Тригонометрия в прямоугольных треугольниках
| English | Русский |
|---|---|
| trigonometry/ˌtrɪɡəˈnɒmətri/ | тригонометрия |
| opposite/ˈɒpəzɪt/ | противоположным |
| adjacent/əˈdʒeɪsənt/ | прилежащий |
| angle of elevation/ˈæŋɡl ɒv ˌelɪˈveɪʃn/ | угол возвышения |
| angle of depression/ˈæŋɡl ɒv dɪˈpreʃn/ | угол места (углубления) |
Как высока это дерево?
- Вы не можете взобраться на него с рулеткой. Но, стоя на расстоянии $10$ м от него и глядя вверх на $50^{\circ}$, тригонометрия даст вам высоту: $10 \times \tan 50^{\circ} \approx 11.9$ м.
- Тригонометрия измеряет неизмеримое — используя углы и одну известную длину.
Названия сторон
- В прямоугольном треугольнике назовите стороны относительно угла $\theta$:
- Противолежащий (O): сторона, лежащая напротив угла $\theta$.
- Прилежащий (A): сторона, прилегающая к углу $\theta$ (не гипотенуза).
- Гипотенуза (H): самая длинная сторона, лежащая напротив прямого угла.
SOH-CAH-TOA: три отношения, связывающие углы с длинами сторон в прямоугольных треугольниках.
Прямоугольная тригонометрия
(cos θ, sin θ)
SOHCAHTOA происходит от этого круга — синус, косинус и тангенс угла.
Три отношения — SOH CAH TOA
- Чтобы найти сторону: используйте отношение и умножьте/разделите.
- Чтобы найти угол: используйте обратную функцию ($\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$).
Противолежащий $4$, прилежащий $3$: $\;\tan\theta = \dfrac{4}{3}$, следовательно $\theta = \tan^{-1}\!\left(\dfrac{4}{3}\right) = 53.1^{\circ}$.
Подъем на башню включает угол места
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10 см, а угол составляет 30°. Противоположный катет = 10 × sin 30°. Найдите его (в см).
10 × sin 30° = 10 × 0,5 = 5 см.
Противоположный катет равен 4 см, а прилежащий — 3 см. Найдите угол (в градусах, до 1 знака после запятой).
tg θ = 4/3, следовательно θ = tg⁻¹(4/3) = 53,1°.
Прилежащий катет равен 8 см, а угол — 60°. Гипотенуза = 8 / cos 60°. Найдите её (в см).
cos 60° = 0,5, следовательно гип = 8 / 0,5 = 16 см.
В формуле SOH CAH TOA sin θ = противолежащий катет / ______.
SOH: sin θ = Противолежащий катет / Гипотенуза.
Углы места и видимости (Расширенная версия)
- Угол места: взгляд вверх от горизонтали.
- Угол видимости: взгляд вниз от горизонтали.
- Оба они отсчитываются от горизонтали, а не от вертикали.
От горизонтали, всегда. Угол места/видимости отсчитывается от горизонтальной линии, а не от вертикальной. Это самая распространенная ошибка в этих задачах.
Назовите стороны от угла $\theta$: противолежащая лежит напротив него, прилежащая рядом с ним, гипотенуза напротив прямого угла (SOH-CAH-TOA)
С расстояния 50 м угол возвышения до вершины башни составляет 40°. Высота = 50 × tg 40°. Найдите её (в метрах, до 1 знака после запятой).
50 × tg 40° = 50 × 0,839 = 42,0 м.
Угол возвышения измеряется от вертикали.
Углы возвышения и понижения измеряются от горизонтали, а не от вертикали.
Разобранный пример
- $50$ м от башни, угол места $40^{\circ}$:
- $h=d\tan\theta=50\tan40^{\circ}\approx42.0$ м. Сохраняйте полное значение тангенса из калькулятора перед округлением.
Угол места смотрит вверх от горизонтали; угол видимости смотрит вниз
Вы поняли
- SOH: $\sin\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}$; CAH: $\cos\theta = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}$; TOA: $\tan\theta = \dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}$
- используйте обратную функцию ($\tan^{-1}$ и т.д.) для нахождения угла
- угол места смотрит вверх, угол видимости смотрит вниз — оба от горизонтали