P1 · Pure Mathematics 1

Чистая математика 1: набор инструментов, используемый каждым последующим модулем

Чистая математика 1 (P1) — первый обязательный модуль как Международного AS, так и Международного уровня A по математике, а также Международного A Level по чистой математике. Эта ссылка охватывает каждый Тема P1 в спецификации Edexcel IAL (выпуск 3, апрель 2019): алгебра и функции, координаты геометрия, тригонометрия, дифференцирование и интегрирование.

• Билет P1 (WMA11/01) длится 1 час 30 минут и содержит 75 баллов, при этом необходимо ответить на все вопросы. В последних билетах было десять вопросов, за каждый из которых даётся от 5 до 11 балла.
• Можно использовать калькулятор, но не тот, который выполняет символьную алгебру, символьное дифференцирование или интегрирование, а также хранит формулы в памяти.
• Выдается желтая брошюра Математические формулы и статистические таблицы. Формулы из таблицы «Нужно знать» ниже не приведены в этой брошюре, поэтому их необходимо запомнить.
• Неприближенные ответы приводите с точностью до 3 значащих цифр, если иное не указано. Если в вопросе сказано "покажите все этапы решения", ответ, полученный только на калькуляторе, не оценивается.

Формулы, которые нужно знать для P1 (из оценочной информации спецификации):

Формула	Применение
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$	корни уравнения $ax^2 + bx + c = 0$
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$	теорема синусов
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$	теорема косинусов
площадь $= \tfrac{1}{2}ab\sin C$	площадь треугольника
длина дуги $s = r\theta$, площадь сектора $= \tfrac{1}{2}r^2\theta$	$\theta$ в радианах
$\dfrac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$	правило дифференцирования степенной функции
$\displaystyle\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c \quad (n \neq -1)$	правило интегрирования степенной функции

Алгебра и функции

Показатели степени и корни

Законы показателей степени справедливы для всех рациональных показателей:

Дробные степени — это корни: $a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$, поэтому $a^{1/2} = \sqrt{a}$ и $a^{1/3} = \sqrt[3]{a}$. Отрицательная степень означает обратное число: $a^{-1} = 1/a$. Обычно требуется записать ответ в виде $kx^n$, где константы $k$ и $n$ полностью упрощены.

Разобранный пример — три преобразования показателей (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос 1). Задано $p = \dfrac{x^4}{16}$ и $q = \dfrac{40}{3x}$; запишите каждое выражение в виде $kx^n$.

(a) $p^{\frac{1}{2}}$.

• Известно: $p = x^4/16$, а показатель $\tfrac12$ означает квадратный корень.
  $$p^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{x^4}{16}} = \frac{\sqrt{x^4}}{\sqrt{16}} = \frac{x^2}{4}$$
• Проверка: возведение ответа в квадрат дает $(x^2/4)^2 = x^4/16 = p$.

(b) $(pq)^{-1}$.

• Известно: сначала умножение, затем обращение, используя $x^4 \cdot x^{-1} = x^3$.
  $$pq = \frac{x^4}{16}\times\frac{40}{3x} = \frac{40x^3}{48} = \frac{5x^3}{6}$$
  $$(pq)^{-1} = \left(\frac{5x^3}{6}\right)^{-1} = \frac{6}{5}x^{-3}$$
• Проверка: $(pq)\times(pq)^{-1} = \frac{5x^3}{6}\times\frac{6}{5x^3} = 1$.

(c) $(pq)^2$.

• Проверка: $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $(x^3)^2 = x^6$, а константы уже полностью упрощены.

Иррациональное число (корень) — это точное значение, например $\sqrt{2}$. Сохраняйте ответы точными, если не просят десятичные дроби; эксперты снижают балл за округленные десятичные дроби там, где ожидается корень. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножьте числитель и знаменатель на выражение, устраняющее корень:

Разобранный пример — рационализация знаменателя. Запишите $\dfrac{12}{1+\sqrt{2}}$ с рациональным знаменателем.

• Известно: $(1+\sqrt2)(\sqrt2-1) = \sqrt2 - 1 + 2 - \sqrt2 = 1$, поэтому умножаем на $\dfrac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1}$.
  $$\frac{12}{1+\sqrt2}\times\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2-1} = \frac{12(\sqrt2-1)}{(1+\sqrt2)(\sqrt2-1)} = 12(\sqrt2 - 1) = 12\sqrt2 - 12$$
• Проверка на калькуляторе: $12/(1+1.4142\ldots) = 4.9706\ldots$ и $12\sqrt2 - 12 = 4.9706\ldots$ ✓

Квадратные уравнения: дискриминант и выделение полного квадрата

Квадратичная функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$; её графиком является парабола направленная ветвями вверх ($a>0$) или вниз ($a<0$). Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$ определяет количество корней:

• $\Delta > 0$: два различных действительных корня — кривая пересекает ось $x$ дважды;
• $\Delta = 0$: один кратный корень — кривая касается оси $x$;
• $\Delta < 0$: нет действительных корней — кривая не пересекает ось $x$.

Выделение полного квадрата преобразует $ax^2+bx+c$ в вид $a\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 + \left(c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$, что позволяет сразу определить вершину $\left(-\dfrac{b}{2a},\, c - \dfrac{b^2}{4a}\right)$. Решайте квадратные уравнения методом разложения на множители, формулой, выделением полного квадрата или с помощью калькулятора — однако задания «покажите все этапы» не принимают решение только на калькуляторе. вопросы, требующие демонстрации всех этапов решения, не принимают ответы, полученные только с помощью калькулятора.

Разобранный пример — скрытый квадратный трёхчлен (адаптировано из Edexcel IAL WMA11 июнь 2025 Q10). Это $(k-1)x^6 + 4x^3 + (k-4) = 0$, где $k$ — константа.

(a) Для уравнения $k = 4.5$ найдите точные решения.

• Известно: при подстановке в уравнение $k = 4.5$ получаем $3.5x^6 + 4x^3 + 0.5 = 0$; умножим на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
  $$7x^6 + 8x^3 + 1 = 0$$
• Почему замена: $x^6 = (x^3)^2$, поэтому это квадратное уравнение относительно $x^3$. Подставьте $z = x^3$:
  $$7z^2 + 8z + 1 = 0 \implies (7z+1)(z+1) = 0 \implies z = -\tfrac{1}{7} \ \text{ or } z = -1$$
• Вернитесь к $x$: $x^3 = -\tfrac17$ или $x^3 = -1$, значит
  $$x = -\sqrt[3]{\tfrac{1}{7}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{7}} = -\frac{\sqrt[3]{49}}{7} \qquad \text{or} \qquad x = -1$$
• Проверка: $z=-1$ даёт $7-8+1 = 0$ ✓; $z=-\tfrac17$ даёт $7\cdot\tfrac{1}{49} - \tfrac87 + 1 = \tfrac17 - \tfrac87 + 1 = 0$ ✓

(b) Найдите множество значений $k$, при которых уравнение не имеет действительных корней.

• Известно: рассматриваем уравнение как квадратное относительно $x^3$ с коэффициентами $a = k-1$, $b = 4$, $c = k-4$. Отсутствие действительных корней требует отрицательного дискриминанта:
  $$b^2 - 4ac = 16 - 4(k-1)(k-4) = 16 - 4(k^2 - 5k + 4) = -4k^2 + 20k = 4k(5-k)$$
  $$4k(5-k) < 0 \implies k < 0 \ \text{or}\ k > 5$$
• Проверка: при $k = -1$: $4(-1)(6) = -24 < 0$ ✓; при $k = 6$: $4(6)(-1) = -24 < 0$ ✓; при $k = 3$: $4(3)(2) = 24 > 0$ ✓ (там два действительных корня).

Система уравнений и неравенств

Решите систему уравнений аналитически методом подстановки: преобразуйте линейное уравнение, подставьте в другое, решите, затем вернитесь к исходному. Прямая, пересекающая кривую, даёт квадратный трёхчлен, корнями которого являются координаты пересечения $x$ — это «геометрическое интерпретирование алгебраических решений», требуемое спецификацией.

Разобранный пример — прямая пересекает кубическую-квадратную кривую (адаптировано из Edexcel IAL WMA11 июнь 2025 вопрос7). $C_1$: $y = 0.2x^2(x-4)$ и $C_2$: $y = 1.2x(8-x)$ пересекаются, когда

• Раскройте скобки в обеих частях: $0.2x^3 - 0.8x^2 = 9.6x - 1.2x^2$.
• Сгруппируйте члены: $0.2x^3 + 0.4x^2 - 9.6x = 0$, затем разделите на $0.2$: $x^3 + 2x^2 - 48x = 0$.
• Разложите на множители: $x(x^2 + 2x - 48) = x(x+8)(x-6) = 0$, следовательно $x = 0, -8, 6$.
• Подставьте обратно в $C_2$: $(0, 0)$, $(-8, -153.6)$, $(6, 14.4)$.
• Проверьте по $C_1$: $0.2(-8)^2(-12) = 0.2\cdot64\cdot(-12) = -153.6$ ✓ и $0.2(36)(2) = 14.4$ ✓

Неравенства подчиняются той же алгебре, но ответом является диапазон:

• Решите $ax + b > cx + d$, сгруппировав $x$ (знак неравенства сохраняется при сложении/вычитании, и сохраняется при делении на положительное число; деление на отрицательное меняет знак).
• Решите $px^2 + qx + r \le 0$, построив график: решение находится там, где парабола лежит на оси или ниже её, между корнями.
• Неравенства типа «кривая ниже прямой», например $px^2+qx+r < ax+b$, означают: где высота кривой меньше высоты прямой? Сначала найдите точки пересечения.
• При построении области решения используйте пунктирную линию для строгих границ $<$ или $>$ и сплошную линию для нестрогих границ $\le$ или $\ge$.

Разобранный пример. Решите уравнение $x^2 < 3x + 10$.

• Преобразуйте: $x^2 - 3x - 10 < 0$, и разложите на множители: $(x-5)(x+2) < 0$.
• Парабола $y = (x-5)(x+2)$ направлена ветвями вверх, поэтому она принимает значения ниже нуля между своими корнями:
  $$-2 < x < 5$$
• Проверка: $x = 0$ даёт $0 < 10$ ✓; $x = 6$ даёт $36 < 28$ ✗ (верно исключено).

Многочлены: раскрытие скобок и разложение на множители

Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые; разложите на множители, вынося общий множитель за скобки и методом группировки. Кубические многочлены раскладываются полностью, как только найден один корень: $x^3 + 4x^2 + 3x = x(x^2+4x+3) = x(x+1)(x+3)$. Запись $f(x)$ обозначает функцию, поэтому $f(2)$ означает «подставьте $x = 2$».

Построение графиков и преобразования

Набросайте (без точного построения точек) эти семейства кривых: квадратичные и простые кубические функции, такие как $y = x^3 - 4x$; обратные функции $y = \dfrac{k}{x}$ и $y = \dfrac{k}{x^2}$ ($x \ne 0$), которые имеют асимптоту — прямую, которой кривая приближается, но никогда не касается; и тригонометрические графики ниже. Отметьте точки пересечения с осями и точки экстремума.

Точки пересечения соответствуют решениям уравнений: кривые $y = f(x)$ и $y = g(x)$ пересекаются там, где $f(x) = g(x)$.

По одному преобразованию за раз, применяемом к $y = f(x)$:

Новое уравнение	Что оно делает с графиком
$y = a f(x)$	растяжение параллельно оси $y$, коэффициент масштабирования $a$
$y = f(x) + a$	сдвиг на $\begin{pmatrix} 0 \\ a \end{pmatrix}$ (перемещение вверх на $a$)
$y = f(x + a)$	сдвиг на $\begin{pmatrix} -a \\ 0 \end{pmatrix}$ (перемещение влево на $a$)
$y = f(ax)$	растяжение параллельно оси $x$, коэффициент масштабирования $\dfrac{1}{a}$

Разобранный пример — опишите два преобразования (адаптировано из Edexcel IAL WMA11 июнь 2025 Q9).

• $y = \sqrt{2x}$ из $y = \sqrt{x}\,$: запишите $\sqrt{2x} = f(2x)$, значит это растяжение, параллельное оси $x$ с коэффициентом масштабирования $\tfrac12$**.
• $y = 12 - \sqrt{x}$ из $y = -\sqrt{x}\,$: запишите $12 - \sqrt x = -\sqrt x + 12$, а сдвиг на $\begin{pmatrix} 0 \\ 12 \end{pmatrix}$ (вверх на 12).
• Проверьте по точке: $y=\sqrt x$ проходит через $(4, 2)$; после первого преобразования кривая проходит $(2, 2)$ (половина значения $x$)), и $y = \sqrt{2\times2} = 2$ ✓. После второго преобразования значение $y = -\sqrt{4} + 12 = 10$, так что $(4, 10)$ лежит на ней ✓.

Координатная геометрия в плоскости (x, y)

Прямая, проходящая через $(x_1, y_1)$ с угловым коэффициентом $m$, имеет уравнение $y - y_1 = m(x - x_1)$; форма $ax + by + c = 0$ скрывает угловой коэффициент в $-\dfrac{a}{b}$. Две точки дают угловой коэффициент: $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

• Параллельные линии имеют одинаковый угловой коэффициент: $m_1 = m_2$.
• Перпендикулярные линии имеют угловые коэффициенты, произведение которых равно $-1$: $m_1 m_2 = -1$.

Разобранное решение — перпендикуляр через начало координат (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос 5). Линия $l_1$ имеет уравнение $x - 2y + 25 = 0$; $l_2$ проходит через начало координат и является перпендикулярной к $l_1$.

(a) Уравнение прямой $l_2$.

• Известно: преобразуем выражение $l_1$: получаем $2y = x + 25$, следовательно, $y = \tfrac12 x + \tfrac{25}{2}$ и $m_1 = \tfrac12$.
• Обоснование: произведение угловых коэффициентов перпендикулярных прямых равно $-1$, значит $m_2 = -1 \div \tfrac12 = -2$.
  $$y - 0 = -2(x - 0) \implies y = -2x$$

(b) Прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются в точке $P$.

• Подставим $y = -2x$ в $x - 2y + 25 = 0$:
  $$x - 2(-2x) + 25 = 0 \implies 5x + 25 = 0 \implies x = -5, \quad y = -2(-5) = 10$$
• $P = (-5, 10)$. Проверка в $l_1$: $-5 - 20 + 25 = 0$ ✓

(c) Кратчайшее расстояние от точки $l_1$ до начала координат, представленное в виде упрощённого иррационального числа.

• Кратчайшее расстояние равно длине отрезка $|OP|$ вдоль перпендикуляра:
  $$|OP| = \sqrt{(-5-0)^2 + (10-0)^2} = \sqrt{25 + 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$
• Проверка: $\sqrt{125} = \sqrt{25\times5} = 5\sqrt5 \approx 11.18$ ✓

Тригонометрия

Теорема синусов, теорема косинусов и площадь треугольника

В треугольнике $ABC$ со сторонами $a, b, c$, противолежащими углам $A, B, C$:

Используйте теорему синусов для пар «сторона — противолежащий угол»; теорему косинусов — когда нет такой пары. Для теоремы синусов характерен неоднозначный случай: $\sin\theta = \sin(180° - \theta)$, поэтому угол и его supplementary могут оба подходить — проверьте, какой вариант соответствует рисунку. его смежный угол может подойти в обоих случаях — проверьте, какое решение допустимо по диаграмме.

Градусная мера, длина дуги и площадь сектора

Один радиан — это угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу; $180° = \pi$ радиан. При $\theta$ в радианах:

Длина дуги составляет $s = r\theta$, а площадь сектора равна $\tfrac{1}{2}r^2\theta$.

Большой сектор — это большая часть круга: угол $2\pi - \theta$ при малом угле равном $\theta$.

Разобранный пример — вертолётодром из большого сектора и треугольника (адаптировано из Edexcel IAL WMA11 Июнь 2025 Задание6). Посадочная площадка представляет собой большой сектор $AOB$ окружности с центром $O$, соединённый с треугольником $AOC$: $AO = OB = 15$ м, $BC = 2$ м, $CBO$ — прямая линия, а угол $ACO = 0.6$ радиан.

(a) Докажите, что угол $COA = 1.847$ радиан равен 3 до одного знака после запятой.

• Дано: $OC = OB + BC = 15 + 2 = 17$ м; в треугольнике $AOC$ сторона $AO = 15$ лежит против данного угол $0.6$, а сторона $OC = 17$ лежит против угла $CAO$.
• Теорема синусов (приведите её сначала):
  $$\frac{\sin CAO}{17} = \frac{\sin 0.6}{15} \implies \sin CAO = \frac{17\sin 0.6}{15} = 0.6399\ldots \implies CAO = 0.6944\ldots$$
  $$COA = \pi - 0.6 - 0.6944\ldots = 1.8471\ldots = 1.847 \ (3\,\mathrm{d.p.})$$
• Проверка: сумма углов равна $\pi$: $0.6 + 0.6944 + 1.8471 \approx 3.1416$ ✓

(b) Общая площадь площадки.

• Угол большого сектора: $2\pi - 1.847 = 4.436$ радиан.
  $$\text{sector} = \tfrac12 r^2\theta = \tfrac12 \times 15^2 \times 4.436 = 499.1\ \text{m}^2 \ (\text{awrt } 499)$$
  $$\text{triangle} = \tfrac12 ab\sin C = \tfrac12 \times 15 \times 17 \times \sin 1.847 = 122.7\ \text{m}^2$$
  $$\text{total} = 499.1 + 122.7 = 622\ \text{m}^2 \ (3\ \text{s.f.})$$
• Проверка: $\sin 1.847 = \sin(\pi - 1.847) = \sin 1.2946 = 0.962$ ✓

(c) Периметр площадки.

• Граница состоит из большой дуги $AB$ плюс стороны $AC$ и $BC$.
  $$\text{arc} = r\theta = 15 \times 4.436 = 66.5\ \text{m}$$
• Теорема косинусов для $AC$ (сначала приведите её):
  $$AC^2 = 15^2 + 17^2 - 2(15)(17)\cos 1.847 = 225 + 289 + 139.1 = 653.1 \implies AC = 25.6\ \text{m}$$
  $$\text{perimeter} = 66.5 + 25.6 + 2 = 94.1\ \text{m} \ (3\ \text{s.f.})$$
• Проверка: $\cos 1.847 < 0$ (угол тупой), поэтому член $-2bc\cos A$ прибавляется ✓

Графики синуса, косинуса и тангенса

$y = \sin x$ и $y = \cos x$ повторяются каждые $2\pi$ ($360°$); $y = \tan x$ повторяется каждые $\pi$ ($180°$) с асимптотами в $x = 90° + 180°n$. Знайте симметрии: $\cos$ — четная, $\sin(180° - x) = \sin x$, а также $\tan x = \sin x / \cos x$. Кривые, такие как $y = 3\sin x$, $y = \sin 2x$ и $y = \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$ выводятся из правил преобразования выше. Решайте уравнения графически, подсчитывая пересечения на заданном интервале.

Разбор примера — подсчет решений (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос 4). Для $y = 4\cos x$ при $x$ в градусах: сколько решений имеет $5 + 4\cos x = 1$ для $-720° < x \le 720°$?

• Преобразуйте: $4\cos x = -4$, следовательно $\cos x = -1$, получаем $x = 180° + 360°n$.
• На $-720° < x \le 720°$: $x = -540°, -180°, 180°, 540°$ — 4 решений.
• Проверка: $\cos(\pm180°) = -1$ ✓, и $5 + 4(-1) = 1$ ✓. Интервал полуоткрытый, поэтому $x = -720°$ (где $\cos = 1$) исключен корректно.

Дифференцирование

Производная $f'(x) = \dfrac{dy}{dx}$ — это наклон касательной к $y = f(x)$ в точке — предел наклонов хорд при слиянии двух точек. Это скорость изменения $y$ по отношению к $x$. Вторая производная $f''(x)$ дифференцирует еще раз. (Правило сложной функции не требуется в P1.)

Дифференцируйте почленно с помощью правила степени, предварительно раскрыв скобки и разделив дроби:

Разбор примера — условие наклона для кривой (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос ⟨2⟩). $C$: $y = 2x^{5/2} - 4x + 3$; точка $P$ на кривой $C$ имеет координату $x$, равную $2^k$, а наклон в $P$ равен 16. Найдите $k$.

• Дифференцируем (степень уменьшается на единицу): $\dfrac{dy}{dx} = 2\cdot\tfrac52 x^{3/2} - 4 = 5x^{3/2} - 4$.
• Приравниваем наклон к 16 при x = $x = 2^k$:
  $$5(2^k)^{3/2} - 4 = 16 \implies (2^k)^{3/2} = 4 = 2^2 \implies 2^{3k/2} = 2^2 \implies \tfrac{3k}{2} = 2 \implies k = \tfrac{4}{3}$$
• Проверка: $2^{4/3} = 2.5198\ldots$ и $5(2.5198)^{3/2} - 4 = 5(4.0) - 4 = 16$ ✓

Разбор примера — касательная, работа с нормалью и вторая производная (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос ⟨8⟩). Кривая задана уравнением $f'(x) = 3\sqrt{x} + kx^2$ и проходит через точку $P(4, 12)$; касательная в точке $P$ имеет уравнение $y = 10x + c$.

(a) Докажите, что $k = \tfrac14$, и найдите константу $c$.

• Известно: наклон касательной равен $f'(4)$:
  $$f'(4) = 3\sqrt{4} + 16k = 6 + 16k = 10 \implies k = \tfrac14$$
• Касательная проходит через точку $(4, 12)$: $12 = 10(4) + c \implies c = -28$.
• Проверка: $f'(4) = 6 + 16\cdot\tfrac14 = 10$ ✓ и $10(4) - 28 = 12$ ✓

(b) Значение функции $f''(x)$ в точке $P$.

• Проверка: $\tfrac{3}{2\sqrt4} = \tfrac34$ ✓

Интегрирование

Интегрирование является обратной операцией дифференцированию: если d/dx($\dfrac{dy}{dx} = x^n$) = ⟨$n \neq -1$⟩, то

необходимо добавить константу интегрирования $c$, поскольку каждый вертикальный сдвиг функции имеет ту же производную. Увеличьте степень каждой переменной на единицу, разделите на новую степень и проинтегрируйте почленно после расширение. Зная $f'(x)$ и одну точку на кривой, найдите $c$ и точно восстановите $y = f(x)$.

Разбор примера — раскройте перед интегрированием (адаптировано из Edexcel IAL WMA11, июнь 2025, вопрос 3). Найдите $\displaystyle\int \frac{(x+3)^2}{3\sqrt{x}}\,dx$.

• Раскройте числитель: $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$; знаменатель равен $3x^{1/2}$.
• Разделите почленно (вычитайте степени $x$):
  $$\frac{x^2}{3x^{1/2}} = \tfrac13 x^{3/2} \qquad \frac{6x}{3x^{1/2}} = 2x^{1/2} \qquad \frac{9}{3x^{1/2}} = 3x^{-1/2}$$
• Проинтегрируйте каждое слагаемое (повысьте степень на единицу, разделите на новую степень):
  $$\int \left(\tfrac13 x^{3/2} + 2x^{1/2} + 3x^{-1/2}\right) dx = \tfrac13\cdot\tfrac{2}{5}x^{5/2} + 2\cdot\tfrac23 x^{3/2} + 3\cdot 2x^{1/2} + c$$
  $$= \frac{2}{15}x^{5/2} + \frac{4}{3}x^{3/2} + 6\sqrt{x} + c$$
• Проверьте дифференцированием: $\tfrac{2}{15}\cdot\tfrac52 x^{3/2} = \tfrac13 x^{3/2}$ ✓, $\tfrac43\cdot\tfrac32 = 2$ ✓, $6\cdot\tfrac12 = 3$ ✓ — исходное выражение полностью восстановлено.

Разбор примера — восстановите $f(x)$ по $f'(x)$ и точке (адаптировано из Edexcel IAL WMA11 июнь 2025, вопрос 8, продолжение). Имея $k = \tfrac14$, то есть $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac14 x^2$, и $P(4, 12)$ на кривой:

• Подставьте $P$: получаем $2(4)^{3/2} + \tfrac{64}{12} + d = 12$, а также $4^{3/2} = 8$:
  $$16 + \tfrac{16}{3} + d = 12 \implies d = -\tfrac{28}{3} \implies f(x) = 2x^{3/2} + \frac{x^3}{12} - \frac{28}{3}$$
• Проверка: $f(4) = 16 + \tfrac{16}{3} - \tfrac{28}{3} = 16 - 4 = 12$ ✓, а дифференцирование ответа даёт $f'(x) = 3x^{1/2} + \tfrac{x^2}{4}$, следовательно, $f'(4) = 6 + 4 = 10$ ✓ (производная касательной из предыдущего условия).

Чек-лист перед завершением этого раздела

• Точно преобразовывать $a^{m/n}$, отрицательные степени и корни, а также избавляться от иррациональности в знаменателе.
• Читать $b^2-4ac$ тремя способами, выделять полный квадрат и решать скрытые квадратные уравнения методом замены.
• Решать линейно-квадратные системы уравнений методом подстановки и интерпретировать их как точки пересечения.
• Решать и строить графики линейных и квадратичных неравенств с правильными пунктирными/сплошными границами.
• Строить кубические, обратные (с асимптотами) и преобразованные кривые, указывая направление, тип и коэффициент масштабирования каждого отдельного преобразования.
• Записывать уравнения прямых в обоих видах; использовать $m_1m_2 = -1$ для перпендикуляров.
• Приводить теорему синусов, теорему косинусов и $\tfrac12 ab\sin C$; разбирать неоднозначный случай и большие сектора в радианах.
• Подсчитывать решения тригонометрических графиков на заданном интервале перед их перечислением.
• Дифференцировать и интегрировать $x^n$ почленно после раскрытия скобок; всегда добавлять $+c$.
• Преобразовать $f'(x)$ плюс одну точку в $f(x)$ и проверить подстановкой этой точки обратно.