Теорема Пифагора и тригонометрия в 3D
| English | Русский |
|---|---|
| space diagonal/speɪs daɪˈæɡənl/ | пространственная диагональ |
| base diagonal/beɪs daɪˈæɡənl/ | диагональ основания |
Диагональ через комнату
- Какова длина самой длинной палки, которая поместится внутри коробки? Это пространственная диагональ — проходящая от одного угла до противоположного дальнего угла.
- 3D Теорема Пифагора и тригонометрия сводят эту задачу к плоскому треугольнику, скрытому внутри тела.
Стратегия: найдите треугольник внутри
- Каждая задача 3D становится задачей 2D: найдите прямоугольный треугольник внутри тела, затем примените к нему теорему Пифагора или тригонометрию.
- Часто сначала находят диагональ основания, а затем добавляют высоту, образуя второй треугольник.
Теорема Пифагора
В прямоугольном треугольнике a² + b² = c². То же самое правило, применённое дважды, позволяет найти длины внутри объектов в 3 измерениях.
У коробки основание 6 см на 8 см. Найдите длину диагонали основания (в см).
√(6² + 8²) = √100 = 10 см.
В задачах 3D вы ищете прямоугольный треугольник внутри тела для вычислений.
Весь метод решения 3D задач сводится к приведению задачи к плоскому прямоугольному треугольнику.
В задачах 3D часто сначала находят ______ диагональ, а затем используют её вместе с высотой.
Диагональ основания (найденная по теореме Пифагора в 2D) становится одним из катетов второго прямоугольного треугольника вместе с высотой.
Разбор пример — диагональ коробки
- Коробка имеет основание $6\text{ cm} \times 8\text{ cm}$, высоту $5\text{ cm}$.
- Шаг 1 — диагональ основания: $\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$.
- Шаг 2 — пространственная диагональ: $\sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{125} = 11.2\text{ cm}$.
У коробки размеры 6, 8 и 5 см. Пространственная диагональ равна √(6² + 8² + 5²). Найдите её (до 1 знака после запятой).
√(36 + 64 + 25) = √125 ≈ 11,2 см.
У куба ребро равно 3 см. Его пространственная диагональ равна √(3² + 3² + 3²) = √27. Найдите её (до 2 знаков после запятой).
√27 = 3√3 ≈ 5,20 см.
Разбор пример — угол к основанию
- Диагональ основания ($10$) и высота ($5$) образуют прямоугольный треугольник.
- $\tan\theta = \dfrac{5}{10} = 0.5$, следовательно $\theta = \tan^{-1}(0.5) = 26.6^{\circ}$.
Сокращение для 3D теоремы Пифагора. Пространственная диагональ коробки $l \times w \times h$ равна $\sqrt{l^2 + w^2 + h^2}$. Для нашей коробки: $\sqrt{36 + 64 + 25} = \sqrt{125} = 11.2$ см.
Два шага, а не один. Для нахождения угла нужны диагональ основания И высота, чтобы образовать второй треугольник. Использование пространственной диагонали как стороны даст неверный угол.
Диагональ основания равна 10 см, а высота коробки — 5 см. Угол к основанию имеет tg θ = 5/10. Найдите θ (в градусах, до 1 знака после запятой).
θ = tg⁻¹(0,5) = 26,6°.
Где появляется 3D тригонометрия
- Архитектура: угол стропильной ноги крыши, диагональ комнаты.
- Инженерия: длина опорной стойки, угол стрелы крана.
3D Теорема Пифагора — это просто применение 2D Теоремы Пифагора дважды: сначала к основанию, затем вместе с высотой.
Вы поняли
- в 3D найдите прямоугольный треугольник внутри тела, затем примените теорему Пифагора/тригонометрию
- часто сначала находят диагональ основания, а затем добавляют высоту
- Коробка $6 \times 8 \times 5$: диагональ основания $10$, пространственная диагональ $\sqrt{125} \approx 11.2$, угол $26.6^{\circ}$