ขอบเขตและเงื่อนไขก่อนเข้าเรียน
กรอบแนวคิด ACT, ฉบับปรับปรุงเดือนกุมภาพันธ์ 2026 กรณีศึกษาในห้องเรียนเหล่านี้ไม่ใช่รูปแบบ ACT อย่างเป็นทางการ
- ประเมินและแปลงระหว่างกฎฟังก์ชัน ตาราง และกราฟ
- ติดตามลำดับอินพุตและโดเมนผ่านฟังก์ชันประกอบ
- จดจำโดเมนของฟังก์ชันจนกว่าจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แล้วหาฟังก์ชันกลับ
ความรู้ก่อนหน้า: สัญลักษณ์ฟังก์ชัน; การแทนค่า; การแก้สมการ.
อธิบายและเลือกวิธีการ
ฟังก์ชันให้ผลลัพธ์เดียวสำหรับอินพุตที่อนุญาตแต่ละค่า กราฟที่ตัดเส้นตั้งฉากที่จุดผลลัพธ์ต่าง nhauสองจุดไม่ใช่ฟังก์ชันของ x. โดเมนระบุอินพุตที่อนุญาต; เรนจ์ระบุผลลัพธ์ที่ได้รับ. แปลงตารางเป็นกฎได้ก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์รองรับ, และตีความบทบาทของตัวแปรแต่ละตัว
ใน f(g(x)), ฟังก์ชันภายใน g ทำงานก่อน และผลลัพธ์ของมันต้องอยู่ในโดเมนของ f. สำหรับ f(u)=1/(u-1) และ g(x)=x²+1, ฟังก์ชันประกอบได้ 1/x² และไม่รวม x=0. การตรวจสอบโดเมนเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันดั้งเดิมและผลลัพธ์ที่จัดรูปแล้วเช่นกัน
การเปลี่ยนแปลงผลลัพธ์ f(x)+k ย้ายแนวตั้งตาม k; f(x-h) ย้ายไปทางขวาตาม h. ตัวคูณภายนอกเปลี่ยนสเกลผลลัพธ์, ในขณะที่ตัวคูณภายในเปลี่ยนความเร็วที่อินพุตเข้าถึงจุดเก่า ระบุจุดที่รู้จักเพื่อตรวจสอบการแปลงแทนการเดาทิศทางจากเครื่องหมาย
ฟังก์ชันกลับจะแลกเปลี่ยนอินพุตและเอาต์พุต โดยต้องมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งบนโดเมนที่กำหนด แก้สมการ y=f(x) เพื่อหาค่า x แล้วสลับชื่อ ตัวแปร ต้องจำกัดโดเมนให้อยู่ด้านใดด้านหนึ่งของจุดยอดเสมอ ฟังก์ชันกลับ f⁻¹ ไม่ใช่ค่าผกผัน 1/f ตรวจสอบผลคูณ composition ทั้งสองทิศทางบนโดเมนที่อนุญาต
การประกอบใช้กฎด้านในก่อน ถ้า $f(u)=1/(u-2)$ และ $g(x)=x^2+2$, $f(g(x))=1/x^2$, โดยมี $x\ne0$. ฟังก์ชันผกผันจะสลับอินพุตและเอาต์พุตบนโดเมนแบบหนึ่งต่อหนึ่ง จำกัด $h(x)=(x-1)^2$ ให้เป็น $x\ge1$ ก่อนที่จะทำ $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$
ตัวอย่างทำตัวอย่าง. f(x)=2x+3 และ g(x)=x² ให้ f(g(x))=2x²+3 แต่ g(f(x))=(2x+3)². สำหรับ h(x)=(x-2)² ที่จำกัดด้วย x≥2, ฟังก์ชันผกผันคือ 2+√x โดยมีโดเมน x≥0. การเลื่อนแนวตั้งของ h จำนวน 4 จะมีจุดยอดที่ (2,4); พหุนามกำลังสองที่ไม่ถูกจำกัดจะไม่สามารถมีฟังก์ชันผกผันที่มีค่าเดียวได้
วัสดุฝึกฝน
แต่ละคำถามฝึกฝนด้านล่างระบุข้อมูลทั้งหมดที่จำเป็น
ฝึกฝนด้วยเหตุผล
ฝึก 1
ให้ $f(u)=1/(u-3)$ และ $g(x)=x^2+3$. หา $f(g(x))$ พร้อมโดเมน. หา $g(f(4))$ และอธิบายว่าทำไมฟังก์ชันประกอบเหล่านี้จึงแตกต่างกัน
เหตุผล. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, ยกเว้น $x=0$. สำหรับลำดับอื่น ๆ, $f(4)=1$ และ $g(1)=4$. ลำดับการประกอบเปลี่ยนทั้งการดำเนินการและอาจเปลี่ยนโดเมน; $f(g(4))=1/16$ นั้นต่างกัน
ฝึก 2
จำกัด $h(x)=(x+2)^2$ ให้เป็น $x\le-2$. หาฟังก์ชันกลับพร้อมโดเมนและเรนจ์ อธิบายว่าทำไมการเลือกรากบวกจึงไม่ถูกต้อง
เหตุผล. แก้ $y=(x+2)^2$ ด้วย $x+2\le0$ เพื่อได้ $x=-2-\sqrt y$. ดังนั้น $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, โดเมน $x\ge0$, เรนจ์ $y\le-2$. สาขาบวกจะให้ค่าที่อยู่นอกโดเมนเดิมที่เลือกไว้
ฝึก 3
กราฟของ $f(x)=x^2$ เปลี่ยนเป็น $g(x)=3f(x+4)-2$. หาจุดยอดและช่วงค่า โดยตรวจสอบจุดหนึ่งที่ถูกแปลง
เหตุผล. $g(x)=3(x+4)^2-2$ มีจุดยอด $(-4,-2)$ และมีช่วง $y\ge-2$. จุดเก่า $(1,1)$ ถูกแปลงเป็น $(-3,1)$ เพราะ $3(1)-2=1$; การแทนค่ายืนยัน $g(-3)=1$.
ข้อจำกัดและการใช้งานต่อไป
รักษาลำดับการประกอบและสาขาของฟังก์ชันผกผันที่จำกัด. เอ็กซ์โพเนนต์ -1 ในสัญลักษณ์ฟังก์ชันไม่หมายถึงส่วนกลับ
นี่คือโจทย์ฝึกฝนต้นฉบับที่เขียนขึ้นสำหรับรายวิชานี้ ไม่ใช่ข้อสอบอย่างเป็นทางการ