QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

Нулевое сдвиг энергии первого порядка может сосуществовать с изменением состояния и ненулевым сдвигом более высокого порядка.

Предварительные знания: 5, 24.

• Вычислять невыведенные сдвиги энергии первого порядка как нормированные значения ожиданий
• Использовать симметрию и матричные элементы для оценки пределов слабого взаимодействия
• Диагонализировать возмущение внутри точно вырожденного подпространства

Пусть H=H₀+λW, где λ — малый безразмерный параметр, а собственные состояния H₀ известны и нормированы. Для невырожденного уровня n поправка первого порядка к энергии равна λ⟨n|W|n⟩. В координатном представлении это λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx для мультипликативного потенциала с интегрированием по допустимой области. Значение потенциала в одной точке не является средним значением; плотность вероятности состояния взвешивает всю область. Для бесконечной ямы 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). Отражение относительно центра дает ⟨x⟩=L/2, поэтому слабое добавленное потенциальное поле γx вызывает сдвиг γL/2 для каждого невырожденного уровня ямы в первом порядке. γ имеет размерность энергии на длину.

Для возмущения, нечётного относительно центра, такого как γ(x−L/2), плотность вероятности собственного состояния невозмущённой ямы является чётной, поэтому её диагональное значение ожидания обращается в нуль. Вместо этого центрированное квадратичное возмущение η(x−L/2)² даёт сдвиг ηL²[1/12−1/(2π²n²)], который положителен при η>0 и зависит от n. Чётность обнуляет интеграл первого порядка только для конкретного состояния и симметрии оператора. Неперекрёстные матричные элементы всё ещё могут изменять волновую функцию. Не превращайте симметричную компенсацию в утверждение о том, что каждая энергетическая поправка обращается в ноль или что исходное состояние остаётся точным.

Для невырожденного состояния ведущая примесь другого невозмущенного состояния m пропорциональна λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). Поэтому полезным условием малости является сравнение матричных элементов связи с соответствующими разностями уровней, а не просто с произвольным абсолютным нулем энергии. Во втором порядке поправка к энергии содержит Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). Для самого нижнего невырожденного состояния все знаменатели отрицательны, поэтому поправка второго порядка неположительна в данной модели. Вблизи вырождения малый знаменатель нарушает работу разложения по невырожденным состояниям; вместо деления на ноль следует использовать связанное подпространство.

Если уровень H₀ является точно вырожденным, выберите ортонормированный базис в этом подпространстве и составьте эрмитову матрицу возмущения. Её собственные значения являются сдвигами энергии первого порядка, а собственные векторы определяют комбинации, диагонализующие ведущее расщепление. Для двумерного подпространства с возмущением ε[[2,1],[1,2]], нормированные симметричная и антисимметричная комбинации имеют сдвиги 3ε и ε. Чтение только двух диагональных элементов ошибочно предсказало бы два сдвига 2ε. Общее скалярное кратное единичной матрицы сдвигает оба состояния одинаково и не расщепляет их вырождение; связи вне подпространства могут быть важны на более высоких порядках.

Вырожденное подпространство требует диагонализации матрицы до вычисления сдвигов первого порядка. Предположим, что возмущение, ограниченное двумя состояниями, равно $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

Сдвиги равны ε и 3ε. Нормированные состояния — $(1,-1)/\sqrt2$ и $(1,1)/\sqrt2$. Чтение только диагональных элементов упустило бы расщепление. Связи с другими уровнями должны оставаться слабыми по сравнению с энергетическими зазорами.

Используйте нормированные веса состояний, сохраняйте размерность возмущения и диагонализируйте вырожденный блок. Компенсация первого порядка и точная инвариантность — это разные утверждения.

сдвиг энергии первого порядка: Ведущая поправка от слабого возмущения, определяемая средним значением для невозмущенного состояния.

теория возмущений для вырожденных состояний: Метод, который сначала диагонализирует возмущение внутри невозмущенного вырожденного подпространства.