FP2 · Further Pure Mathematics 2

Дополнительная чистая математика 2 (FP2, экзаменационный лист WFM02/01, 1 час 30 минут, 75 баллов, первая проверка знаний июня 2020) напрямую опирается на P1–P4 и FP1 и составляет одну шестую части Международного продвинутого уровня. Все модули имеют равный вес, поэтому материал FP2 может также встречаться в рамках «Дополнительной математики». Содержание, требуемое для P1–P4, остается актуальным: разложение на простейшие дроби, параметрическое и неявное дифференцирование, интегрирование методом подстановки и по частям, а также весь набор инструментов из FP1 по комплексным числам и доказательствам. Данное справочное руководство охватывает неравенства с модулем, метод разностей, формулу Эйлера и теорему де Муавра, множества значений и преобразования z→w, дифференциальные уравнения первого и второго порядка, ряды Маклорена и Тейлора, а также полярные координаты. дифференциальные уравнения, ряды Маклорена и Тейлора, а также полярные координаты.

Обязательные знания для FP2 (подразумеваются, не повторяются):

Два безопасных действия и одно запрещенное. Безопасно: разбить на случаи на основе определения модуля ($\lvert f\rvert = f$ там, где $f \ge 0$, $-f$ там, где $f < 0$), и возвести обе части $\lvert A\rvert > \lvert B\rvert$ для получения $A^2 > B^2$. Запрещено: умножать или делить на выражение, знак которого вы еще не определили — вместо этого разбейте на случаи по знаку и пересеките каждый случай с собственной областью определения.

Разобранное решение — отмирает одна ветвь (образец). Решите $\lvert x^2-1\rvert > 2(x+1)$. Там, где $x^2 \ge 1$: $x^2 - 2x - 3 > 0$, следовательно $(x-3)(x+1) > 0$, что дает $x > 3$ или $x < -1$; сохраняя только $x \le -1$ или $x \ge 1$, получаем $x < -1$ или $x > 3$. Там, где $x^2 < 1$: $1 - x^2 > 2x + 2$ превращается в $(x+1)^2 < 0$ — невозможно. Решение — $x < -1$ или $x > 3$. Мертвая ветвь является результатом, а не ошибкой: сообщите о ней.

Разобранное решение — модуль по обеим сторонам (WFM02 июнь 2025 вопрос 8). Кривая C задана уравнением $y = \dfrac{15x}{\lvert x\rvert + 4}$, а прямая l задана уравнением $y = x - 2$.

(a) Решите $x - 2 > \dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}$. Знаменатель всегда положителен, поэтому умножайте напрямую. Для $x \ge 0$: $(x-2)(x+4) > 15x$ дает $x^2 - 13x - 8 > 0$, значит $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ (другой корень отрицателен). Для $x < 0$: $(x-2)(4-x) > 15x$ дает $-x^2 - 9x - 8 > 0$, т.е. $(x+1)(x+8) < 0$, поэтому $-8 < x < -1$. Вместе: $-8 < x < -1$ или $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$.

(b) Решите $\lvert x-2\rvert > \left\lvert\dfrac{15x}{\lvert x\rvert+4}\right\rvert$. Обе части являются неотрицательными, поэтому возведите в квадрат и умножьте на $(\lvert x\rvert+4)^2$: неравенство примет вид $PQ > 0$, при этом $P = (x-2)(\lvert x\rvert+4) - 15x$ (выражение из части (a)) и $Q = (x-2)(\lvert x\rvert+4) + 15x$. Следовательно, $P$ и $Q$ должны иметь одинаковый знак. Недостаточно иметь «$P > 0$ или $Q < 0$». Для $x \ge 0$: $P = x^2 - 13x - 8$ и $Q = x^2 + 17x - 8$. Оба значения положительны для $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$ и отрицательны для $0 \le x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$. Для $x < 0$: $Q = -x^2 + 21x - 8$ отрицательно при любом $x < 0$, поэтому нам нужен $P < 0$, который равен $(x+1)(x+8) > 0$: $x < -8$ или $-1 < x < 0$. В совокупности: $x < -8$ или $-1 < x < \tfrac{\sqrt{321}-17}2$ или $x > \tfrac{13+\sqrt{201}}2$. (Проверка $x = -5$: $\lvert x-2\rvert = 7$, но не $\left\lvert\tfrac{-75}{9}\right\rvert = 8.3$, значит $-5$ исключено правильно.) Следовательно» здесь уместен: множитель из части (a) $P$ выполняет половину работы.

Метод телескопической суммы вычисляет ряд, разбивая общий член (обычно через разложение на простейшие дроби) так, чтобы каждый член сокращал часть последующего — средние слагаемые исчезают, и остаются только первый и последний фрагменты. Запишите $r = 1$, $r = 2$, $r = n-1$, $r = n$ явно и проследите за сокращениями; это отображение дает баллы.

Разобранный пример — телескопирование к замкнутой форме (WFM02 June 2025 Q5). Покажите $\displaystyle\sum_{r=1}^n \frac{1}{(r+1)(r+2)} = \frac{n}{2(n+2)}$. Разложите:

Сумма равна $\left(\tfrac12 - \tfrac13\right) + \left(\tfrac13 - \tfrac14\right) + \cdots + \left(\tfrac1{n+1} - \tfrac1{n+2}\right)$: everything from $\tfrac13$ to $\tfrac1{n+1}$ сокращается, оставляя $\tfrac12 - \tfrac1{n+2} = \tfrac{n}{2(n+2)}$. (Проверьте $n = 1$: обе стороны $\tfrac16$.) Так же строятся задачи на неравенства: для $\dfrac{n}{2(n+2)} > 0.49$ необходимо $n > 98$, поэтому минимум равен $n = 99$ — это алгебра, а не таблица значений.

Формула Эйлера $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ переводит полярную форму в показательную: $z = re^{i\theta}$, и $z^n = r^ne^{in\theta}$ становится чистой арифметикой. Выпишите сопутствующие соотношения $\cos\theta = \tfrac12(e^{i\theta} + e^{-i\theta})$ и $\sin\theta = \dfrac1{2i}(e^{i\theta} - e^{-i\theta})$. Теорема Муавра $(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta$ следует из нее и доказуема для любого положительного целого числа $n$ методом математической индукции: верно для $n = 1$; если верно для $k$, умножая $(\cos k\theta + i\sin k\theta)(\cos\theta + i\sin\theta)$ и раскрывая скобки с использованием формул сложения формулы дают $\cos(k+1)\theta + i\sin(k+1)\theta$. Для отрицательных $n$ возьмите обратные величины и заметьте, что $\cos(-n\theta) + i\sin(-n\theta)$ имеет модуль 1 и правый аргумент.

Разобранная задача — тождество для кратного угла (WFM02, июнь 2025, вопрос 9). Разложите мнимую часть $(\cos\theta + i\sin\theta)^5$ с помощью бинома Ньютона:

По формуле Муавра это равно $\sin 5\theta$. Подставляя $c^2 = 1 - s^2$: $5s(1-s^2)^2 - 10s^3(1-s^2) + s^5 = 16s^5 - 20s^3 + 5s$, поэтому

Приравнивая $5\theta = \pi$ к $16s^4 - 20s^2 + 5 = 0$, получаем $s^2 = \tfrac{5\pm\sqrt5}8$ и $\sin\tfrac\pi5 = \sqrt{\tfrac{5-\sqrt5}8} = \tfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ — выберите меньший корень так как $\sin\tfrac\pi5 < \sin\tfrac{3\pi}5$, а также $\sin\tfrac{3\pi}5$ является большим корнем.

Разобранная задача — корни пятой степени (WFM02, июнь 2025, вопрос 1). Решите $z^5 = -2\sqrt2 - 2\sqrt6i$. Модуль $\sqrt{8 + 24} = \sqrt{32} = 4\sqrt2$; аргумент равен $-\tfrac{2\pi}3$ (третья четверть, $\tan = \sqrt3$). Следовательно,

пять корней, расположенных через $\tfrac{2\pi}5$ на окружности $\lvert z\rvert = \sqrt2$. Используйте $n$-й корень из паттерна $\sqrt[n]{r}\,e^{i(\theta + 2\pi k)/n}$ — никогда десятичные приближения.

Набор инструментов для построения локусов на диаграмме Аранда: $\lvert z - a\rvert = b$ представляет собой окружность (центр $a$, радиус $b$); $\lvert z - a\rvert = \lvert z - b\rvert$ является серединой перпендикуляром к отрезку $a$ и $b$; $\lvert z - a\rvert = k\lvert z - b\rvert$ при условии $k \ne 1$ образует окружность (возведите обе части в квадрат и соберите слагаемые); $\arg(z - a) = \beta$ — луч, исходящий из точки $a$. Области заменяют знак «=» на < or >: проверьте одну удобную точку (начало координат редко лежит на локусе). Для Преобразования Мёбиуса $w = \dfrac{az+b}{cz+d}$ со знаменателем $ad-bc\ne0$: сначала выберите удобную алгебраическую форму, а не полагайтесь только на пошаговую подстановку; выразите $z$ как главную переменную, затем возьмите модули (или аргументы) обеих частей. Когда $c\ne0$ представляет собой окружность, проходящая через полюс $z = -\tfrac dc$, отображается в прямую; окружность, не проходящая через полюс отображается в окружность.

Разобранное решение — образ окружности (WFM02 June 2025 Q3). $w = \dfrac{9i - iz}{1+z}$ ($z \ne -1$) отображает P, где $\lvert z\rvert = 1$, в прямую l. Выразив $z$: $z(w + i) = 9i - w$, следовательно $z = \dfrac{9i - w}{w+i}$. Затем $\lvert z\rvert = 1$ приводит к

так что $20v = 80$ и l является $v = 4$ — серединным перпендикуляром к отрезку между $9i$ и $-i$, как и предсказывает условие равенства модулей. Проверьте концы вертикального диаметра: $z = i \mapsto 5 + 4i$ и $z = -i \mapsto -5 + 4i$; оба переходят в $v = 4$.

Предполагаются уравнения с разделяющимися переменными. Новая стандартная форма имеет вид $\dfrac{dy}{dx} + Py = Q$ с $P, Q$ функциями от $x$: умножьте на интегрирующий множитель $e^{\int P\,dx}$, выбранный так, чтобы левая часть приняла вид $\dfrac d{dx}\left(ye^{\int P\,dx}\right)$, затем проинтегрируйте один раз. Для заданной замены (например, $z = f(y)$) вычислите $\dfrac{dz}{dx}$ по правилу дифференцирования сложной функции, перепишите уравнение через $z$ и $x$, решите полученное (теперь линейное или с разделяющимися переменными) уравнение и вернитесь к исходным переменным — задание указывает целевую форму, поэтому завершите решение именно в ней.

Разобранное решение — подготовка к интегрирующему множителю. $\dfrac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$: $e^{\int 2\,dx} = e^{2x}$, значит $\dfrac d{dx}(ye^{2x}) = e^x$ и $ye^{2x} = e^x + C$, i.e. $y = e^{-x} + Ce^{-2x}$.

Разбор примера — подстановка, затем интегрирующий множитель (WFM02 June 2025 Q6). Уравнение (I) представляет собой $2\dfrac{dy}{dx} + y\cot x + y^3\tan x\sec x = 0$ относительно $0 < x < \tfrac\pi2$.

(a) При использовании $z = \tfrac1{y^2}$, получаем $\dfrac{dz}{dx} = -2y^{-3}\dfrac{dy}{dx}$, поэтому $2\dfrac{dy}{dx} = -y^3\dfrac{dz}{dx}$. Подстановка и деление на $y^3$: $-\dfrac{dz}{dx} + y^{-2}\cot x + \tan x\sec x = 0$, i.e.

(b) Интегрирующий множитель равен $e^{-\int\cot x\,dx} = \csc x$, следовательно, $\dfrac d{dx}(z\csc x) = \csc x\tan x\sec x = \dfrac1{\cos^2x} = \sec^2x$. Отсюда следует $z\csc x = \tan x + C$, что дает $z = \sin x\tan x + C\sin x$ и

(c) При значении $x = \tfrac\pi6$: $y^2 = \tfrac{4\sqrt3}3$, значит $z = \tfrac{\sqrt3}4 = \tfrac12\cdot\tfrac1{\sqrt3} + \tfrac C2$, вынуждая $C = \tfrac1{2\sqrt3}$. В точке $x = \tfrac\pi3$: $z = \tfrac{\sqrt3}2\cdot\sqrt3 + \tfrac1{2\sqrt3}\cdot\tfrac{\sqrt3}2 = \tfrac32 + \tfrac14 = \tfrac74$, следовательно $y^2 = \tfrac47$ и $y = \pm\dfrac2{\sqrt7}$. Оба знака являются решениями — знак $y^2$, а не $y$, был определен однозначно.

Для выражения $a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x)$ общее решение имеет вид $\text{CF} + \text{PI}$: дополнительная функция решает однородное уравнение с помощью вспомогательного уравнения $am^2 + bm + c = 0$; частное решение является любым отдельным решением полного уравнения.

При заданных начальных или граничных условиях найдите константы в последнюю очередь из общего решения.

Разобранный пример — резонанс, затем условия (WFM02 June 2025 Q4). Дано, что $y = \lambda xe^{3x}$ является частным решением $4\dfrac{d^2y}{dx^2} - 11\dfrac{dy}{dx} - 3y = 78e^{3x}$:

(a) $y' = \lambda e^{3x}(1 + 3x)$ и $y'' = \lambda e^{3x}(6 + 9x)$, поэтому левая часть равна $\lambda e^{3x}\big(24 + 36x - 11 - 33x - 3x\big) = 13\lambda e^{3x}$. Приравнивая $78e^{3x}$ получаем $\lambda = 6$. (Обычная пробная функция $\lambda e^{3x}$ дала бы $0\cdot e^{3x}$ — отсюда необходимость дополнительного множителя $x$.)

(b) Характеристическое уравнение $4m^2 - 11m - 3 = (4m+1)(m-3) = 0$, следовательно, $m = -\tfrac14$ или $3$: $y = Ae^{-x/4} + Be^{3x} + 6xe^{3x}$.

(c) Подставляя $y = \tfrac92$ и $y' = 0$ при $x = 0$: $A + B = \tfrac92$ и $-\tfrac A4 + 3B + 6 = 0$. Решая систему, получаем $A = 6$, $B = -\tfrac32$, откуда

Ряд Маклорена для $f$ имеет вид $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ — дифференцируйте столько раз, сколько требует вопрос (третья и более производные являются самостоятельными экзаменационными темами). Ряд Тейлора относительно $x = a$ заменяет $x$ на смещение: $\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$. Для дифференциальное уравнение, дифференцируйте само уравнение, чтобы подниматься по лестнице производных: $y(a)$ и $y'(a)$ подставляют в уравнение для $y''(a)$, затем производную уравнения для $y'''(a)$, и так далее — никогда не выводите заново, только дифференцируйте.

Разобранный пример — решение в виде ряда для ненулевого центра (WFM02 June 2025 Q2). Дано $\dfrac{d^2y}{dx^2} - 4\dfrac{dy}{dx} - 5y = e^{2x/9}$ при $y = 2$ и $y' = -1$ в точке $x = 3$:

в точке $x = 3$: $y'' = 4y' + 5y + e^{2/3} = -4 + 10 + e^{2/3} = 6 + e^{2/3}$, поэтому квадратичный член равен $\tfrac12(6 + e^{2/3})(x-3)^2 = (3 + \tfrac12e^{2/3})(x-3)^2$. Дифференцируя уравнение, $y''' = 4y'' + 5y' + \tfrac29e^{2x/9}$, следовательно, в точке $x = 3$: $y''' = 4(6 + e^{2/3}) - 5 + \tfrac29e^{2/3} = 19 + \tfrac{38}9e^{2/3}$, а кубический член равен $\tfrac16y'''(x-3)^3$. Ряд имеет вид

В полярных координатах точка определяется как $(r, \theta)$ с углом $r \ge 0$, отсчитываемым от начальной линии (положительного направления оси $x$, угол $\theta$ отсчитывается против часовой стрелки). Перевод осуществляется по формулам $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $r^2 = x^2 + y^2$: например, $r = 4\cos\theta$ соответствует $r^2 = 4r\cos\theta$, т. е. $x^2 + y^2 = 4x$ — это окружность $(x-2)^2 + y^2 = 4$. Запомните стандартные эскизы: $r = 2a\cos\theta$ (окружность на начальной линии, проходящая через полюс), $r = k\theta$ (спираль), $r = a(1+\cos\theta)$ (кардиоида), $r = a\cos2\theta$ (четыре лепестка), $r^2 = a^2\cos2\theta$ (лемниската, существующая только там, где $\cos2\theta \ge 0$). Площадь, описанная дугой от $\theta = \alpha$ к $\beta$ равно $\tfrac12\displaystyle\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$; касательные параллельные начальной линии возникают там, где $\dfrac{dy}{d\theta} = \dfrac{dr}{d\theta}\sin\theta + r\cos\theta = 0$.

Разобранный пример — точные площади. Вся лемниската $r^2 = 8\cos2\theta$: в силу симметрии правая петля равна $\tfrac12\int_{-\pi/4}^{\pi/4}8\cos2\theta\,d\theta = 4\Big[\tfrac12\sin2\theta\Big]_{-\pi/4}^{\pi/4} = 4$, значит обе петли охватывают общую площадь $8$. Кардиоида $r = 2(1+\cos\theta)$: $\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}4(1+\cos\theta)^2d\theta = 2\int_{-\pi}^{\pi}(1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta)d\theta = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$, поскольку $\int_{-\pi}^\pi\cos^2\theta\,d\theta = \pi$.

• Решать неравенства с модулем методом разбора случаев и возведением в квадрат; обрабатывать $|x|$ в знаменателях; отмечать тупиковые ветви; использовать предыдущую часть при наличии слова «hence» (отсюда).
• Суммировать конечные ряды методом дробей и сокращений, записывая $r = 1, 2, n-1, n$ строк; завершить последующее неравенство алгебраическими преобразованиями.
• Использовать $e^{i\theta}$, экспоненциальные формы $\cos$ и $\sin$, а также формулу Муавра (доказанную для целых $n$) для раскрытия кратных углов и степеней, а также для нахождения всех $n$-х корней в точном полярном виде.
• Строить окружности, биссектрисы, окружности Аполлония и лучи аргумента; проверять области; выразить $z$ как функцию преобразования Мёбиуса и приравнять модули или аргументы.
• Решать $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ с помощью интегрирующего множителя; выполнять заданные подстановки и давать ответ в требуемом виде, учитывая $\pm$ из $y^2$.
• Решать уравнения второго порядка через вспомогательное уравнение и метод частных решений (включая резонанс с умножением на $x$), затем подобрать начальные условия.
• Составлять ряды Маклорена и Тейлора, включая решения дифференциальных уравнений рядами путем дифференцирования самого уравнения.
• Строить полярные базовые кривые, переходить от декартовых координат к полярным и обратно, а также вычислять точные площади с использованием $\frac12\int r^2\,d\theta$.