Точные значения, графики и тригонометрические уравнения
| English | Русский |
|---|---|
| exact values/eɡˈzækt ˈvæljuːz/ | точные значения |
| trig graphs/trɪɡ ɡræfz/ | тригонометрические графики |
| asymptotes/ˈæsɪmptəʊts/ | асимптоты |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | симметрию |
Значения, которые нужно знать наизусть
- Некоторые значения тригонометрии настолько важны, что их нужно иметь без калькулятора. Они получены из двух специальных прямоугольных треугольников: $45$-$45$-$90$ и $30$-$60$-$90$.
Таблица точных значений
| $x$ | $0^{\circ}$ | $30^{\circ}$ | $45^{\circ}$ | $60^{\circ}$ | $90^{\circ}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos x$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan x$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | не определено |
Мнемоническое правило для синуса: $0, 1, 2, 3, 4$ под корнем и над $2$: $\;\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$. Косинус — наоборот.
Колесо обозрения: точка на ободе описывает синусоиду
Тригонометрические графики и уравнения
(cos θ, sin θ)
По мере изменения θ синус и косинус описывают свои волны — и повторяются каждые 360°.
Чему равно точное значение sin 30°? (в виде десятичной дроби)
sin 30° = 1/2 = 0.5.
Чему равно точное значение tan 45°?
tan 45° = 1 (противоположный катет равен прилежащему в треугольнике 45-45-90).
cos 60° = 1/2.
cos 60° = 1/2 — одно из ключевых точных значений, которое нужно запомнить.
Тригонометрические графики
- $y = \sin x$ и $y = \cos x$ — это волны, колеблющиеся между $-1$ и $1$.
- $y = \tan x$ повторяется каждые $180^{\circ}$ и имеет вертикальные асимптоты в точках $90^{\circ}$ и $270^{\circ}$.
Тригонометрические графики — это волны; синус и косинус колеблются между $-1$ и $1$, тангенс повторяется каждые $180^{\circ}$.
Два решения. У тригонометрического уравнения обычно два ответа в интервале $0^{\circ}$–$360^{\circ}$. Для $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$: $x = 60^{\circ}$ или $x = 180 - 60 = 120^{\circ}$. Не забудьте найти второе решение.
Решение тригонометрических уравнений
- Найдите первое решение с помощью обратной функции.
- Используйте симметрию графика, чтобы найти второе:
- Для положительного значения синуса в $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$ второе решение составляет $180^{\circ}-x$; для отрицательных значений используйте нижнюю часть графика.
- $\cos x = k$: второе решение равно $360^{\circ} - x$.
Два специальных треугольника дают точные значения: $45^\circ$-треугольник и $30^\circ$-$60^\circ$-треугольник
Решите sin x = √3/2 для интервала 0–360°. Одно решение — 60°. Какое другое (в градусах)?
Синусоида симметрична относительно 90°: 180 − 60 = 120°.
Решите 2cos x + 1 = 0 для интервала 0–360°. Одно решение — 120°. Какое другое (в градусах)?
cos x = −1/2 даёт x = 120° или 360 − 120 = 240°.
Если уравнение sin x = k имеет решение x = 40°, то второе решение равно 180 − ⟦number⟧ = ⟦number⟧°.
Второе решение синуса: 180° − 40° = 140°.
Разбор примеров
- $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x = 60^{\circ}$ или $120^{\circ}$.
- $2\cos x + 1 = 0 \Rightarrow \cos x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow x = 120^{\circ}$ или $240^{\circ}$.
Отрицательные тригонометрические значения и уравнения тангенса
- В $0^{\circ}\le x<360^{\circ}$ функция $\sin x=-1/2$ принимает отрицательные значения ниже горизонтальной оси: $x=210^{\circ},330^{\circ}$. Значение калькулятора $-30^{\circ}$ следует заменить на эквивалентное $330^{\circ}$ в требуемом интервале.
- Тангенс повторяется каждые $180^{\circ}$: $\tan x=1$ дает значения $x=45^{\circ},225^{\circ}$ в данном интервале. При значениях $0$, $90$, $180$, $270$, $360^{\circ}$ проверяйте концы интервалов и точки неопределенности, а не предполагайте, что каждое уравнение имеет ровно два решения.
Найдите меньшее решение уравнения sin x = −1/2 для 0° ≤ x < 360°.
Синус отрицателен в III и IV четвертях; решениями являются 210° и 330°.
Вы поняли
- знать точные значения: $\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}$, $\tan 45^{\circ} = 1$
- волны синуса и косинуса находятся в пределах от $-1$ до $1$
- у тригонометрического уравнения обычно два ответа в интервале $0^{\circ}$–$360^{\circ}$