P2 · Pure Mathematics 2

Чистая математика 2 (P2) — второй обязательный модуль International AS Mathematics и International AS Pure Mathematics, а также обоих путей International A Level. Данная ссылка охватывает все темы P2 по спецификации Edexcel IAL (выпуск 3, апрель 2019): доказательство, теоремы о остатке и делителе, геометрия окружности, последовательности и ряды, показательные и логарифмические функции, тригонометрические тождества и уравнения, стационарные точки и интегрирование, включая площади и правило трапеции.

• Билет P2 (WMA12/01) длится 1 час 30 минут с 75 баллами. Знание P1 и его формул предполагается и может быть проверено в билете P2.
• Те же правила использования калькулятора и желтой Справочной таблицы математических формул и статистических данных, что и для P1. Нижеприведенные формулы не включены в справочник — выучите их наизусть.
• Вопросы «покажите все этапы решения» не принимают ответы, полученные исключительно с помощью калькулятора; требуетсяProvide приближенные ответы до 3 значащих цифр, если не указано иное.

Формулы, которые необходимо знать для P2 (из информации об оценке в спецификации):

Доказательство начинается с заданных предпосылок и последовательно приводит к выводу. Для P2 используются три метода:

• Доказательство перебором: разбейте возможные варианты на случаи и проверьте каждый из них.
• Опровержение контрпримером: один пример, опровергающий утверждение, доказывает его ложность.
• Алгебраическое доказательство: начните с того, что дано, преобразуйте тождества (не уравнения для решения) и завершите целевым утверждением.

Разобранный пример — метод исчерпания (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 Q10). Докажите, что для всех положительных целых чисел $m$, которые не делятся на 3, значение выражения $m^2 + 3m + 2$ всегда является кратным 3.

• Сначала разложите на множители: $m^2 + 3m + 2 = (m+1)(m+2)$.
• Положительное целое число, не делящееся на 3, может быть либо $m = 3q + 1$, либо $m = 3q + 2$ — это все возможные случаи, поэтому их перебор доказывает утверждение.
• Случай $m = 3q + 1$: $(m+1)(m+2) = (3q+2)(3q+3) = 3(3q+2)(q+1)$ — это кратное 3.
• Случай $m = 3q + 2$: $(m+1)(m+2) = (3q+3)(3q+4) = 3(q+1)(3q+4)$ — это кратное 3.
• Оба случая дают кратное 3, поэтому $3 \mid m^2+3m+2$ всегда $3 \nmid m$. $\blacksquare$
• Проверка: $m = 1$: $6 = 3 \times 2$ ✓; $m = 2$: $12 = 3 \times 4$ ✓; $m = 4$: $30$ ✓; $m = 5$: $42$ ✓.

Разобранный пример — контрпример. Опровергнуть утверждение: «$n^2 - n + 1$ является простым числом для всех целых $n \ge 2$."

• Достаточно одного контрпримера. Попробуем $n = 5$: $25 - 5 + 1 = 21 = 3 \times 7$, что не является простым числом.
• Утверждение ложно. Проверка значений $n = 2,3,4$ даёт простые числа $3, 7, 13$ — закономерность выполняется сначала, что именно причина, по которой один контрпример, а не дополнительные примеры, решают вопрос.

Для многочлена $f(x)$:

• Теорема о делителе: $(x - b)$ является делителем $f(x)$ тогда и только тогда, когда $f(b) = 0$. Для делителей вида $(ax - b)$: если $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right) = 0$, то $(ax - b)$ является делителем.
• Теорема об остатке: при делении $f(x)$ на $(ax - b)$ в остатке получается $f\!\left(\tfrac{b}{a}\right)$.
• Алгебраическое деление на $(ax \pm b)$ дает частное и остаток; степень уменьшается на единицу: $f(x) = (ax - b) \times (\text{quotient}) + \text{remainder}$.

Разобранное решение — обе теоремы сразу (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 Q4). $f(x) = ax^3 + bx^2 + 5x - 3$, где $(x+3)$ является делителем $f(x)$, а при делении $f(x)$ на $(2x - 1)$ в остатке остается 7.

(a) Докажите, что $b = 3a + 2$.

• Теорема о делителе: $f(-3) = 0$:
  $$a(-27) + b(9) + 5(-3) - 3 = 0 \implies -27a + 9b - 18 = 0 \implies b = 3a + 2$$

(b) Найдите $a$ и $b$.

• Теорема о остатке с $(2x-1)$: $f\!\left(\tfrac12\right) = 7$:
  $$\frac{a}{8} + \frac{b}{4} + \frac{5}{2} - 3 = 7 \implies \frac{a}{8} + \frac{b}{4} = 7.5 \implies a + 2b = 60$$
• Подставьте $b = 3a + 2$: $a + 6a + 4 = 60$, тогда $a = 8$ и $b = 26$.
• Проверка: $f(x) = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$; $f(-3) = -216 + 234 - 15 - 3 = 0$ ✓ и $f(\tfrac12) = 1 + 6.5 + 2.5 - 3 = 7$ ✓.

(c) Частное и остаток при делении $f(x)$ на $(x - 2)$.

• Разделите $8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ на $(x-2)$: частное $8x^2 + 42x + 89$, остаток $175$.
• Проверка восстановлением: $(x-2)(8x^2+42x+89) + 175 = 8x^3 + 42x^2 + 89x - 16x^2 - 84x - 178 + 175 = 8x^3 + 26x^2 + 5x - 3$ ✓. The remainder also equals $f(2) = 64 + 104 + 10 - 3 = 175$ ✓.

Окружность с центром $(a, b)$ и радиусом $r$ имеет уравнение

Заданная в развёрнутом виде $x^2 + y^2 + fx + gy + c = 0$, дополните до полного квадрата, чтобы найти центр $\left(-\tfrac f2, -\tfrac g2\right)$ и $r^2 = \tfrac{f^2 + g^2}{4} - c$. Рассматриваются три свойства окружности: свойства рассматриваются:

• перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам;
• касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.
• касательная перпендикулярна радиусу в точке касания.

соединяющая 12 и 2025, является диаметром окружности 2. Отрезок, соединяющий $(-2, 5)$ и $(4, 15)$, является диаметром окружности $C$.

(a) Уравнение $C$.

• Центр — это середина: $\left(\tfrac{-2+4}{2}, \tfrac{5+15}{2}\right) = (1, 10)$.
• Квадрат диаметра: $d^2 = (4-(-2))^2 + (15-5)^2 = 36 + 100 = 136$, следовательно, $r^2 = 136 \div 4 = 34$.
  $$(x - 1)^2 + (y - 10)^2 = 34$$
• Проверка: оба конца отрезка удовлетворяют уравнению: $(-3)^2 + (-5)^2 = 34$ ✓ и $3^2 + 5^2 = 34$ ✓.

(б) Точные координаты точки на $C$, ближайшей к оси $x$.

• Ближайшая точка лежит на вертикальном радиусе: та же координата $x$, что и у центра, но $r$ ниже него:
  $$(1,\ 10 - \sqrt{34})$$
• Проверка: $(1-1)^2 + (10-\sqrt{34}-10)^2 = 34$ ✓, и меньшее значение $y$ невозможно, поскольку центр находится на высоте $10 > \sqrt{34}$ над осью.

Последовательность может быть задана формулой для $n$-го члена или рекуррентным соотношением $x_{n+1} = f(x_n)$. Опишите её как возрастающую, убывающую или периодическую (по значениям членов, а не по формуле).

Арифметические последовательности: постоянная разность $d$.

Доказательство формулы суммы (записать $S_n$ вперед и назад, сложить) следует знать, как и $\Sigma$ нотацию.

Геометрические последовательности: постоянный множитель $r$.

Доказательство формулы суммы (телескопирующая сумма $S_n - rS_n$) следует знать. Используйте логарифмы для решения уравнения относительно $n$, если задано значение члена.

Бином Ньютона для положительного целого показателя $n$:

Разобранный пример — геометрическая прогрессия с логарифмами (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 вопрос 7). Геометрическая прогрессия начинается со $10 + 8 + 6.4 + \cdots$

(а) Сумма бесконечного ряда.

• $a = 10$, $r = 8/10 = 0.8$ и $|r| < 1$:
  $$S_\infty = \frac{a}{1-r} = \frac{10}{1 - 0.8} = 50$$

(б) $k$-й член меньше 0.0005 — найдите наименьшее $k$ алгебраическим путём.

• $k$-й член равен $10(0.8)^{k-1}$:
  $$10(0.8)^{k-1} < 0.0005 \implies (0.8)^{k-1} < 0.00005$$
• Прологарифмируйте (логарифм числа меньше 1 отрицателен — сохраните направление неравенства при делении на него):
  $$(k-1)\log 0.8 < \log 0.00005 \implies k - 1 > \frac{\log 0.00005}{\log 0.8} = 44.38\ldots$$
• Тогда $k > 45.38$, а наименьшее целое число — $k = 46$.
• Проверка: $10(0.8)^{45} = 0.000436\ldots < 0.0005$ ✓, но $10(0.8)^{44} = 0.000544\ldots > 0.0005$ ✓.

Разобранный пример — максимальная сумма арифметической прогрессии (адаптировано из того же задания). Арифметическая прогрессия начинается со $850 + 843 + 836 + \cdots$ ($d = -7$). Её наибольшая частичная сумма:

• Члены остаются положительными до $u_n = 850 - 7(n-1) > 0$, значит $n \le 122.4$; 122-й член равен $850 - 7(121) = 3 > 0$, а 123-й — $-4 < 0$.
  $$S_{122} = \frac{122}{2}\big(2(850) + 121(-7)\big) = 61(1700 - 847) = 61 \times 853 = 52\,033$$
• Проверка: прибавление отрицательного 123-го члена уменьшит сумму, поэтому $S_{122}$ является максимумом ✓.

$y = a^x$ ($a > 0$, $a \ne 1$) проходит через $(0, 1)$ и неограниченно возрастает при $a > 1$. Функция логарифм $\log_a x$ инвертирует его: $\log_a x = y$ означает $a^y = x$. Запомните:

и $\log_a \tfrac1x = -\log_a x$. Решите $a^x = b$ с помощью $x = \log_a b$ (возможно применение формулы перехода к новому основанию). Всегда проверяйте кандидаты на соответствие области определения: логарифмы требуют положительных аргументов. использовано). Всегда проверяйте кандидатов на соответствие области определения: аргументы логарифмов должны быть положительными.

Разобранный пример — логарифмическое уравнение (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 Q6). Решите $2\log_2(4 - x) = 3 + \log_2\!\left(\dfrac{x + 11}{2}\right)$.

• Приведите всё к одному логарифму на каждой стороне:
  $$\log_2(4-x)^2 = \log_2 8 + \log_2\!\left(\frac{x+11}{2}\right) = \log_2\big(4(x+11)\big)$$
• Равные логарифмы дают равные аргументы:
  $$(4-x)^2 = 4(x+11) \implies x^2 - 8x + 16 = 4x + 44 \implies x^2 - 12x - 28 = 0$$
  $$(x - 14)(x + 2) = 0 \implies x = 14 \ \text{or}\ x = -2$$
• Проверка области определения: $4 - x > 0$ требует $x < 4$, поэтому $x = 14$ отбрасывается. $x = -2$.
• Проверка: LHS $= 2\log_2 6$; RHS $= 3 + \log_2(4.5) = \log_2(8 \times 4.5) = \log_2 36 = 2\log_2 6$ ✓.

Разбор примера — точное пересечение в форме $\log_3$ (тот же вопрос). Кривые $y = 3^{2x+1}$ и $y = 6 \times 3^x$ пересекаются в точке $P$; запишите $P$ как $(\log_3 a, b)$.

• Приравняйте и подставьте $u = 3^x$:
  $$3\cdot 3^{2x} = 6 \cdot 3^x \implies 3u^2 = 6u \implies u = 2 \implies 3^x = 2 \implies x = \log_3 2$$
  $$y = 6 \times 3^x = 6 \times 2 = 12$$
• $P = (\log_3 2,\ 12)$, so $a = 2$, $b = 12$. Check: $3^{2\log_3 2 + 1} = 3 \cdot 3^{2\log_3 2} = 3 \cdot 4 = 12$ ✓.

Два тождества позволяют переходить между синусом, косинусом и тангенсом:

Решайте тригонометрические уравнения на заданном интервале, сводя их к одной функции (часто скрытому квадратному), затем находя второе решение из симметрии графика. Укажите интервал, работайте в его единицах (градусах или радианах) и отбрасывайте значения вне него.

Разбор примера — радианы и точные дроби (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 June 2025 Q8). Решите уравнение $3\tan\!\left(2x + \dfrac{\pi}{5}\right) = \sqrt3$ для $0 \le x < \pi$.

• Разделите на 3: $\tan\left(2x + \tfrac{\pi}{5}\right) = \dfrac{1}{\sqrt3}$, и $\tan\frac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt3}$:
  $$2x + \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{6} + k\pi \implies 2x = -\frac{\pi}{30} + k\pi \implies x = -\frac{\pi}{60} + \frac{k\pi}{2}$$
• В $0 \le x < \pi$: $x = \dfrac{29\pi}{60}$ (k = 1) и $x = \dfrac{59\pi}{60}$ (k = 2).
• Check: at $x = \frac{29\pi}{60}$: $2x + \frac\pi5 = \frac{7\pi}{6}$ and $\tan\frac{7\pi}{6} = \tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt3}$ ✓.

Разбор примера — скрытый квадратный в косинусе (тот же вопрос). Решите $5\sin\theta\tan\theta = \cos\theta + 4$ для $0 \le \theta < 360°$.

• Замените $\tan\theta = \sin\theta/\cos\theta$ и умножьте обе части на $\cos\theta$:
  $$\frac{5\sin^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta + 4 \implies 5\sin^2\theta = \cos^2\theta + 4\cos\theta$$
• Примените $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$:
  $$5(1 - \cos^2\theta) = \cos^2\theta + 4\cos\theta \implies 6\cos^2\theta + 4\cos\theta - 5 = 0$$
• Формула корней квадратного уравнения в $\cos\theta$:
  $$\cos\theta = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 120}}{12} = \frac{-2 \pm \sqrt{34}}{6}$$
• Корень $-$ меньше $-1$ (не подходит); $\cos\theta = 0.6385$ даёт $\theta = 50.3°$, а из симметрии косинуса следует $\theta = 360° - 50.3° = 309.7°$.
• Проверка: $\cos 50.3° = 0.638$ ✓; оба угла принадлежат промежутку ✓.

Стационарные точки имеют $\dfrac{dy}{dx} = 0$. Классифицируйте по знаку производной:

• производная меняет знак с $+$ на $-$: максимум;
• производная меняет знак с $-$ на $+$: минимум;
• вторая производная помогает: $f''(x) > 0$ в точке подтверждает минимум, $f''(x) < 0$ — максимум.

Функция возрастает, где $f'(x) > 0$, и убывает, где $f'(x) < 0$. Прикладные задачи — минимальный расход материала, наименьшие затраты — сводятся к нахождению минимума выражения одной переменной.

Разобранный пример — моделирование минимума (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 вопрос 9). Открытый желоб имеет торцевые поверхности в виде прямоугольных треугольников с катетами $3x$ и $2x$ (метры), боковые прямоугольные грани $3x \times L$ и $2x \times L$, а объём составляет $12\ \text{m}^3$. Площадь металла равна $S\ \text{m}^2$.

(a) Докажите, что $S = 6x^2 + \dfrac{20}{x}$.

• Объём: поперечное сечение $\times$ длина $= \tfrac12(3x)(2x) \times L = 3x^2L = 12$, поэтому $L = \dfrac{4}{x^2}$.
• Площадь поверхности: два треугольника плюс два прямоугольника:
  $$S = 2 \times \tfrac12(3x)(2x) + 3xL + 2xL = 6x^2 + 5x \cdot \frac{4}{x^2} = 6x^2 + \frac{20}{x}$$

(b) Минимум $S$ методом дифференциального исчисления.

(c) Обоснуйте минимум.

• Положительная вторая производная на всей области определения: стационарная точка является минимумом ✓.
• Проверка: при $x = 1.1856$, $\frac{d^2S}{dx^2} = 12 + 40/(5/3) = 12 + 24 = 36 > 0$ ✓.

Вычислите определённые интегралы с использованием основной теоремы анализа:

Определённый интеграл равен площади под кривой для $y \ge 0$. Для области ограниченная кривой и прямой, интегрируйте разность (верхняя − нижняя) между точками их пересечения, разбивая интеграл там, где меняется их взаимное расположение. Определите, какой график расположен выше другого.

Разобранный пример — площадь между кривой и прямой (адаптировано из Edexcel IAL WMA12 июнь 2025 Q3). $C$: $y = 3x + \dfrac{16}{x^2} - 8$ ($x > 0$) с $P(1, 11)$ и $Q(4, 5)$ на $C$; найдите площадь между $C$ и отрезком прямой $PQ$.

• Прямая $PQ$: угловой коэффициент $\dfrac{5-11}{4-1} = -2$, следовательно $y - 11 = -2(x - 1) \implies y = -2x + 13$.
• Проверка $Q$: $-8 + 13 = 5$ ✓.
• Площадь под прямой: $\displaystyle\int_1^4 (-2x + 13)\,dx = \left[-x^2 + 13x\right]_1^4 = 36 - 12 = 24$.
• Площадь под кривой: $\displaystyle\int_1^4 \left(3x + 16x^{-2} - 8\right)dx = \left[\tfrac32x^2 - \tfrac{16}{x} - 8x\right]_1^4 = (24 - 4 - 32) - (\tfrac32 - 16 - 8) = 10.5$.
• Площадь области: $24 - 10.5 = \mathbf{13.5}$ квадратных единиц.
• Проверка: прямая проходит выше кривой на всём отрезке (при x=$x = 2$: значение прямой $9$, значение кривой $3(2) + 4 - 8 = 2$), поэтому вычитание из значения прямой значения кривой — верный порядок ✓.

Правило трапеций оценивает площадь через $n$ полос шириной $h$:

Большее количество полос (или более прямая кривая) улучшает оценку; выпуклая вверх кривая (выпуклая, U-образная, как $x^2$) оставляет все хорды выше себя, поэтому правило даёт завышенную оценку, а кривая, выпуклая вниз (вогнутая, как $\sqrt x$ или дуга окружности), оставляет хорды ниже себя, поэтому правило даёт заниженную оценку.

Разобранный пример — правило трапеций с таблицей. Оцените $\displaystyle\int_1^3 \frac{1}{x}\,dx$ с помощью 4 полос.

• Четыре полосы на интервале $[1, 3]$ дают шаг $h = 0.5$ и пять значений функции $y = \dfrac1x$: при x=$x = 1,\ 1.5,\ 2,\ 2.5,\ 3$ эти значения равны $1,\ 0.6667,\ 0.5,\ 0.4,\ 0.3333$.
  $$\int_1^3 \frac1x\,dx \approx \frac{0.5}{2}\big[1 + 0.3333 + 2(0.6667 + 0.5 + 0.4)\big] = 0.25 \times 4.4667 = 1.12$$
• Точное значение равно $\ln 3 = 1.099$ (3 значащие цифры). Оценка является завышенной: $y = 1/x$ выпукла (она направлена вогнутостью вверх), поэтому каждая прямая полоса лежит выше кривой ✓.

• Структурируйте доказательство; используйте метод исчерпания для полных случаев; опровергайте одним контрпримером.
• Применяйте теорему о делителе и теорему об остатке, включая делители $(ax - b)$, и выполняйте алгебраическое деление с получением частного и остатка.
• Найдите центр и радиус окружности по любой из форм; используйте три свойства окружности.
• Используйте формулы $a_n$, $S_n$ и $S_\infty$ для арифметических и геометрических прогрессий (доказательство обеих сумм). Обозначение $\Sigma$ и логарифмы для нахождения $n$.
• Раскройте $(a + bx)^n$ с биномиальными коэффициентами и сопоставьте с заданными коэффициентами.
• Решите логарифмические уравнения, используя три правила, проверяя области определения; укажите пересечения точно как $(\log_a b, c)$ при запросе.
• Упростите тригонометрические уравнения с помощью $\tan = \sin/\cos$ и $\sin^2 + \cos^2 = 1$; решите в градусах или радианах согласно условию, перечислив все решения на интервале.
• Найдите и классифицируйте стационарные точки; обоснуйте изменением знака или второй производной; составьте моделирование минимумов по одной переменной.
• Вычислите определенные интегралы; найдите площади под кривыми и между кривой и прямой; примените правило трапеции из таблицы и укажите направление погрешности.