QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

Два электрона могут занимать одну пространственную орбиталь, если их полное пространственно-спиновое состояние обладает требуемой антисимметрией.

Прerequisites: 5, 36.

• Построить нормированные симметричные и антисимметричные пространственные состояния двух орбиталей
• Комбинировать пространственную и спиновую симметрию для получения разрешенных состояний двух электронов
• Подсчитать заселения полных состояний и интерпретировать обменные корреляции

Для тождественных частиц при перестановке всех координат и спиновых меток волновая функция фермиона меняет знак, а бозонной остается неизменной. Математические слоты 1 и 2 обозначают аргументы, а не постоянно различимые частицы. Для двух различных ортонормированных орбиталей a и b пространственные комбинации имеют вид Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. Ортогональность делает эти комбинации нормированными и дает собственные значения обмена ±1. Если две орбитали идентичны, антисимметричная комбинация тождественно обращается в ноль, а показанная симметричная формула неправильно нормирована; состояние двойного заполнения пространственной орбиталью просто равно a(1)a(2). Проверяйте нормировку каждый раз, когда изменяются орбитали или их перекрывания.

Две частицы со спином 1/2 образуют один спин-синглет (↑↓−↓↑)/√2 с полным спином S=0; он антисимметричен при обмене. Три триплета ↑↑, (↑↓+↓↑)/√2 и ↓↓ имеют S=1 и симметричны. Электроны требуют общего антисимметричного состояния, поэтому симметричное пространственное состояние сочетается с синглетом, а антисимметричное пространственное состояние — с триплетом. Два электрона в одном и том же пространственном орбитале могут образовать синглет, но не могут образовать там триплет в рамках этой простой двухэлектронной модели. Принцип запрета Паули предотвращает занятие одного и того же полного одночастичного состояния, включая спин. Электроны с противоположными спинами в одном орбитале представляют два различных полных состояния; описание запрета как «один электрон на орбиталь» игнорирует это различие.

Для двух пространственных орбиталей a, b и двух спиновых состояний для каждой существует четыре полных одночастичных состояния. Два идентичных электрона имеютchoose(4,2)=6 паттернов заселения: два синглета с двойной заселением, один синглет на разных орбиталях и три триплета на разных орбиталях. Для трёх пространственных орбиталей существует шесть полных состояний иchoose(6,2)=15 паттернов. Подсчёт упорядоченных назначений приводит к избыточному учёту идентичных частиц. Безспиновые бозоны в двух орбиталях вместо этого имеют три варианта заселения: оба в a, по одному в каждой, оба в b. Эти подсчёты предполагают отсутствие дополнительных энергетических ограничений и указанные доступные одночастичные состояния; ограничение полной энергии или проекции спина изменяет допустимое подмножество.

Антисимметричное пространственное состояние удовлетворяет условию Ψ_−(x,x)=0, поэтому его совместная плотность координат обращается в ноль на линии совпадения. Симметричное пространственное состояние не обязательно обращается в ноль там. Разница возникает из-за интерференции обменянных амплитуд даже для невзаимодействующих частиц; это не отдельно накладываемая классическая отталкивающая сила. Для ямы длиной L выберите a(x)=√(2/L)sin(πx/L), b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). При x₁=L/4 и x₂=3L/4 антисимметричная пространственная амплитуда равна −2/L, а её плотность составляет 4/L²; симметричная амплитуда равна нулю. Это совместные плотности вероятности на единицу длины, а не безразмерные вероятности в точках. Физическая совместимость спина всё ещё определяет, какое полное электронное состояние использует каждое пространственное сочетание.

Для ортонормированных различных орбиталей a и b симметричные и антисимметричные пространственные состояния являются

Полное состояние двух электронов должно быть антисимметричным при одновременном обмене координаты и спина. Таким образом, симметричное пространство сочетается со спиновым синглетом; антисимметричное пространство — со спиновым триплетом. Если оба электрона занимают орбиталь a, пространственный произведение является симметричным, и разрешён только спиновый синглет. Формулу нормировки для различных орбиталей нельзя просто использовать для случая a = b.

Обменяйте все пространственные и спиновые аргументы. Не путайте антисимметричное пространство с антисимметричным полным состоянием и не используйте фактор √2 для различных орбиталей при наличии двух идентичных орбиталей.

спин-синглет: Антисимметричное состояние двух спинов 1/2 с полным спином S=0.

детерминант Сlater: Антисимметричная фермионная конструкция из полных одночастичных состояний; дублирование состояний делает его равным нулю.