ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- แยกแยะผลต่างทางคณิตศาสตร์กับอัตราส่วนทางเรขาคณิต
- Find a term or finite sum while keeping indexing consistent
- แปลงสมการลอการิทึมให้อยู่ในรูปเอ็กซ์โพเนนเชียลบนโดเมนที่ยอมรับได้
Prerequisites: Index notation; exponent rules; finite sequences.
อธิบายและเลือกวิธีการ
An arithmetic sequence has constant difference d: aₙ=a₁+(n-1)d. Its finite sum is n(a₁+aₙ)/2. A geometric sequence has constant ratio r: aₙ=a₁r^(n-1). For r≠1, a finite sum is a₁(1-rⁿ)/(1-r); when r=1 it is simply n a₁. Match the requested term or total.
โมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล A b^t แสดงการคูณด้วย b ต่อหน่วยเวลาที่ระบุ การเติบโตแบบเปอร์เซ็นต์ r ใช้ตัวคูณ 1+r; การเปลี่ยนแปลงซ้ำๆ ให้คูณตัวคูณเข้าด้วยกันแทนการบวกเปอร์เซ็นต์ หากใช้เวลาคู่เท่าตัวหลายหน่วย ให้หาร t ด้วยช่วงเวลานั้นในเลขชี้กำลัง
สำหรับฐาน b>0 โดยที่ b≠1, log_b(a)=c หมายถึง b^c=a และต้องการ a>0. แก้สมการลอการิทึมโดยการแปลงเป็นความสัมพันธ์เลขชี้กำลัง, จากนั้นตรวจสอบอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม. ลอการิทึมของผลคูณบวกภายใต้อาร์กิวเมนต์บวกที่ถูกต้อง; ลอการิทึมไม่สามารถกระจายเหนือการบวกได้
ใช้กำลังที่แน่นอนเมื่อมีอยู่ ACT อาจทดสอบความสัมพันธ์ลอการิทึมอย่างง่ายโดยไม่ต้องใช้ตารางลอการิทึม การประมาณค่าที่คำนวณได้ยังคงต้องเคารพรูปแบบและโดเมนของคำถาม รักษาเลขชี้กำลังของลำดับ เวลาของโมเดลเอ็กซ์โพเนนเชียล และอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมแยกออกจากกันในเชิงแนวคิด
ลำดับเลขคณิต : $a_n=a_1+(n-1)d$. ผลรวมของมันคือ $S_n=n(a_1+a_n)/2$. ลำดับเรขาคณิต : $a_n=a_1r^{n-1}$ และ $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ สำหรับ $r\ne1$. ลอการิทึมจะผกผันเลขชี้กำลัง: $\log_b a=c$ หมายถึง $b^c=a$, โดยมี $a>0$, $b>0$, $b\ne1$
ตัวอย่างทำตัวอย่าง. ลำดับเลขคณิต 4,7,10,… มี a₅=16 และผลรวมห้าพจน์แรก=5(4+16)/2=50. ลำดับเรขาคณิต 3,6,12,24 มีผลรวมสี่พจน์ 45. log₂(x-1)=4 ให้ x-1=16, ดังนั้น x=17, ซึ่งสอดคล้องกับ x>1. ประชากร 50·2^(t/3) จะถึง 200 หลังหกหน่วยเวลา
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
ที่นั่งในแถวต่อเนื่องกันมีจำนวน 12,16,20,… จงหาแถวที่แปดและจำนวนที่นั่งทั้งหมดในแปดแถวแรก ระบุสมมติฐานของโมเดล
เหตุผล. ผลต่างคงที่เป็น 4 ที่นั่งต่อแถว. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ ที่นั่ง. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ ที่นั่ง. สมมติว่าการเพิ่มขึ้นสี่ที่นั่งผ่านทุกแปดแถว
ฝึก 2
ลำดับเรขาคณิตเริ่มจาก 5,15,45,… จงหาคำที่ห้าและผลรวมของห้าคำแรก อธิบายว่าจะเปลี่ยนแปลงอย่างไรหากอัตราส่วนเป็น 1
เหตุผล. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. เมื่อ $r=1$, เศษ fraction จะมีตัวหารเป็นศูนย์และผลรวมที่ถูกต้องคือ $na_1$, ที่นี่ 25 สำหรับห้าพจน์ที่เหมือนกัน
ฝึก 3
แก้ $\log_2(x-3)=5$ และอธิบายว่าทำไม $\log_2(x+3)$ จึงไม่สามารถแยกเป็น $\log_2x+\log_23$ ได้โดยทั่วไป
การให้เหตุผล ขอบเขตของฟังก์ชันต้องการ $x>3$. รูปเอ็กซ์โพเนนเชียลให้ $x-3=32$, ดังนั้น $x=35$ และอาร์กิวเมนต์เป็นบวก ผลรวมของลอการิทึมสอดคล้องกับผลคูณ $3x$ ไม่ใช่ $x+3$; ที่ $x=1$, สมการที่เสนอจะเทียบ 2 กับ $\log_23$.
ฝึกฝน 4
แบบจำลองวัฒนธรรมเริ่มด้วยเซลล์ 120 และเพิ่มขึ้นเป็น 1.5 เท่า ทุกสองชั่วโมง เขียน $N(t)$ สำหรับชั่วโมง $t$, หา $N(4)$, และแยกความแตกต่างระหว่างตัวคูณกับการเติบโตเป็นเปอร์เซ็นต์
การให้เหตุผล เซลล์ $N(t)=120(1.5)^{t/2}$. เซลล์ $N(4)=120(1.5)^2=270$. การเติบโตคือ 50% ต่อสองชั่วโมง ไม่ใช่ 150%; ปัจจัยสี่ชั่วโมงคือ 2.25. ปัจจัยต่อชั่วโมงจะเป็น $\sqrt{1.5}$.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
อย่าใช้ n แทน n-1 สำหรับพจน์ที่ n, สับสนระหว่างผลรวมจำกัดกับพจน์สุดท้าย, หรือขยาย log(a+b) เป็น log a + log b
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ