Теоремы синусов и косинусов

Когда треугольник не прямоугольный

• Теорема Пифагора и SOH-CAH-TOA работают только для прямоугольных треугольников.
• Для любого другого треугольника вам понадобятся теорема синусов или теорема косинусов.

Теорема синусов

• Для любого треугольника со сторонами $a, b, c$, лежащими напротив углов $A, B, C$:

• Применяйте её, когда вы знаете: сторону и противолежащий ей угол, плюс одну дополнительную величину.

$y=\sin x$ и $y=\cos x$ — плавные волны между $-1$ и $1$; косинус — это синус, сдвинутый влево на $90^\circ$

Теорема косинусов

• Применяйте её, когда вы знаете: две стороны и угол между ними (чтобы найти третью сторону), или все три стороны (чтобы найти угол).

В любом треугольнике стороны $a,b,c$ лежат напротив углов $A,B,C$; именно эти элементы используются в теоремах синусов и косинусов

Площадь любого треугольника

• Это работает для любого треугольника (не только прямоугольного), используя две стороны и угол между ними.

Разобранный пример

• $b = 7$, $c = 8$, угол между ними $A = 40^{\circ}$.
• $a^2 = 7^2 + 8^2 - 2(7)(8)\cos 40^{\circ} = 49 + 64 - 85.8 = 27.2$, следовательно, $a = 5.2$ см.

Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора: когда $A = 90^{\circ}$, $\cos A = 0$ и вы получаете $a^2 = b^2 + c^2$.

Нахождение угла и проверка альтернативного варианта

• Имея стороны $a=5,b=7,c=8$, используйте формулу $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(49+64-25)/112=11/14$. Таким образом, $A=\cos^{-1}(11/14)\approx38.2^{\circ}$.
• В задаче на теорему синусов $a=10,A=30^{\circ},b=12$ приводит к значению $\sin B=b\sin A/a=0.6$. Оба значения $B\approx36.9^{\circ}$ и $143.1^{\circ}$ оставляют положительный третий угол, поэтому возможны два треугольника. Используйте дополнительное условие, например, тупой угол B, для выбора правильного ответа.

Площадь с включенным углом

• Две стороны равны 7 см и 8 см,included angle равен $40^{\circ}$. Используйте формулу $K=\frac12bc\sin A=\frac12(7)(8)\sin40^{\circ}\approx18.0\text{ cm}^2$.
• Угол должен лежать между двумя использованными сторонами. Сохраняйте градусный режим и полные тригонометрические значения до финального округления.

Вы поняли