FP3 · Further Pure Mathematics 3

Чистая математика 3 (FP3, экзаменационный лист WFM03/01, 1 час 30 минут, 75 баллов, первая аттестация июня 2020) является последним чистым модулем: P1–P4 и FP1 считаются изученными и могут быть протестированы. Он добавляет гиперболические функции и обратные им, эллипс и гиперболу вместе с их фокально-директрисными свойствами, оставшимися методами дифференцирования и интегрирования (формулы понижения, длина дуги, поверхности вращения), скалярное произведение векторов с прямыми и плоскостями в трехмерном пространстве, а также матричную алгебру до собственных значений и диагонализации. Данное справочное издание охватывает все это, используя экзаменационный лист июня 2025 в качестве основного примера с подробным решением.

Обязательно знать для FP3 (предполагается, не повторяется):

Гиперболические функции строятся на основе показательных: $\cosh x = \tfrac12(e^x + e^{-x})$ и $\sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$, при этом $\tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}$. График $\cosh$ — это катенарий, он четный с минимумом $(0, 1)$; $\sinh$ нечетная функция относительно начала координат; $\tanh$ нечетная и ограничена между асимптотами $y = \pm 1$. Два тождества, которые нужно выводить по требованию: $\cosh^2x - \sinh^2x \equiv 1$ и $\cosh 2x \equiv \cosh^2x + \sinh^2x$; формулы приведения суммы к произведению тождеств аналогичны тригонометрическим.

Разобранное решение — тождество из определений (WFM03 июнь 2025 вопрос 1). Докажите, что $\cosh 6x + \cosh 4x = 2\cosh 5x\cosh x$. Из левой части:

сочетание $e^{6x} = e^{5x}e^{x}$ со $e^{-6x} = e^{-5x}e^{-x}$ и аналогично для слагаемых $4x$ — каждый шаг представляет собой подсчет с произведениями $e^{\pm x}e^{\pm 5x}$, поэтому баллы требуют показательных форм до любого сокращения. Затем решите $\cosh 6x + \cosh 4x = 8\cosh x$: тождество сводит его к $\cosh x(2\cosh 5x - 8) = 0$, а $\cosh$ никогда не равно нулю, поэтому $\cosh 5x = 4$, что дает $5x = \pm\operatorname{arcosh}4 = \pm\ln(4 + \sqrt{15})$ и $x = \pm\tfrac15\ln(4 + \sqrt{15})$.

Разобранное решение — уравнение cosh–sinh (оригинал). Решите $2\cosh x + \sinh x = 2$: это определения через экспоненты дают $2\cdot\tfrac12(e^x + e^{-x}) + \tfrac12(e^x - e^{-x}) = 2$, поэтому $3e^x + e^{-x} = 4$, т. е. $3e^{2x} - 4e^x + 1 = 0$, т. е. $(3e^x - 1)(e^x - 1) = 0$, и $x = 0$ или $x = -\ln 3$. Проверьте оба варианта в исходном уравнении — возведение в квадрат ни разу не требуется.

Обратные функции существуют как однозначные, поскольку $\sinh$ и $\tanh$ являются взаимно однозначными, а $\cosh$ является взаимно однозначной для $x \ge 0$; их графики являются отражениями относительно $y = x$ ограниченных оригинальных функций. Логарифмические эквиваленты должны выводиться, а не просто приводиться:

Шаблон вывода (arsinh). Задайте $w = \sinh x = \tfrac12(e^x - e^{-x})$: тогда $e^{2x} - 2we^x - 1 = 0$, следовательно $e^x = w + \sqrt{w^2 + 1}$ (отрицательный корень отбрасывается, потому что $e^x > 0$) и $x = \ln(w + \sqrt{w^2+1})$. Та же структура квадратного уравнения относительно $e^x$ решает каждое смешанное гиперболическое уравнение точно.

Эллипс $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ имеет параметрическую форму $x = a\cos t$, $y = b\sin t$; гипербола $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ имеет $x = a\sec t$, $y = b\tan t$, а также $x = a\cosh t$, $y = b\sinh t$ (правая ветвь). Это эксцентриситет $e$ связывает всё с свойством «фокус»–«направляющая» $PS = e\cdot PN$ (расстояние до фокуса = $e$ × расстояние до направляющей): для эллипса $b^2 = a^2(1 - e^2)$, фокусы $(\pm ae, 0)$, направляющие $x = \pm\dfrac ae$; для гиперболы $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ с теми же формулами фокусов и директрис.

Разобранное решение — эксцентриситет и фокусы (WFM03 июнь 2025 Q9a). Для H: $\dfrac{x^2}{64} - \dfrac{y^2}{49} = 1$: $a^2 = 64$, $b^2 = 49$, следовательно $49 = 64(e^2 - 1)$, $e^2 = \tfrac{113}{64}$ и $e = \tfrac{\sqrt{113}}8$; фокусы находятся в $(\pm\sqrt{113}, 0)$.

Подстановка $y = mx + c$ в уравнение конического сечения и требование нулевого дискриминанта дают касательную при условии: $c^2 = a^2m^2 + b^2$ для эллипса, $c^2 = a^2m^2 - b^2$ для гиперболы (поэтому $\lvert m\rvert > \tfrac ba$ требуется там). В параметрической точке дифференцируйте иначе — дискриминант не нужен. Задачи на множества точек повторяют FP1: расстояния до фокусов, середины отрезков или фиксированное отношение.

Разобранное решение — касательная, нормаль и фокальная окружность (WFM03 июнь 2025 Q9b–e). При $P(8\sec\theta, 7\tan\theta)$ на H: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{7\sec^2\theta}{8\sec\theta\tan\theta} = \dfrac{7\sec\theta}{8\tan\theta}$, поэтому касательная

пересекает ось $y$ в точке $Q = (0, -7\cot\theta)$; заданная нормаль $8x\cos\theta + 7y\cot\theta = 113$ пересекает её в точке $R = (0, \tfrac{113}7\tan\theta)$. Окружность на диаметре $QR$ (концы $q, r$ на оси $y$) имеет уравнение $x^2 + (y - \tfrac{q+r}2)^2 = (\tfrac{r-q}2)^2$, которое содержит точку $(x, 0)$ тогда и только тогда, когда $x^2 = -qr$. Здесь $qr = -7\cot\theta\cdot\tfrac{113}7\tan\theta = -113$ для каждое $\theta$, а $113 = (\sqrt{113})^2$ — это точно квадрат фокального расстояния — поэтому оба фокуса $(\pm\sqrt{113}, 0)$ лежат на окружности. Сокращение $\theta$ является сутью вопроса.

$\dfrac d{dx}\sinh x = \cosh x$, $\dfrac d{dx}\cosh x = \sinh x$, $\dfrac d{dx}\tanh x = \operatorname{sech}^2x$, а из обратных функций: $\dfrac d{dx}\operatorname{arsinh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2+1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{arcosh}x = \dfrac1{\sqrt{x^2-1}}$, $\dfrac d{dx}\operatorname{artanh}x = \dfrac1{1-x^2}$ — каждое доказывается инверсией $y = f(x)$ и неявным дифференцированием; каждое верно только на своей области определения.

Разобранный пример — производные обратных функций на ограниченном множестве (WFM03 июнь 2025 вопрос4). Для $y = \operatorname{arsinh}x + \operatorname{arsinh}\dfrac1x$ с $x > 0$:

где $x > 0$ преобразует $\sqrt{x^2}$ в $x$ — условие области определения играет ключевую роль. Приравнивая $\dfrac{dy}{dx} = 0$ дают $x = 1$ и $y = 2\operatorname{arsinh}1 = 2\ln(1 + \sqrt2)$.

Стандартные формулы аналогичны формулам производных. Сначала выделите полный квадрат под корнем в знаменателе, а для обратных функций используйте интегрирование по частям: примите $u$ за обратную функцию, а $1$ — за остальное:

Разобранный пример — оба метода (WFM03 июнь 2025 вопрос 2). (i) $\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{4x^2+8x+9}}$: поскольку $4x^2 + 8x + 9 = 4\left((x+1)^2 + \tfrac54\right)$, интеграл равен $\tfrac12\displaystyle\int\frac{dx}{\sqrt{(x+1)^2 + 5/4}} = \tfrac12\operatorname{arsinh}\frac{2x+2}{\sqrt5} + c$ (дифференцируйте обратно, чтобы проверить). (ii) $\displaystyle\int\operatorname{arcosh}3x\,dx = x\operatorname{arcosh}3x - \int\frac{3x}{\sqrt{9x^2-1}}dx = x\operatorname{arcosh}3x - \tfrac13\sqrt{9x^2-1} + c$.

Четыре интеграла, которые нужно знать наизусть, каждый через $x = a\sinh t$ (или $x = a\tan t$, разложения типа $a\coth$): $\displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \operatorname{arsinh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{\sqrt{x^2-a^2}} = \operatorname{arcosh}\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2+a^2} = \tfrac1a\arctan\frac xa + c$, $\ \displaystyle\int\!\frac{dx}{x^2-a^2} = \tfrac1{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| + c$. Формула понижения степени выражает $I_n$ через $I_{n-1}$ (или $I_{n-2}$): проинтегрируйте по частям, приняв корень за $v$, затем перепишите оставшийся интеграл с корнем, используя определение $I_n$. Для длины дуги и площади поверхности вращения необходимы $s = \displaystyle\int\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ и $S = 2\pi\displaystyle\int y\sqrt{1 + \left(\tfrac{dy}{dx}\right)^2}\,dx$ (в параметрическом виде: $s = \int\sqrt{\dot x^2 + \dot y^2}\,dt$ с заменой $y\sqrt{\dot x^2+\dot y^2}$ вместо $S$).

Разобранный пример — вывод формулы понижения (WFM03 июнь 2025 вопрос 5). Используя $I_n = \displaystyle\int_1^6 \frac{x^n}{\sqrt{3x-2}}dx$, подставьте $u = x^n$ и $v = \tfrac23\sqrt{3x-2}$:

примените $\sqrt{3x-2} = \dfrac{3x-2}{\sqrt{3x-2}}$ для выделения $I_n$ и $I_{n-1}$. Собирая слагаемые: $(3 + 6n)I_n = 4nI_{n-1} + 8\cdot6^n - 2$. Заряжайте значениями $I_0 = \tfrac23(4 - 1) = 2$ и $I_1 = 6$ (путём прямой подстановки), затем $15I_2 = 8(6) + 8(36) - 2 = 334$, и $21I_3 = 12\cdot\tfrac{334}{15} + 8(216) - 2$, что даёт $I_3 = \tfrac{3322}{35}$.

Разобранный пример — поверхность с заменой sinh (WFM03 июнь 2025 вопрос 7). Вращая $y = \cos 2x$, $0 \le x \le \tfrac\pi4$, через $2\pi$ вокруг оси $x$ (калькулятор запрещен): $S = 2\pi\displaystyle\int_0^{\pi/4}\cos 2x\sqrt{1 + 4\sin^22x}\,dx$. При $2\sin 2x = \sinh\theta$, так что $4\cos 2x\,dx = \cosh\theta\,d\theta$, интеграл принимает вид $\tfrac\pi2\displaystyle\int\cosh^2\theta\,d\theta = \tfrac\pi4\Big[\sinh\theta\cosh\theta + \theta\Big]$ между $0$ и $\operatorname{arsinh}2 = \ln(2+\sqrt5)$, следовательно $S = \tfrac\pi4\left(2\sqrt5 + \ln(2+\sqrt5)\right)$ — множители $\cos 2x$ сокращаются полностью, именно поэтому предлагается данная замена.

Векторное произведение $\mathbf a\times\mathbf b = \begin{vmatrix}\mathbf i&\mathbf j&\mathbf k\\a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\end{vmatrix}$ равно перпендикулярно обоим множителям по модулю равное $\lvert\mathbf a\times\mathbf b\rvert = \lvert\mathbf a\rvert\lvert\mathbf b\rvert\sin\theta$ — площади параллелограмма. Смешанное произведение $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ представляет собой ориентированный объём параллелепипеда; если оно равно нулю, три вектора компланарны. Прямые: $\mathbf r = \mathbf a + t\mathbf b$ или $(\mathbf r - \mathbf a)\times\mathbf b = \mathbf 0$; плоскости: $\mathbf r\cdot\mathbf n = p$ или $\mathbf r = \mathbf a + s\mathbf b + t\mathbf c$ с $\mathbf n = \mathbf b\times\mathbf c$. Расстояние от точки до плоскости: $\dfrac{\lvert\mathbf x\cdot\mathbf n - p\rvert}{\lvert\mathbf n\rvert}$; кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми: спроецируйте смещение между опорными точками на общий нормаль $\mathbf b_1\times\mathbf b_2$.

Разбор примера — плоскости к прямым и расстоянию (WFM03, июнь 2025, вопрос 8). Для $\Pi_1: \mathbf r = (4,2,-1) + \lambda(7,5,-6) + \mu(-3,1,2)$: нормаль равна $(7,5,-6)\times(-3,1,2) = (16,4,22) = 2(8,2,11)$, и подстановка опорной точки даёт $\mathbf r\cdot(8\mathbf i + 2\mathbf j + 11\mathbf k) = 32 + 4 - 11 = 25$. Пересечение с $\Pi_2: x - y + z = 7$: направление прямой равно $(8,2,11)\times(1,-1,1) = (13,3,-10)$, а точка решения обеих плоскостей равна $(\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1)$, следовательно, $(\mathbf r - (\tfrac{13}5, -\tfrac{17}5, 1))\times(13,3,-10) = \mathbf 0$. Прямая, проходящая через $A(2,1,3)$ и $B(3,0,2)$, имеет направление $(1,-1,-1)$; общий нормаль равен $(13,3,-10)\times(1,-1,-1) = (-13,3,-16)$, а кратчайшее расстояние составляет

Определители и обратные матрицы распространяются на $3\times3$: разложение по любой строке или столбцу (знаки $+\,-\,+\,-\,+\,-$); $\mathbf A^{-1} = \dfrac1{\det\mathbf A}(\text{adjugate})$, присоединённая матрица есть транспонированная матрица алгебраических дополнений. Вырожденные матрицы ($\det = 0$) не имеют обратной и сворачивают размерность. $(\mathbf{AB})^T = \mathbf B^T\mathbf A^T$ и $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}$. Собственное значение $\lambda$ с собственный вектор $\mathbf v$ удовлетворяет $\mathbf{Av} = \lambda\mathbf v$ — построчно, каждый компонент $\mathbf{Av}$ равен $\lambda$, умноженному на соответствующий компонент $\mathbf v$ (не на сам $\lambda$). Зная $\mathbf v$, найдите $\lambda$ из любой строки с ненулевым произведением; в противном случае решите систему для $\det(\mathbf A - \lambda\mathbf I) = 0$ и подставьте обратным ходом. Для симметричной матрицы $\mathbf A$, собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, а ортогональная матрица $\mathbf P$ из нормированных собственных векторов диагонализирует её: $\mathbf P^T\mathbf{AP} = \mathbf D$.

Разобранный пример — собственные значения по заданному собственному вектору (WFM03 июнь 2025 вопрос 3). Матрица $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&a&b\\a&1&b\end{pmatrix}$ имеет собственный вектор $\mathbf i + 2\mathbf j + \mathbf k$. Строка 1: $1 - 2 + 4 = 3 = 3(1)$, следовательно $\lambda = 3$. Строка 2: $3 + 2a + b$ должно быть равно $\lambda\times 2 = 6$, а строка 3: $a + 2 + b$ должно быть равно $\lambda\times 1 = 3$. Отсюда $2a + b = 3$ и $a + b = 1$: вычитая, получаем $a = 2$ и $b = -1$. Учитывая $\mathbf M = \begin{pmatrix}1&-1&4\\3&2&-1\\2&1&-1\end{pmatrix}$: след равен $2$, а при разложении по строке 1, детерминант равен $\det\mathbf M = 1(-2+1) + 1(-3+2) + 4(3-4) = -1 - 1 - 4 = -6$. Оставшиеся собственные значения в сумме дают $2 - 3 = -1$ и в произведении равны $\tfrac{-6}3 = -2$: это $1$ и $-2$. Собственные векторы: для $\lambda = 1$, решая $(\mathbf M - \mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$, находим $-\,y + 4z = 0$ и $3x + y - z = 0$, значит $\mathbf v = (-1, 4, 1)$; для $\lambda = -2$, решение $(\mathbf M + 2\mathbf I)\mathbf v = \mathbf 0$ дает $3x - y + 4z = 0$ и $2x + y + z = 0$, следовательно $\mathbf v = (-1, 1, 1)$ (обе строки проверены). След и детерминант служат свободной проверкой: $3 + 1 - 2 = 2$ ✓ и $3\cdot1\cdot(-2) = -6$ ✓.

Разобранный пример — сингулярность и обратная матрица с параметром (WFM03 июнь 2025 вопрос 6). $\mathbf A = \begin{pmatrix}1&k&2\\5&3&-2\\6&-1&4\end{pmatrix}$: $\det\mathbf A = 1(12-2) - k(20+12) + 2(-5-18) = -36 - 32k$, поэтому $\mathbf A$ вырождается, когда $k = -\tfrac98$. Присоединённая матрица (транспонированные алгебраические дополнения) даёт

Проверка корректности элемента (1,1) произведения: $(1,k,2)\cdot(10,-32,-23) = 10 - 32k - 46 = -36 - 32k$, который сокращается с определителем, давая $1$ ✓.

• Определить $\cosh, \sinh, \tanh$ через экспоненты; вывести основные тождества; решать смешанные уравнения с помощью квадратичных уравнений по $e^x$ с точными ответами в виде $\ln$.
• Вывести логарифмические формы $\operatorname{arsinh}, \operatorname{arcosh}, \operatorname{artanh}$; дифференцировать обратные функции, соблюдая области определения.
• Использовать параметрические уравнения эллипса и гиперболы; переходить между $b^2 = a^2(1-e^2)$ и $a^2(e^2-1)$; определять фокусы и директрисы; находить касательные и нормали в параметрических точках и через условие $y = mx + c$ $c^2 = a^2m^2 \pm b^2$.
• Дифференцировать и интегрировать гиперболические и обратные функции, включая метод интегрирования по частям для подынтегральных выражений типа $\int\operatorname{arcosh}$.
• Знать четыре стандартных интеграла от иррациональных/рациональных функций; составлять формулы понижения степени методом интегрирования по частям и итеративно вычислять их; точно вычислять длины дуг и площади поверхностей вращения.
• Вычисляйте $\mathbf a\times\mathbf b$ и $\mathbf a\cdot(\mathbf b\times\mathbf c)$ с их смыслами площади и объема; переходите между плоскими и линейными формами; находите расстояния от точки до плоскости и скрещивающихся прямых.
• Вычислять определители $3\times3$, инвертировать с помощью присоединённой матрицы, обрабатывать вырожденный случай, находить собственные значения и собственные векторы (нормированные при необходимости) и диагонализовать симметричные матрицы с помощью ортогональной матрицы $\mathbf P$.