดโฟกัสที่ (2,0). เส้นตัดวงที่มีความยาวภายนอก/ความยาวทั้งหมดเป็น 3/12 และ 4/9 ทั้งคู่มีผลคูณเท่ากับ 36 ดังนั้นเส้นสัมผัสจากจุดเดียวกันจะมีความยาว 6.กรวยรัศมี 3, สูง 8 มีปริมาตร 24π.
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
สำหรับ $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$ ระบุจุดศูนย์กลาง กึ่งแกนแนวราบและแนวตั้ง และจุดปลายแกนทั้งสี่ สำหรับ $y^2=-12x$ ระบุจุดยอดและจุดโฟกัส
เหตุผล. ศูนย์กลางคือ $(-2,1)$, แกนกึ่งหนึ่ง 5 และ 3, จุดปลาย $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. ในพาราโบลา, $4p=-12$, ดังนั้น $p=-3$; จุดยอด $(0,0)$, โฟกัส $(-3,0)$
ฝึก 2
จากจุดภายนอกหนึ่งจุด เส้นสัมผัสมีความยาว 6 ซม. เส้นตัดวงมีส่วนนอกยาว 4 ซม. จงหาความยาวส่วนเต็มและส่วนใน
เหตุผล. ใช้ความสัมพันธ์ Tangent–secant $t^2=ew$. จัดรูป $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. ความยาวภายในคือ $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. ผลคูณใช้ความยาวทั้งหมด ไม่ใช่แค่ความยาวภายใน
ฝึก 3
A cylindrical container has radius 3 cm and height 8 cm. Find its volume and total closed surface area. What happens to each if every length doubles?
การให้เหตุผล. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. การเพิ่มขนาดความยาวทั้งหมดเป็นสองเท่าจะทำให้ปริมาตรเพิ่มขึ้น 8 เท่า และพื้นที่เพิ่มขึ้น 4 เท่า.
ฝึกฝน 4
จำแนกประเภท $x^2/16-y^2/9=1$ และ $x^2+y^2=16$. หาเส้นรอบวงและพื้นที่วงกลม. สำหรับเส้นตัดวงสองเส้นจากจุดภายนอกเดียวกัน เส้นแรกมีส่วนนอก/ส่วนเต็มยาว 3/12 ซม. และอีกเส้นมีส่วนนอกยาว 4 ซม.: จงหาส่วนเต็มและส่วนในของเส้นที่สอง
เหตุผล ความแตกต่างของพจน์กำลังสองกำหนดวงไฮเพอร์โบล่าที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ผลรวมด้วยสัมประสิทธิ์เท่ากันกำหนดวงกลมรัศมี 4 เส้นรอบวงยาว $C=2\pi r=8\pi$ และพื้นที่ $A=\pi r^2=16\pi$ ในหน่วยความยาวและหน่วยพื้นที่ตามลำดับ ผลคูณของเส้น sécant ตรงกัน: $e_1w_1=e_2w_2$ ดังนั้น $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$; ความยาวภายในคือ $9-4=5\,\mathrm{cm}$ การคูณภายนอกกับภายในจะนำไปสู่ความสัมพันธ์ที่ผิดพลาด
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
ใช้รากที่สองสำหรับรัศมีและกึ่งแกน; ใช้ความยาวเส้นตัดทั้งหมดและหน่วยลูกบาศก์สำหรับปริมาตร
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ